Cuerpos rígidos y sistemas equivalentes

ESTÁTICA

Unidad III: Cuerpos rígidos y sistemas equivalentes de fuerzas

• Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad
• Momento de una fuerza con respecto a un punto
• Teorema de Varignon

Profa. Dra. Araceli Zapatero Gutiérrez

Índice

En nuestras clases hemos analizado los cuerpos cómo si fueran una sola partícula. Sin embargo, esto no siempre es posible, por lo que debemos tratarlos como la combinación de varias partículas.

Tema 2

Pág. 17

Tema 1

Pág. 4

Objetivos

Pág. 3

Bibliografía

Pág. 38

Quiz

Pág. 23

Tema 3

Pág. 21

Objetivos

¿Qué aprenderás?

En este capítulo estudiaremos

el efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rígido y aprenderemos a reemplazar un sistema de fuerzas por un sistema equivalente más simple.

• Principio de transmisilidad

Nos enfocaremos en el estudio de éste principio, recuerda que: "El efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su línea de acción."

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

La caja que empuja la niña experimenta un conjunto de fuerzas externas, como la fuerza que ejerce la niña sobre de ella o la fuerza de fricción que existe entre el piso y la caja.

01

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

Para fines prácticos

En esta materia nos vamos a centrar en el análisis de fuerzas externas.

Las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden ocasionar un movimiento de traslación, rotación o ambos, siempre y cuando dichas fuerzas no encuentren alguna oposición.

Rotación

Traslación

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

El punto de aplicación de una fuerza que actúa sobre un cuerpo rígido no es importante, siempre y cuando su línea de acción permanezca inalterada.

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

Fuerza F

Fuerza F'

Defensa delantera

Defensa trasera

Ejemplo

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

Limitaciones

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

Ya sé tu pregunta, ¿por qué no es cierto?

Resulta que, las fuerzas internas y las deformaciones producidas por los dos sistemas son diferentes.

Esta caja se encuentra a tensión y, si no es totalmente rígida, su longitud tenderá a incrementar.

Esta caja se encuentra a compresión y, si no es totalmente rígida, su longitud tenderá a disminuir.

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

Recuerda que trabajamos con vectores

Por lo que haremos un breve repaso de una herramienta que nos será realmente útil: Producto vectorial de dos vectores.

También conocido como Producto Cruz

El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones:

1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q.
2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo θ formado por P y Q.

3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha.

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

Calcule el producto vectorial V= P x Q

Magnitud:

= (6)(4) sen (30°) = 12

¿En qué dirección y sentido estaría el vector V?:

y positivo.

x positivo

z negativo

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

Productos vectoriales expresados en términos de componentes rectangulares

Ahora trabajaremos con los vectores unitarios i, j, k. Podemos realizar el productor cruz entre estos vectores, por ejemplo, el producto cruz de i x j da como resultado el vector k. Vemos que se cumple la teoría, como i y j están contenidos en el plano xy, entonces el vector derivado de su producto cruz tiene que ser perpendicular a ese plano, en dirección k, sentido positivo.

Por el contrario, el producto cruz de j x i da como resultado el vector k con sentido negativo.

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

¿Podemos realizar otras combinaciones de producto cruz?

Sí, podemos realizarlo con un par de vectores contenidos en el mismo plano.

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

¿Por que es de utilidad el producto cruz en términos de las componentes rectangulares?

Porque trabajamos con vectores

Y los vectores, los descomponemos en términos de i, j, y k.

V =

Tema 1

Fuerzas equivalentes y principio de transmisibilidad

V expresado en forma de determinante:

Práctica más

Otra forma en la que puedes obtener el producto cruz, es haciendo un arreglo de determinante cómo este:

+ k

- j

(PxQz - PzQx)

(PxQy - PyQx)

V = i (PyQz - PzQy)

Tema 2

Momento de una fuerza con respecto a un punto

El saber resolver un producto cruz es importante

porque trabajaremos con el concepto de Momento

La magnitud 𝐌𝐨 mide la tendencia de la fuerza 𝐅 a hacer rotar al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de 𝐌𝐨. Y se calcula como:

Info

Nomenclatura:Mo : Vector de momento r : vector de distancia entre el punto O y el punto A F: vector de fuerza Punto O : Punto dónde quiero calcular el momento Punto A : Punto dónde se aplica la fuerza.

Tema 2

Momento de una fuerza con respecto a un punto

Cuándo calculamos momentos en 2D (es decir, que el vector de distancia y de fuerza estén dentro del plano xy) podemos hacer una simplificación:

• Como las componentes de r y F estarán dentro del plano xy, el momento tiene que ir en dirección z.
• Será un momento positivo si se produce un giro contrario a las manecillas del reloj.
• Será un momento negativo si se produce un giro en sentido a las manecillas del reloj.
• La magnitud del momento se puede calcular multiplicando las magnitudes de la fuerza y la distancia perpendicular entre el punto donde se quiere calcular el momento y el punto de aplicación de la fuerza.

Tema 2

Momento de una fuerza con respecto a un punto

Para el caso 3D

Tema 2

Momento de una fuerza con respecto a un punto

Momento de una fuerza aplicada en un punto A con respecto a un punto arbitrario B.

Tema 3

Teorema de Varignon

Podemos calcular el momento utilizando una sumatoria de fuerzas.

Podemos calcular el momento individual de cada fuerza y sumarlos al final.

Haz completado las lecciones, puedes regresar al menú o realizar un pequeño quiz. El quiz no tiene valor de calificación pero tiene valor de aprendizaje. Tú decides sí lo haces.

Quiz

Quiz

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Pregunta 1/5

¿En qué consiste el principio de transmisibilidad?

El efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido altera la rotación del cuerpo si dicha fuerza se mueve a lo largo de su línea de acción.

El efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su línea de acción.

Pregunta 2/5

Lorem ipsum quiz

¡Correcto!

¿Qué tipos de movimientos pueden producir las fuerzas externas?

De traslación y/o rotación

Solo de traslación

Solo de rotación

Pregunta 3/5

Lorem ipsum quiz

¡Correcto!

¿Es correcta la siguiente afirmación?:La línea de acción de un producto vectorial V es perpendicular al plano que contiene a los vectores que lo forman (P x Q).

Sí

No

Solo cuando P > Q

Pregunta 4/5

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¡Correcto!

El producto cruz de dos vectores unitarios iguales siempre es igual a 1.

No

Sólo cuando multiplicamos de derecha a izquierda.

Sí

Pregunta 5/5

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¡Correcto!

Un momento se define como el producto cruz de un vector de distancia y un vector de fuerza, y siempre debe colocarse primero el vector de fuerza y después el vector de distancia.

Sí, pero unicamente cuando la fuerza y la distancia estan contenidas en el plano xy.

Sí, primero es el vector de fuerza y luego el vector de distancia.

No, primero es el vector de distancia y luego el vector de fuerza.

Resultados

Ubicate según tus aciertos

0/5

1/5

3/5

2/5

4/5

5/5

4 correctas

5 correctas

0 correcta

1 correcta

2 correctas

3 correctas

Bibliografía

01

Beer, F. P., Johnston, E. R., & Eisenberg, E. R. (2007). Mecanica vectorial para ingenieros: Estática (8va ed.). Estados Unidos: McGraw-Hill Interamericana.

02

MateFacil. (2017, March 22). 44. Regla de la mano derecha, dirección del producto cruz | Cálculo vectorial. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=6OjaBT6xOgY&feature=youtu.be

03

Gutiérrez, A. (s. f.). Producto vectorial. GeoGebra. https://www.geogebra.org/m/hqG44Uj4

04

Hibbeler, R. C. (2010). Ingeniería Mecánica - Estática (Decimosegunda edición). PEARSON PRENTICE-HALL.

05

Meriam, J. L., & Kraige, L. G. (2011). Engineering Mechanics. Wiley.

06

Zapatero-Gutiérrez, A. (2021, February 9). Momento de una fuerza. Prezi.Com. https://prezi.com/view/1JQ05zd2MZM9RGqv1zhx/

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