NÚMEROS REALES

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE LERMA

ASIGNATURA: CÁLCULO DIFERENCIAL. CARRERA: INGENIERÍA EN MECATRÓNICA. MAESTRO: M.C. EDUARDO ANTONIO MENA CALDERÓN. SEMESTRE: 1°. GRUPO: T1B. ALUMNO: MILKA ISMERAI BARRERA MÉNDEZ. TEMA: NÚMEROS REALES. ACTIVIDAD: INVESTIGACIÓN DOCUMENTAL. FECHA DE ENTREGA: 12 / 09 / 2021

ÍNDICE

Axiomas de los Numeros Reales

Los Números Reales

Introducción

Valor Abasoluto y sus Propiedades

Propiedades de las Desigualdades

Intervalos y su Representación Gráfica

Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

Conclusión

Resolución de desigualdades de primer y segundo grado con una incógnita

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Bibliográficas

INTRODUCCIÓN

En esta presentación se abordarán todos los temas que comprenden la Unidad 1 de la asignatura de Cálculo Diferencial; como son: los números naturales, axiomas de los números naturales, intervalos y su representación gráfica, etc. Se proporcionan ejercicios resueltos como apoyo al entendimiento de la teoría y para que sea más comprensible dicho tema. Es importante señalar que el estudio de estos temas nos va ampliar el conocimiento matemático que hemos venido desarrollando a lo largo de los años de nuestra actividad escolar.

LOS NÚMEROS REALES

Los números, tal y como los concebimos en la actualidad, son símbolos despojados de cualquier referencia a objetos concretos. En la mayoría de los textos de matemáticas los números reales se representan con el símbolo R.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

Construye un conjunto de números racionales mediante razones de números enteros como la siguiente forma: Q={-4,-3,(-3)/2,-1,0,1/2,2,3,10/3,4}.

El conjunto de los naturales puedes escribirlos de la siguiente manera, empleando el símbolo: N = {1, 2, 3, …}.

Estos no presentan periodicidad en su expansión decimal, toda vez que son inconmensurables, como, por ejemplo: I={√5, √685, √201, √609}.

Los números enteros positivos y negativos, incluyendo el cero, puedes escribirlos de la siguiente forma: Z = {-2, -1, 0, 1, 2, ..}.

AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES

LEYES DE LOS AXIOMAS

Sea un operador llamada multiplicación simbolizado por “ ⋅ ” (si, un punto) y definido sobre los números reales R, entonces decimos que la multiplicación es una ley de composición interna u operación interna ⋅ : R × R → R tal que las componentes de la terna (x, y, z) ∈ (R × R) × R.

En el conjunto de los números reales, se definen dos operaciones: la adición y el producto.

Entonces decimos que la suma es una ley de composición interna u operación interna + : R × R → R tal que las componentes de la terna (x, y, z) ∈ (R × R) × R.

Este axioma es muy usado para demostrar las propiedades de productos notables del curso de álgebra elemental que ya hemos publicado en una sección exclusiva de la enseñanza media. La propiedad dice que para cualquier terna de números reales x, y, y z se cumple que: (x + y) z = xz + yz. Esta ley se llama propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.

Los axiomas de orden establecen una relación de cantidad. Esta relación es del tipo mayor o igual. Se dirá que x < y o y > x solo si x es menor que y si y es mayor que x. De manera rigurosa, se puede decir que existe un conjunto o ⊂ R x R tal que x < y si y solo si (x, y) O ∈.

INTERVALOS Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA

INTERVALO

Es el conjunto de números reales comprendidos entre dos lados a y b son los extremos del intervalo. También se le llama intervalo al segmento determinado por los puntos a y b que representa una porción de la recta real.

LOS INTERVALOS PUEDEN SER ABIERTOS, CERRADOS O SEMIABIERTOS

El Intervalo Abierto (a, b)

El Intervalo Cerrado [a, b]

Los Intervalos Semiabiertos

Es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, incluyendo a y b; en plan muy matemático: {x/ a ≤ x ≤ b }.

Pueden ser (a, b], en cuyo caso incluye b, pero no a; {x/ a < x ≤ b } o [a, b) que incluye a pero no b; {x/ a ≤ x < b }.

Es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, sin incluir ni a ni b; en plan muy matemático: {x/ a < x < b }.

EJEMPLO

El Intervalo Abierto (a, b)

El Intervalo Cerrado [a, b]

Los Intervalos Semiabiertos

Representación del intervalo [-2,0]. {x/ -2 ≤ x < 0}

Representación del intervalo (-2,0]. {x/ -2 < x ≤ 0}

Representación del intervalo (1, ∞); también una semirecta. {x/ 1 < x < ∞}

VALOR ABSOLUTO Y SUS PROPIEDADES

EJEMPLO

El valor absoluto de un número a se escribe como |a| y es su valor numérico sin signo.

La función valor absoluto es la función f : R → [0,+ ∞).

También, podemos definir la función por partes. Es continua en todos los reales y derivable en todos los reales excepto en x = 0.

El valor absoluto de x, |x|, es −x si x es negativo y es x si x es positivo o 0.

PROPIEDADES

El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de sus factores. |x ∙ y| = |x| ∙ |y|

El valor absoluto de un número es siempre no negativo. |x| ≥ 0

El valor absoluto de un número x es 0 si, y sólo si, x=0. |x|=0 ⟺ x=0

Desigualdad triangular (valor absoluto de la suma). |x + y| ≤ |x| + |y|

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

La afirmación “una expresión algebraica es mayor que (o menor que) otra expresión” se llama desigualdad. Las expresiones llamadas miembros de la desigualdad deben ser números reales. Los símbolos más usuales de desigualdad son > y <, se leen respectivamente “mayor que” y “menor que”.

EJEMPLO

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número positivo, resulta otra del mismo sentido.

Si sumamos o restamos un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, resulta otra del mismo sentido.

a < b ⇒ a + c < b + c ∀c ∈ R

a < b y c > 0 ⇒ ac < bc y a/c <b/c

Si se cumple que -3 < 5 entonces -3 + 4 < 5 + 4 ó 1 < 9.

Si −2 < 8 ⇒ −2 ⋅ 3 < 8 ⋅ 3 ⇒ -6 < 24

Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una desigualdad por un mismo número negativo, resulta otra de sentido contrario.

El sentido de una desigualdad se conserva al multiplicar (o dividir) sus dos miembros por un mismo número positivo, y se invierte si dicho número es negativo.

a < b y c < 0 ⇒ ac > bc y a/c >b/c

Si −10 < 1 ⇒ −10 (-2) > 1 (-2) ⇒ 20 > -2

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA

Las desigualdades de primer grado, se pueden resolver de una manera similar que las ecuaciones lineales. Es necesario tomar en cuenta una diferencia muy importante, ya que cuando se multiplica una desigualdad por algún valor negativo, esta se invierte, es decir, de menor que cambia a menor que y viceversa

EJEMPLO

Sumamos 5 a los dos lados de la desigualdad. 6x – 5 + 5 ≥ 5x + 30 + 5 6x ≥ 5x + 35

Restamos 5x en ambos lados. 6x – 5x ≥ 5x + 35 – 5x -1x ≥ 35

6x – 5 ≥ 5x + 30

Multiplicamos ambos lados por -1/2 *. -1/2 (-1x) ≤ -1/2 (35) x ≤ -17.5

La resolución gráfica de una inecuación de segundo grado, ax2 +bx + c > 0, se realiza mediante la representación gráfica de la función: y = ax^2 + bx + c (parábola). Se trata, por tanto, de estudiar el signo de y, según sea la desigualdad que nos dan.

EJEMPLO

Si hacemos el producto de los dos paréntesis vemos que se trata de una inecuación de segundo grado. -x^2+4≥0

(-x+2)∙(x+2)≥0

Para resolver la ecuación de segundo grado cuyas soluciones dividirán a la recta en varios intervalos, y estudiar el signo en cada uno. Si resolvemos la ecuación obtenemos como soluciones x = 2 y x = -2

La recta real quedaría dividida en tres intervalos como se muestra:

Si dibujamos la parábola: y = -x^2 + 4

Podemos ver que la parte positiva por encima del eje vertical corresponde al intervalo [-2,2].

RESOLUCIÓN DE DESIGUALDADES QUE INCLUYAN VALOR ABSOLUTO

Para resolver una desigualdad con valor absoluto del lado izquierdo y una constante positiva en el otro miembro, solo hay que identificar con alguna de las dos formas, aplicar la equivalencia, resolver las desigualdades de la equivalencia para pasar a determinar el conjunto solución de la desigualdad en base a la condición de la equivalencia.

EJEMPLO

Paso 4

Paso 1

Paso 3

Paso 2

Establecer el conjunto solución por intervalos y representarlo gráficamente.

Despejar la expresión en el miembro izquierdo e identificar con alguna de las formas de la proposición.

Encontrar el conjunto solución a través de la equivalencia.

Resolver la desigualdad | 5x - 4 | ≤ 7.

Aplicar la equivalencia.

Se resuelven de manera simultánea. Lo que se hace a un miembro se les hace a los otros dos miembros hasta aislar la x en el miembro del medio.

El conjunto es {x│-3/5≤ x ≤11/5 }, es decir la x en el intervalo [-3/5,11/5].

El valor absoluto ya está despejado. Tiene la forma 1 de la proposición.

La desigualdad es equivalente a: −7 ≤ 5x −4 ≤ 7

CONCLUSIÓN

Después de haber revisado cada uno de los temas que intervienen en esta presentación he llegado a la conclusión de que cada uno de ellos es indispensable en nuestra vida como estudiante, ya que el desarrollo de las matemáticas está inmerso en cualquier actividad que nosotros llevemos a cabo, llamesele de manera personal, social, educativa y hasta amorosa. Definitivamente que al realizar los ejercicios propuestos en dicha presentación ampliaron mi conocimiento de manera exhaustiva y por lo tanto recomiendo que es indispensable seguir investigando sobre los temas que aquí intervienen y de ser posible extendernos un poco más.

BIBLIOGRAFÍA

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