Les systèmes de numération

LES SYSTÈMES

DE NUMÉRATION

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© Marie-Pier Forest, Dominic Voyer et Gabrielle Adams, automne 2021

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1. Système indo-arabe

2. Système égyptien

3. Système romain

4. Système sino-japonais

5. Système maya

6. Système babylonien

7. Références bibliographiques

© Marie-Pier Forest, Dominic Voyer et Gabrielle Adams, UQAR, automne 2021

SYSTÈME DE numération indo-arabe

Évolution des chiffres indo-arabes

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Principe de groupement

Notre système de numération repose sur trois principes :

Principe d'échange

Principe de valeur positionnelle

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système de numération égyptien

Le système égyptien est un bel exemple de groupement en base 10. Dans ce système, les unités sont représentées par des traits. Lorsqu'il y a 10 unités, elles sont groupées en une dizaine. Pour chaque puissance de 10, les Égyptiens ont besoin d'un nouveau symbole.

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SYSTÈME DE NUMÉRATION ÉGYPTIEN (suite)

Dans ce système, un nombre est formé par la juxtaposition de symboles. La valeur du nombre est égale à la somme des valeurs des symboles (numération additive). Chaque symbole est répété le nombre de fois requis. Les Égyptiens auraient écrit 1999 ainsi : Notons que l'ordre des symboles n'importe pas.

Question : le zéro est-il nécessaire dans le système égyptien?

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Système de numération romain

Les chiffres romains sont formés à l’aide de 7 lettres majuscules qui correspondent à des valeurs numériques. Un nombre écrit en chiffres romains se lit de gauche à droite. Il s'agit d'un système à la fois additif et soustractif, mais non positionnel. L'ordre a toutefois de l'importance.

Question : le zéro est-il nécessaire dans le système romain?

Source

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SYSTÈME DE NUMÉRATION SINO-JAPONAIS

Il s'agit d'un système additif et multiplicatif en base 10 : on utilise à la fois l'addition et la multiplication pour désigner les nombres. Même si c'est un système non positionnel, l'ordre a de l'importance.

Multiplication

Pour déterminer la quantité de chacun de ces groupements, on fait intervenir la multiplication. Par exemple, 20 s'écrit comme 2 fois 10. Ainsi, on se sert de symboles représentant les 9 unités, puis de symboles désignant les puissances de 10. Par exemple, on écrit le nombre 531 en le décomposant ainsi :

Addition

L'addition est utilisée comme dans le système additif égyptien : pour déterminer l'apport des divers groupements (ou puissances).

5 x 100 + 3 x 10 + 1

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système de numération sino-japonais (suite)

Le système sino-japonais présente une économie de symboles dans l'écriture des nombres comparativement aux systèmes additifs comme le système égyptien. Voyez l'exemple du nombre 1999 écrit à l'aide du système égyptien (en haut) et à l'aide du système sino-japonais (en bas). Toutefois, ces deux systèmes présentent une faiblesse : pour chaque nouvelle position ou groupement, un nouveau symbole s'impose. Les systèmes positionnels règleront cette difficulté.

(28 symboles)

1000 + 9 x 100 + 9 x 10 + 9

(6 symboles)

Question : le zéro est-il nécessaire dans le système sino-japonais?

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Système de numération maya

Le système maya est en base 20. Pourquoi? Les Mayas utilisaient non seulement leurs 10 doigts, mais également leurs 10 orteils! Puisqu'il ne s'agit pas d'une base 10, les symboles utilisés pour représenter les quantités ne sont pas les chiffres comme on les connait. De plus, ​l'écriture des nombres par le biais de ce système positionnel ne se fait pas de gauche à droite, mais plutôt de haut en bas. Un tel système positionnel a une capacité de représentation infinie à l'aide d'un nombre de symboles restreints.

Question : le zéro est-il nécessaire dans le système maya?

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Système de numération BABYLONIEN

Le système babylonien est en base 60. Tous les nombres inférieurs à 60 peuvent s'exprimer à l'aide d'uniquement deux symboles : Un tel système positionnel a une capacité de représentation infinie à l'aide d'un nombre de symboles restreints.

Question : le zéro est-il nécessaire dans le système babylonien?

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Références bibliographiques

• Alloprof. (s.d.). Les chiffres romains. https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-chiffres-romains-m1542

• Alloprof. (s.d.). Les systèmes de numération. https://www.alloprof.qc.ca/fr/eleves/bv/mathematiques/les-systemes-de-numeration-m1099

• Poirier, L. (2001). Enseigner les maths au primaire : notes didactiques. ERPI.

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