0 numeri naturali

numeri naturali e numeri interi

numeri naturali

RETTA ORIENTATA E SIMBOLI

OPERATORI E OPERANDI

PROPRIETA' DI ADDIZIONE E MOLTIPLICAZIONE

PROPRIETA' DI SOTTRAZIONE E DIVISIONE

numeri naturali e numeri interi

numeri naturali

I numeri naturali sono tutti i numeri appartenenti all' insieme N, dunque numeri positivi che vanno da 0 ad infinito

Semiretta orientata

i simbolo per indicare la relazione d'ordine sono:

I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiratta orientata; questa, fa vedere che l'insieme dei numeri naturali è ordinato, e possiamo sempre confrontare due numeri naturali fra loro.

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Potenze

Operazioni e operandi

Con i numeri naturali si eseguono le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. I due numeri con i quali si opera, cioè gli operandi, assumono nomi particolari, così come i risultati delle operazioni.

DatA

Proprietà delle operazioni in N

Addizione e moltiplicazione

• Proprietà commutativa dell'addizione
• Proprietà commutativa della moltiplicazione
• Legge di annullamento del prodotto
• Proprietà associativa dell'addizione
• Proprietà associativa della moltiplicazione
• Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione

• 0 è l'elemento neutro dell'addizione

• 1 è l'elemento neutro della moltiplicazione

• 0 è l'elemento assorbente della moltiplicazione

Proprietà delle operazioni in N

sottrazione e divisione

• Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione
• Proprietà distributiva della divisione rispetto all'addizione e alla sottrazione
• Proprietà invariantiva della sottrazione
• Proprietà invariantiva della divisione

• Comportamento dello 0

nella sottrazione

• Comportamento dello 0 nella divisione

NB:

• In una sottrazione in N, il minuendo dev'essere sempre minore del sottraendo

• In una divisone in N il divisore dev'essere sempre un sottomultiplo del dividendo

Proprietà

delle potenze

• Il prodotto di due potenze con uguale base è una potenza con la stessa base e con esponente la somma degli esponenti
• Il quoziente di due potenze con uguale base è una potenza con la stessa base e con esponente la differenza degli esponenti.
• La potenza di una potenza è una potenza con la stessa base e con esponente il prodotto degli esponenti.
• Il prodotto di più potenze con uguale esponente è una potenza avente lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi.
• Il quoziente fra due potenze con uguale esponente è una potenza avente lo stesso esponente e come base il quoziente fra le due basi.

Un numero naturale diverso da 0 e da 1 è un numero primo se divisibile solo per 1 e per stesso

MCD e mcm

Fra due numeri naturai diversi da 0: • il massimo comune divisore (MCD) è il più grande fra i loro divisori comuni. • il minimo comune multiplo (mcm) è il più piccolo fra i loro multipli comuni diversi da zero

Numeri Interi

1. I numeri interi sono formati dall' unione dei numeri naturali (0, 1, 2, ...) e dei numeri negativi (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno meno davanti ai naturali positivi. L' insieme di tutti i numeri interi in matematica viene indicato con Z.
2. Un numero intero è positivo se ha segno +, negativo se ha segno -.Indichiamo con Z+ l’insieme degli interi positivi, con Z- quello degli interi negativi, con Z+0 quello degli interi non negativi, cioè i positivi e lo zero.

concordi, discordi e opposti

Due numeri relativi con lo stesso segno sono numeri concordi (ad esempio +5 e +8 sono concordi); due numeri relativi con segno opposto sono numeri discordi (ad esempio +4 e-7 sono discordi). Se prendiamo un numero relativo senza segno, stiamo considerando il suo modulo, detto anche valore assoluto. Due numeri che hanno lo stesso modulo, ma segno opposto sono numeri opposti.

Operzioni in Z e le loro proprietàADDIZIONE

La somma di due interi discordi è un intero che ha:

• segno uguale a quello dell'addendo con valore assoluto maggiore;
• valore assoluto uguale alle differenze tra il valore assoluto maggiore e quello minore

La somma di due interi concordi è un intero che ha:

• segno uguale a quello degli addendi;
• valore assoluto uguale alla somma dei valori assoluti dei due numeri

Sottrazione

la differenza di due interi è la somma del minuendo con l'opposto del sottraendo

A differenza dell'insieme N, nell'insieme Z, le sottrazioni sono sempre possibili

Moltiplicazione e divisione

Il quoziente di due interi, diversi da 0, se esiste, è un intero che ha:

• segno positivo se divisore e dividendo sono concordi, segno negativo, se sono discordi;
• valore assoluto uguale al quoziente dei valori assoluti del dividendo e del divisore

Il prodotto di due interi diversi da 0 è un intero che ha:

• segno positivo se i fattori sonon concordi, segno negativo se sonon discordi;
• valore assoluto uguale al prodotto dei valori assoluti dei fattori.

Se almeno uno dei fattori è 0, il prodotto è 0

Espressioni numeriche

In matematica un'espressione è una successione di numeri o lettere che compongono operazioni matematiche. Le espressioni possono contenere numeri interi, decimali o periodici, lettere, frazioni, potenze, etc. I numeri possono essere racchiusi tra parentesi tonde, quadra o graffe

Per svolgere un’espressione aritmetica, si segue un ordine preciso:se nell’espressione ci sono parentesi, si eseguono inizialmente le operazioni all’interno delle parentesi tonde; di seguito le operazioni all’interno delle parentesi quadre; infine, le operazioni all’interno delle parentesi graffe. Le operazioni da svolgere inizialmente sono moltiplicazioni e divisioni, nell’ordine in cui sono scritte; in seguito addizioni e sottrazioni, sempre nell’ordine in cui sono scritte.

Potenze in Z

La potenza di un intero è un intero che ha: • segno negativo solo se la base è negativa e l esponente è dispari; • valore assoluto uguale alla potenza con stesso esponente del valore assoluto della base.

Le proprietà delle potenze con i numeri interi relativi si applicano nello stesso modo delle proprietà delle potenze con i numeri naturali.