DIBUIX TÈCNIC 2n BAT
dibuix tècnic 2 batxillerat
INTRODUCCIÓ
ÍNDEX MATÈRIA
INTRODUCCIÓ
1. QUÈ ÉS EL DIBUIX TÈCNIC?
2. CONCEPTE DE DIBUIX TÈCNIC
3. IMPORTÀNCIA DEL DIBUIX TÈCNIC
1. TRAÇATS GEOMÈTRICS
4. CARACTERÍSTIQUES DEL DIBUIX TÈCNIC
2. POLIDESA
3. RETOLACIÓ
5. ESTRIS DE DIBUIX
INTRODUCCIÓ
UNITAT 1
1 GEOMETRIA
UNITAT 1 ÍNDEX
1. La circumferència:
- 3.1 Homologia en l'espai i Homologia en el pla. Característiques
2. Transformacions geomètriques
- 3.2 Rectes límit d'una homologia
- 3.3 Construccions fonamentals en homologia
3. L'homologia
- 3.4 Elements mínims per determinar una homologia.
4. L'afinitat
- Aplicacions de l'afinitat
- 3.5 Aplicacions de l'homologia
- Concepte d'inversió i elements
5. La inversió
- 3.5 Aplicacions de l'homologia
- Invers d'un punt, d'una recta i d'una circumferència
- Resolució de tangències per inversió
- Corbes còniques i homologia
1. LA CIRCUMFERÈNCIA
1.1 ANGLES RELACIONATS
ACTIVITATS
1.2 ARC CAPAÇ
1.1 ANGLES RELACIONATS
Dins d’una circumferència es poden dibuixar diferents angles, tots esten relacionats amb l’angle central que es aquest:
Aquest angle, el seu centre coincideix amb el centre de la circumferència i té un arc BC, si l’angle és de 40º per exemple l’arc és diu de 40º.
Tots els demés angles que es dibuixen en la circumferència es relacionen amb ell.
ANGLES RELACIONATS
Els angles poden ser:
angle central
angle semiinscrit
vèrtex en el centre de la circumferència
vèrtex en qualsevol lloc de la circumferència però només un costat talla la circumferència
angle inscrit
vèrtex en qualsevol lloc de la circumferència i els costats tallen a la circumferència
angle exterior
angle interior
El vèrtex està fora de la circumferència.
El vèrtex està dins de la circumferència
ANGLE CENTRAL
Angle que té el vèrtex en el centre d’una circumferència i que té per costats dos radis seus. Mesura igual que l’arc que substitueix.
ANGLE INSCRIT
Angle el vèrtex del qual és troba sobra la circumferència i els costats són cordes d’aquesta circumferència.
El seu valor és igual a la meitat de l’arc subtendit.
ANGLE SEMIINSCRIT
Angle el vèrtex del qual és en una circumferència, un dels costats és una corda de la circumferència i l’altre és tangent a aquesta.
Un angle semiinscrit mesura la meitat de l’arc subtendit.
ANGLE INTERIOR
Angle el vèrtex del qual és un punt interior a una circumferència i els costats són dues cordes que passen pel punt.
EXEMPLE
ANGLE EXTERIOR
Angle el vèrtex del qual és un punt exterior a una circumferència i els costats són dues rectes secants a la circumferència.
EXEMPLE
VÍDEOS
Tipus d'angles en la circumferència
Tipus d'angles en la circumferència - PART 1
ACTIVITATS
L’angle central=2x angle inscrit
Igual que passa amb l’angle inscrit passa amb el semiinscrit: L’angle central= 2x angle semiinscrit
Exercici 7 Dibuixa una circumferencia de 3cm de radi i un angle central de 90º, fes un angle inscrit i observa quant mesura. Fes un altre angle inscrit amb el mateix angle, mesura igual?
Exercici 8Si l’arc AC mesura 70º, a)quant mesura l’angle AOC?. b)Si ara l’angle inscrit mesura 25º, quant mesura l’angle central? i l’arc AC?.c)Si l’angle central d’aquest inscrit val 80º quant val l’angle inscrit?
SOLUCIÓ
ACTIVITATS
angle interior=(suma dels dos arcs)/2
angle exterior=(resta de l’arc gran-arc petit)/2
Exercici 9 Observa el dibuix següent on hi ha un angle exterior de 30º i un angle interior de 80º, vull saber l’arc EC i DA, quant valen?
Per fer l’exercici has de recordar el mètode de redució d’un sistema d’equacions, perquè hem de fer dos equacions una amb la fórmula de l’angle interior i un altre amb l’angle exterior.
SOLUCIÓ
1.2 ARC CAPAÇ
L'arc capaç és el lloc geomètric dels punts des dels quals un segment AB es «veu» amb el mateix angle,
- Es fa la mediatriu del segment AB
- Sota el segment AB en el vèrtex del punt A per exemple marquem l'angle, en aquest cas 30º
- Perpendicular a la línia de 30º col·locarem 90º
- Aquesta perpendicular de 90º talla la mediatriu en un punt. Aquest punt serà el centre de l'arc capaç.
- Fent centre en aquest punt 0 fins a l'extrem de A o B tracem l'arc capaç.
Això vol dir que des de qualsevol punt d'aquest arc capaç, podem veure amb angle de 30º el segment AB. Des de qualsevol punt podriem traçar angles de 30º que passin pels punts AB
2. transformacions geomètriques
TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES
Les transformacions geomètriques són la o les operacions geomètriques que permeten crear una nova figura a partir d'una prèviament donada. A aquesta nova figura se li diu homòloga de l'original. Podem classificar aquestes transformacions en dos grans grups:
directa
inversa
Si la homòloga conserva l'orientació de l'original.
Si la homòloga té el sentit contrari a l'original.
tipus de transformacions
També podem classificar les transformacions geomètriques segons la forma de l'homòleg respecte a l'original. En aquest cas, tenim tres grans grups:
L'element homòleg conserva invariants les dimensions i els angles de la forma inicial. Són aquelles que en el procés de transformació conserven les distàncies (iso, igual; mètrica, mesura); només canvia la posició de les figures. Aquestes transformacions solen anomenar-se moviments en el pla. La figura a la qual s'aplica aquest tipus de transformació tenen com transformada, una altra que és congruent a ella. Corresponen a aquest tipus de transformació:
2.1 isomètriques
Mètodes per a l'obtenció de figures iguals
Lorem ipsum dolor sit amet
TRIANGULACIÓ
RADIACIÓ
EXEMPLE
NOMBRE
Lorem ipsum dolor sit amet
COORDENADES
CÒPIA D'ANGLES
simetries
Lorem ipsum dolor sit amet
Simetria CENTRAL
Simetria AXIAL
EXEMPLE
NOMBRE
Lorem ipsum dolor sit amet
Simetria AXIAL
translació
Lorem ipsum dolor sit amet
Encaixar un segment
Encaixar un segment
Encaixar un segment
NOMBRE
Lorem ipsum dolor sit amet
Translació d'una figura
Traslladar un triangle
gir o rotació
Lorem ipsum dolor sit amet
GIR d'un polígon, donats l'angle de gir (120º) i sentit (dextrògir)
GIR d'un polígon, donats l'angle de gir (-45º) i sentit (levògir)
Trobar el CENTRE de gir d'un polígon
NOMBRE
Construcció d'un quadrat sobre rectes paral·leles
Lorem ipsum dolor sit amet
ACTIVITATS
exercicis
exercicis
1. Gir, translació i Simetría
2. Copia de polígons
solució
solució 1
solució 2
2.2 isomòrfiques
L'element homòleg conserva invariants la forma (angles) de la inicial i hi ha proporcionalitat entre les seves dimensions. A aquest grup, que també és conegut, pertanyen:
homotècia
L'homotècia és una transformació geomètrica en la que a partir d'una figura obtenim una altra de semblant a un altra mida o escala
- Els punts homotètics estan alineats amb un tercer fix anomenat centre de l'Homotècia (O).
- La relació entre els segments definits per aquest centre i els punts transformat i original és una constant anomenada raó de l'homotècia (k).
PROPIETATS
Dues figures homotètiques guarden relació de semblança.
El centre de la Homotècia és invariant, i les rectes que passen pel centre de la Homotècia també ho són, encara que no ho són per punts (els punts no són dobles).
En una Homotècia poden donar-se els següents casos:
- Si la constant k és més gran que 0, la Homotècia s'anomena directa, i en ella els punts homotètics estan tots dos a la mateixa banda de centre de la Homotècia.
- Si la constati k és menor que 0, la Homotècia s'anomena inversa, i en ella els punts homotètics estan en costats diferents pel que fa a centre de la Homotècia.
- Si la constant k és 1, la figura homotètica coincideix amb l'original, i la transformació s'anomena Funció Identitat.
- Si la constant k és -1, la Homotècia esdevé una Simetria central (veure capítol 2.4).
- Si el valor absolut de la constant k és més gran que 1, la Homotècia produeix un augment de mida (la figura final és més gran que l'original).
- Si el valor absolut de la constant k és menor que 1, la Homotècia produeix una disminució de grandària (la figura final és menor que l'original).
homotècia
H. DIRECTA i INVERSA entre circumferències
H. INVERSA K= -3/4.
H. DIRECTA Raó d'homotècia.
H.DIRECTA centre exterior
H. INVERSA coneguts el centre i dos punts homòlegs
HOMOTÈCIA (PAU)
H. DIRECTA centre contingut
H. DIRECTA centre interior
ACTIVITATS HOMOTÈCIA
EXERCICI
EXERCICI
exercicis
exercicis
3. Homotècia entre circumferències
4. Homotècia
1. Homotècia
2. Homotècia
solució
solució
solució
solució
2.3 anamòrfiques
Son aquellas en las que la figura transformada no conserva, en general, ni la forma ni la mida de la figura original. és quan hi ha un canvi de forma entre la figura inicial i la seva homòloga.
Les transformacions d'aquest tercer grup són:
3. l'homologia
3.1 HOMOLOGIA EN L’ESPAI I HOMOLOGIA EN EL PLA
3.2 RECTES LÍMIT
3.3 construccions fonamentals en homologia
3.4 elements mínims per determinar una homologia
3.5 aplicacions de l' homologia
ACTIVITATS
3.6 CORBES CÒNIQUES I HOMOLOGIA
homologia
L'element important de l'homologia és la intersecció entre els dos plans anomenat Eix de l'homologia. Hi ha dues propietats de l'homologia que cal destacar: 1- Qualsevol parella de punts homòlegs C i C' estaran alineats amb el centre de l'homologia. La recta que passa per C i C' passarà també pel punt 0 centre de l'homologia. 2- Rectes Homologues. Una recta i el seu homòleg es tallaran o es van intersecar en l'eix d'homologia en un punt on coincidirà el punt original C i el seu homòleg C'. Aquest punt s'anomena punt doble. Per tant en l'eix d'homologia tots els seus punts seran punts dobles CC'
homologia
És una transformació projectiva. Què significa això? Significa que tindrem una figura continguda en un pla, per exemple un triangle ABC. Per una altra banda tindrem un punt fix 0 anomenat centre de projecció o centre de l'homologia. Des d'aquest centre 0 partiran una sèrie de rectes anomenades rajos projectants. Cada una d'aquestes rectes passaran per cada un dels punts de la figura ABC, continuaran el seu camí i aniran a intersecar amb un segon pla. En intersecar es formarà la figura transformada o figura homològica que anomenarem A'B'C'
Homologia. Fonaments teòrics.
3.1 HOMOLOGIA EN L’ESPAI I HOMOLOGIA EN EL PLA
Si us doneu compta, tenim els mateixos elements que teníem en el cas de les tres dimensions: el centre d'homologia, l'eix d'homologia i també tenim la figura original i la transformada.
Aquí se seguirà complint les mateixes propietats que es complien en el cas de les tres dimensions, és a dir, qualsevol parella de punts homològics CC' estaran alineats amb el centre d'homologia i per una altra banda si tenim dues rectes homològiques, per exemple la recta que passa pels punts BC i la recta que passarà pels B'C'. Aquestes dues rectes es tallaran sempre sobre l'eix i aquest punt serà un punt doble on un punt coincideix amb el seu homòleg.
Tot aquest desenvolupament que s'està fent de l'homologia, tota aquesta operació de projectar s'està realitzant en l'espai tridimensional.
Nosaltres per treballar, treballarem en una fulla de paper, en un espai bidimensional (com passo d'un espai tridimensional a un de bidimensional?)
Passaré a través d'una segona projecció sobre una fulla de paper que és un pla, és com fer una foto frontal de les figures i ho imprimíssim, així podem treballar en dues dimensions.
COM CALCULAR L'HOMÒLEG D'UN PUNT
Imagineu que tenim un punt qualsevol E, el seu homòleg estarà alineat amb el punt E i l'eix i amb el centre de l'homologia. Per altra banda sabem que dues rectes homològiques és creuaran just en l'eix de l'homologia, aleshores si per exemple faig la recta que passa pel punt A i el punt E, la seva recta homologa passarà per A' i aquestes dues rectes r r' seran homologues. A llavors l'homòleg del punt E ha d'estar sobre on es creuen les rectes r' i la del E i obtindrem E'.
Això ho haurem de fer servir molt sovint en els problemes.
HOMOLOGIA INVERSA
Un altre cas particular que ens pot sorgir en els problemes d'homologia. Fins ara el que hem vist és que les dues figures homòlogues estaven en diferents costats de l'eix, se'n diu homologia directa
Què passa quant les dues figures estan en el mateix costat de l’eix?Quan es veu aquesta situació, diem que estem davant d'una homologia inversa.
3.2 RECTES LÍMIT
Quan més a prop estigui el punt del centre d'homologia, el seu homòleg estarà més lluny, Per exemple l'homòleg del punt A estarà més lluny que l'homòleg del punt B. Hi haurà un moment que si m'acosto suficientment al centre d'homologia l'homòleg del punt estarà en l'infinit. Els punts en què els homòlegs estan en l'infinit l'anomenarem P'&
RECTES LÍMIT
Ara haurem de trobar quin és el punt, en el que el seu homòleg serà P'&, és a dir el punt P. Estarà situat en la recta CB i per trobar-lo, simplement haig d'unir el punt de l'infinit amb el centre de l'homologia, com faig això? Si jo vull unir punts de la recta B'C' amb el centre de l'homologia, simplement començaré unint els punts (agafem regle o llapis i posem un extrem al centre i l'altre per exemple al punt B' i sense moure del centre vaig acostant el regle cap a dalt, allunyant-me. A mesura que em vaig allunyant s'obra el raig projectant fins a arribar a ser paral·lela a la recta P'
RECTES LÍMIT
El raig projectant paral·lel a la recta P' va a buscar el punt P' situat a l'infinit, es trobaran a l'infinit les dues rectes perquè són paral·leles. El punt on talla aquesta paral·lela amb la recta BC serà el punt P i el seu homòleg serà el P' que està situat a l'infinit..
Per aquest punt P passarà la recta límit. Farem una paral·lela a l'eix de l'homologia sobre el punt P i aquesta recta s'anomenarà recta límit (RL)
La interpretació d'aquesta RL és que si jo agafo qualsevol punt d'ella, el seu homòleg estarà en la recta del punt P'.
RECTES LÍMIT
A més d'aquesta RL tenim un altre RL, seria el lloc geomètric dels punts homòlegs i els originals estaran a l'infinit (ara estem al Pla vertical), seria al revés de l'anterior.Llavors considerem la recta AC, l'allarguem fins a l'eix i que sobresurti pel Pla horitzontal (que s'allargarà fins a l'infinit Q) i també allarguem la recta A'C' fins a l'eix. Com el trobo l'homòleg d'aquest punt Q situat a l'infinit? Unint el punt Q
amb el centre de l'homologia. Com que aquest punt està a l'infinit, haure de traçar una paral·lela a aquesta recta Q fins al centre de l'homologia, el punt homòleg ha d'estar sobra d'aquesta paral·lela, com és un punt homòleg de la recta AC doncs estarà allà on es creui la recta A'C' i la paral·lela. Aquest punt serà l'homòleg situat a l'infinit Q'.
Ara fem una paral·lela a l'eix sobre el punt Q' i aquesta recta l'anomenarem RL'.
La interpretació geomètrica és que qualsevol punt homòleg que estigui situat sobra aquesta recta RL' té el seu punt origen situat allà. Aquestes dues rectes, tant la RL com la RL' seran paral·leles a l'eix, a més hi ha un altra propietat que ens pot servir que és que la distancia entre la RL' de punts homòlegs i l'eix que anomenarem d serà la mateixa que la distància entre la RL i el centre de l'homologia.
3.3 construccions fonamentals en homologia
En una homología definida pel seu vèrtex, l’eix i una de les rectes límit, hi trobarem els elements homolegs d’algunes posicions de rectes que ens puguin ajudar en la resolución de problemas d’aplicació en homología.
- Homòloga d’una recta r qualsevol
- Homòloga d’una recta paral·lela a l’eix de l’homologia
- Homòleg d’un punt qualsevol
Homòloga d’una recta r qualsevol
Buscarem els homòlegs dels punts de tall de la recta r amb l’eix i la recta límit. La intersecció A-A’ amb l’eix és un punt doble, i per això la recta homòloga r’ també passarà per aquest punt.
La recta VM, si és M la intersecció de la recta r amb RL, defineix la posición dels punts de l’infinit de r’, per això aquesta será paral·lela a VMM’8 passant pel punt doble A-A’.
Homòloga d’una recta paral·lela a l’eix de l’homologia
Tracem una recta s qualsevol que talla r en el punt P, i intercepta els punts A i M sobre l’eix de l’homologia i la recta RL; determinarem la seva homòloga s’ tal com hem fet a l’apartat anterior. Un cop coneguda s’, hi situem a sobre l’homòleg P’ (mitjançant la recta VP). Per P’, també paral·lela a l’eix, hi traçarem la recta homòloga r’.
Homòleg d’un punt qualsevol
L’homòleg del punt P de la figura anterior es determina fent-hi pasar una recta s qualsevol, de la qual determinem la seva homòloga s’; a sobre d’aquesta, segons la correspondencia VP, hi trobarem la posición de l’homoleg P’.
3.4 elements mínims per determinar una homologia
Hem vist els elements que cal considerar en una homología: vèrtex, eix, rectes límit, punts i rectes dobles… No obstant això, no és necessari conèixer-los tots perquè una homología quedi determinada; hi ha uns elements mínims a partir dels quals podrem determinar la resta. Tot seguit veurem aquests casos.
- El vèrtex, l’eix i un punt i el seu homòleg
- El vèrtex, l’eix i una recta límit
- L’eix, la recta límit i un punt i el seu homòleg
- Les dues rectes límit i el vèrtex
- Dues parelles de punts homòlegs i la dirección de l’eix.
El vèrtex, l’eix i un punt i el seu homòleg
Obtindrem els homòlegs dels restants punts mitjançant l’aplicació:
- Cada punt i el seu homòleg están alineats amb el centre o vèrtex V de l’homologia.
- Cada recta i la seva homòloga es tallen en un mateix punt, homòleg de si mateix, situat a l’eix de l’homologia.
- Les rectes que uneixen cada punt amb el seu homòleg passant pel centre de l’homologia són rectes dobles, perquè són homologues de si mateixes.
El vèrtex, l’eix i una recta límit
Prolonguem un dels costats de la figura original, el costat AB; aquesta recta intercepta el punt M a la RL i 1-1’ a l’eix. Tracem pel punt de l’eix la paral·lela a la recta VMM’&, sobre la qual es trobaran A’ i B’, homòlegs de A i B. Determinarem C’ aplicant-hi les propietats de l’homologia.
Les dues rectes límit i el vèrtex
Les rectes límit, es troben entre el vèrtex i l’eix de l’homologia. La posición d’aquest darrer la determinem paral·lela a les rectes límit i a la mateixa distancia de RL’ a la qual es trova RL de V. Coneguts aquests quatre elements podrem determinar la figura homòloga de qualsevol altra.
L’eix, la recta límit i un punt i el seu homòleg
Prolonguem AB fins a tallar a M i a 1-1’ a la recta límit i a l’eix. Unim el punt de l’eix amb A’ i tracem la paral·lela per M; la intersecció d’aquesta paral·lela amb la recta AA’ defineix la posición del vèrtex V de l’homologia; a partir d’aquest vèrtex i en la forma habitual, completem els vèrtex restants de la forma homòloga.
Dues parelles de punts homòlegs i la direcció de l’eix.
La unió de cada punt amb el seu homòleg defineix dues rectes que es tallen al vèrtex V de l’homologia. Les rectes homologues AB i A’B’ es tallen en el punt doble 1-1’ pertenyent a l’eix, que traçarem paral·lelament a la dirección donada. Ja tenim les dades necessàries per completar el traçat de qualsevol figura homòloga d’una altra de coneguda.
3.5 aplicacions de l' homologia
La utilització de l'homologia facilita la resolució de qüestions en sistema dièdric o en perspectiva cònica. (la intersecció recta-pla, en sistema dièdric, la veurem en la unitat 5).
- Seccions planes de superfícies radials de vèrtex propi. (Veurem en la unitat 5 la intersecció recta-pla, i les superfícies radials a la unitat 7))
- Traçats de perspectives còniques.
- Transformació homològica d'un quadrilàter qualsevol en un quadrat..
Traçats de perspectives còniques.
En la projecció cònica la representació obtinguda sobre el pla del quadre és una figura homològica de la real que es troba en el pla geometral; els elements d'aquesta homologia són:
- El seu vèrtex és el punt de vista de la perspectiva cònica.
- El seu eix coincideix amb la línia de terra de la perspectiva cònica.
- La línia de l'horitzó és una de les rectes límit de l'homologia.
Traçats de perspectives còniques.
Amb relació amb l'eix o LT, representem la veritable magnitud de la forma plana. Des del punt de vista (centre de l'homologia), tracem les direccions VF' paral·lela a A'B' i VF paral·lela a B'C'. Cada una d'aquestes direccions determina sobre LH o RL la posició dels punts F i F', homològics dels punts de l'infinit de la figura. Prolonguem els costats de la figura fins a LT i des dels punts d'intersecció, tracem les rectes homològiques concurrents a F i F'. Finalment, determinem A i B, aliniats amb V i amb el punts dels quals són homològics. D'una manera semblant obtenim els vèrtex C, D i E; G és un punt doble.
Transformació homològica d'un quadrilàter qualsevol en un quadrat..
Conegut el quadrilàter ABCD, hem de determinar les característiques d'una homologia (vèrtex, recta límit i eix) que el transformi en un quadrat.
Exemple
Les rectes homòlogues AD i BC, i AB i CD, corresponen als costats paral·lels del quadrat; les seves interseccions són punts de la recta límit RL, posició, com sabem, dels punts els homòlegs dels quals es troben a l’infinit. Així, els punts d’intersecció M i N defineixen la recta límit RL. El centre de l’homologia, V, és un punt des del qual la intersecció entre dos costats qualssevol es vegi sota un angle de 90º, i per això V estarà a sobre de la semicircumferència de diàmetre MN. L’angle de 90º que formen les diagonals del quadrat també es troba sobre un arc capaç de 90º, aquell que té per diàmetre el segment PQ, en què P i Q són els punts de la recta límit corresponents a les diagonals AC i BD. La intersecció dels dos arcs capaços defineixen la posició del centre V de l’homologia. Conegut V, els segments VN i VM defineixen les direccions de dos costats perpendiculars del quadrat.
Paral·lelament a RL, i en qualsevol posició, situem l’eix de l’homologia; la seva posició condiciona la mida del quadrat, que serà més gran com més allunyat estigui de l’eix del centre V de l’homologia. Definits el vèrtex, la recta límit, l’eix i les direccions de dos costats perpendiculars, completem l’homologia del quadrilàter ABCD que el transforma en el quadrat A’B’C’D’.
activitatsHOMOLOGIA
Donats el segment AB, el seu homòleg A'B 'i el punt doble P = P' tots al mapa del dibuix, es
demana: a) Determinar l'eix de l'homologia que defineixen b) Determinar el centre de l'homologia que defineixen c) Determinar la figura homòloga d'un triangle equilàter de costat AB.
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
Donats un parell de punts homòlegs A-A ', un eix d'Homologia, un Centre d'Homologia V i el punt B,
es demana: Determinar el punt homòleg de B.
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
Troba els elements d'una Homologia de la qual coneixem el Centre d'Homologia O,
l'eix d'Homologia, el triangle ABC i els punts Homòlegs A’ i B'.
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
Troba la figura homòloga del triangle ABC coneixent un punt homòleg B ', l'eix i la recta límit RL.
Determinar el centre O, així com l'altra recta límit RL'.
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
Troba la figura homòloga del triangle ABC coneixent el centre i les dues rectes límit RL i RL
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
EXERCICI AMB RECTES LÍMIT Com s’ha dit anteriorment una homologia pot venir definida pel centre, l'eix i una recta límit. Es
demana obtenir el triangle homòleg de A'B'C'.
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
Troba la figura homòloga del triangle ABC coneixent el centre i les dues rectes límit RL i RL
EXERCICI
SOLUCIÓ
3.6 CORBES CÒNIQUES I HOMOLOGIA:
La figura homòloga d'una circumferència és una corba cònica. Aquesta serà una el·lipse, paràbola o hipèrbola depenent de la posició relativa de la circumferència amb la recta límit 2:
Propietats
- La recta tangent comú a una revolt cònica passa sempre pel centre d'homologia.
- Si dues còniques homològiques són secants, la recta que uneix els punts d'intersecció entre les dues és l'eix d'homologia
- Si són tangents al punt de tangència pertany a l'eix d'homologia (punts dobles).
- En una homologia el centre d'una cònica es transforma en el pol d'una recta límit respecte de la figura homologada.
circumferència - el·lipse
Circumferència - Paràbola
Circumferència - Hipèrbola
Quan RL és tangent a la circumferència la figura homologada serà una paràbola
Quan RL és exterior a la circumferència la figura homòloga serà sempre una el·lipse.
En cas que RL sigui secant a la circumferència la figura homòloga serà una hipèrbola.
Com dibuixar l'el·lipse homòloga a una circumferència
D'aquesta manera no aconseguim punts distribuïts equitativament sobre l'el·lipse la qual cosa dificulta el seu traçat a mà alçada. Podem observar que cap dels diàmetres homològics són eixos o diàmetres conjugats de l'el·lipse
Homologia normal
L'ideal seria obtenir els eixos de l'el·lipse o els diàmetres conjugats per traçar l'el·lipse mitjançant qualsevol dels seus mètodes.
Convertint la recta límit en polar de la circumferència i trobant el seu pol podem aconseguir això.
Homologia afina
Método de los haces proyectivos
1- En una homologia, conegut l'eix, el centre O, un punt qualsevol de la circumferència A i el seu homòleg A' determina la figura homològica de la circumferència de centre C.
- Comença per dibuixar una línia que passa per A i el centre de la circumferència. Allarga aquesta línia de manera que talli a l'eix en el punt P i en la circumferència en el punt B. En cas que no et resulti còmode trobar B, pots fer una perpendicular al segment AB i trobar C i D en els punts de tall amb la circumferència, com si fos un quadrat.
- Dibuixa una línia que passi per O i per B, si prolongació talla al segment que formen P i A 'en el punt B'.
- El següent pas consisteix a fer una perpendicular al segment AB. Aquesta perpendicular talla en dos punts, C i D, que seran els següents que anem a trobar. Pots perllongar aquesta perpendicular fins a tallar a l'eix en R, que utilitzarem més tard.
- Ara dibuixa la línia que uneix C amb B i prolonga-la fins a tallar a l'eix en el punt S.
- El següent que has de traçar, és la línia que passa per O i C, i prolongar-la bastant.
- Dibuixa la recta que passa per S i B ', en la seva prolongació talla la recta anterior en el punt C'
- Ara que tenim el punt C' , podem utilitzar-lo per trobar el punt D'. Per a això dibuixa la línia que uneix el punt R amb C '.
- Dibuixa una línia que passi per O i per D, i prolonga-la fins a tallar a la línia anterior. El punt on es tallen els dos segments és el punt D' . Amb això ja tens la meitat de l'exercici resolt.
- El següent pas serà trobar els punts intermedis entre els punts A, B, C i D a la circumferència. Per a això has de dibuixar les bisectrius dels angles que formen. D'aquesta manera obtens els punts E, F, H i I.
- Traça una línia que passi per F i B. Aquesta línia talla a l'eix en el punt T.
Uneix T amb B 'i prolonga aquesta línia una mica.
Dibuixa la línia que passa per O i per F i prolonga-la fins a tallar al segment que vas dibuixar davant. El punt de tall serà F '.
Gràcies a F 'pots situar H'. Per a això dibuixa la línia que uneix F amb H i allarga-la fins a tallar a l'eix en el punt V.
Uneix V amb F '.
Ara dibuixa la línia que passa per O i per F i prolonga-la fins a tallar al segment que formen V i F '. El punt on tallen aquestes línies és H ' .
- Per a això dibuixa la línia que passa tant per A com per I i porta-la fins a tallar a l'eix en el punt W.
- Ara uneix el punt W que acabes de trobar amb A.
- El següent que has de fer és dibuixar la línia que passa per O i per I i prolongar-la fins a tallar al segment anterior RA '. El punt on es tallen les dues línies és I '.
- L'últim punt que has de trobar és E '. Per a això pots utilitzar qualsevol punt. Jo en aquest cas he utilitzat el punt C. Així doncs, dibuixa la recta que uneix C i E, allargant-fins a tallar a l'eix en el punt Y.
- Uneix I amb C i continua aquesta línia bastant.
- Per acabar dibuixa la línia que passa per O i per I i segueix-fins a tallar amb la línia que has dibuixat abans. Aquest punt d'intersecció és E '.
- Per acabar, utilitza la plantilla de corbes per dibuixar l'el·lipse.
2- En una homologia, coneguda la RL (2), l'eix i el centre O, determinar la figura homològica de la circumferència de centre C.
- 1º- Tracem dos diàmetres, r i s, que tallen a RL2 a l'eix obtenim l'homòloga de s traçant des del seu punt doble sobre l'eix una paral·lela a O-Ls. Aquí podem traçar els raigs corresponents que ens donen 1' , C' i 2' .
- A continuació determinem r ' i els punts 3' i 2' .
Podem repetir aquesta operació amb tants diàmetres com vulguem. Sempre podrem determinar 2 punts de la figura transformada.
- 2º- Tracem dos diàmetres, en aquest cas un és perpendicular a RL i a l'eix i l'altre és paral·lel. Així determinem dos punts més de l'el·lipse homologada de la circumferència i podem traçar a mà alçada.
Donada una homologia pel seu Centre, Eix i la seva Recta límit RL, es demana dibuixar l'el·lipse homòloga de la circumferència, obtenint els seus eixos. (La corba cònica homòloga d'una circumferència és una el·lipse quan la circumferència és exterior a la Recta Límit RL ' )
- Pren un punt 1 qualsevol de la Recta Límit RL '
Has de trobar els punts de tangència de les rectes tangents a la circumferència que passen pel punt 1. Dibuixa senzillament la mediatriu del segment O-1 i des del punt mitjà M traça un arc de circumferència que passi per O i per 1. Tallarà a la circumferència en els punts A i B, que són els punts de tangència que busquem.
- Uneix ara els punts A i B fins que tallin a la RL 'en el punt 2.
- Des del punt 2, repeteix el procediment anterior per trobar els punts de tangència. Això et donarà els punts C i D. Si uneixes C amb D, t'adonaràs que estan alineats amb 1.
- Les rectes A-B i C-D determinaran dos diàmetres de l'el·lipse i el seu punt de tall M, el centre d'aquesta.
Per aconseguir la recta homòloga de C-D només hauràs de traçar una paral·lela a V-1 pel punt 3, que és el punt de tall amb l'Eix. De manera anàloga hauràs de procedir per obtenir la recta homòloga d'A-B.
- Aconsegueix ara els punts homòlegs A ', B', C 'i D' , simplement unint el Centre d'Homologia V amb cada punt A, B, C i D.
Això ens dóna uns diàmetres conjugats de l'el·lipse, amb la qual cosa ja pots dibuixar-la per algun dels mètodes coneguts.
- A diferència de l'afinitat, aquests eixos no formen 90º, són iguals dos a dos, però no són de 90º. Això si, la distància entre C' i M' ha de ser la mateixa que M' i D'. Igual que B'-M' ha de ser igual que A'-M'.
Com es pot resoldre aquesta el·lipse?
Traçat de l'el·lipse per afinitat
1- Partirem d'una circumferència amb centre M' i el seu diàmetre sigui C'-D'.
2- Dibuixarem un diàmetre perpendicular al diàmetre de l'eix major C'-D' i unirem els seus extrems amb els extrems de l'eix menor B'-A'
A partir d'aquí i utilitzant rectes paral·leles en successives divisions del diàmetre major, anirem obtenint punts de l'el·lipse.3- Dibuixem una corda paral·lela al diàmetre major, una recta paral·lela a l'eix menor i des dels extrems de la corda on talla amb la circumferència fem rectes paral·leles a la recta b' amb la perpendicular. Això ens determina dos punts de l'el·lipse.
4- Seguim el mateix procediment per obtenir més punts de l'el·lipse.
5- Unim els punts i tenim l'el·lipse.
També es pot resoldre pel mètode de feixos projectius, ja que són dos eixos conjugats.
COM DIBUIXAR LA PARÀBOLA EN homòlogIA
1- En una homologia, coneguda la RL (2), l'eix i el centre O, determinar la figura homològica de la circumferència de centre C.
- Ara buscarem la direcció, que és perpendicular a l'eix, la direcció de la paràbola. Unim el punt de tangència T amb el centre d'homologia O i dibuixo la seva perpendicular
- Començarem amb el punt de tangència de la circumferència i de la RL, el punt T. Aquest punt és important, perquè té el seu homòleg a l'infinit, això vol dir que serà el punt en el qual la paràbola estarà oberta. Aquest punt pertany a l'eix.
- Des d'aquest punt 1 tracem la recta tangent a la circumferència que ens determinarà el vèrtex i per tant la direcció de la paràbola. Per trobar la tangent agafo el segment que uneix el punt 1 amb el centre de la circumferència, traço la mediatriu i des del punt mitjà traço un arc de circumferència que ens determinen els dos punts de tangència. Un és el punt T i l'altre és el vèrtex de la paràbola V
- Ara dibuixem la recta del punt 1 al punt V fins a l’eix i a partir del punt 2 la seva recta homòloga que será una paral·lela del punt 1-O. Aquesta será la dirección de la parábola.A
- Sobra la direcció de la paràbola hi haurà el vèrtex de la paràbola. Com que sabem que l'eix conté aquest punt de tangència que està a l'infinit i el vèrtex, simplement unim aquests dos punts TV fins a l'eix i busquem la seva recta homòloga que serà una paral·lela de TO. Aquesta recta serà l'eix de la paràbola. La direcció i l'eix de la paràbola són perpendiculars. El vèrtex de la paràbola serà allà on es creuen la direcció i l'eix, el punt V'.
- El vèrtex està alineat amb el centre O. Seguidament haurem de buscar el focus utilitzant la propietat de la paràbola: "Tota projecció ortogonal des del focus fins a una recta tangent a la paràbola tindrà intersecció amb la recta tangent per al vèrtex de la paràbola" d'aqueta manera la recta del punt 1V2 és la tangent per al vèrtex de la paràbola. Dibuixaré una recta tangent qualsevol i trobarem el punt d'intersecció amb ella a través de la recta 4-3. El punt 3 és el punt que busquem.
- Unim el punt 4 amb O i fem la seva perpendicular i ens dóna el punt 5 que en unir-lo amb el punt 3 ens determinarà la posició del focus. El focus estarà en l'eix, i la recta homologa de l'eix es troba entre V i T. La intersecció de la recta 5 amb la recta V i T ens donarà el focus F
- Ara prendrem el punt doble sobre l'eix 6 de la recta 5 i traçarem una recta paral·lela a O-5. Sobre l'eix estarà el focus F'
- Una vegada que coneixem la posició del vèrtex i del focus és fàcil dibuixar una paràbola. Com sabem el vèrtex està en el punt mitjà entre el focus F' i la directriu. Per tant, si dibuixem una circumferència amb centre V' passant per F' podrem dibuixar una recta paral·lela que serà la directriu.
- A partir d'aquí dibuixarem successius punts sobre l'eix de la paràbola, dibuixarem les rectes perpendiculars per aquestes divisions.
- De la mateixa manera amb la resta de punts i dibuixem la paràbola.
- Agafem la distància entre a i la directriu i amb centre a F’ obtindrem els primers punts.
COM DIBUIXAR LA HIPÈRBOLE EN homòlogIA
- Donada una homologia definida pel Centre, l'Eix i la seva Recta límit RL ', es demana dibuixar la figura homòloga d'una circumferència secant a la RL'.
- Els dos punts de tall de la circumferència amb RL 'tenen els seus homòlegs a l'infinit i representen els punts en els quals la hipèrbola tocarà a les asímptotes. Per tant, ens definiran les asímptotes mateixes.
En primer lloc, dibuixa a les 2 rectes tangents a la circumferència pels punts de tall amb l'RL '. La seva intersecció definirà el punt P o pol.
- Les asímptotes seran les rectes homòlogues de les dues tangents dibuixades i l'homòleg del pol serà la intersecció d'elles. Per dibuixar-les, hauràs de traçar pels punts dobles pertanyents a l'Eix de les dues tangents (punts 1 i 2) una recta paral·lela a O-T1 i O-T2 respectivament. Això donarà les rectes homòlogues r 'i s', així com l'homòleg P 'del pol.
EIX de la hipèrbola
- La bisectriu de l'angle format per les asímptotes determinarà l'eix de la hipèrbola. Per poder discernir de quin dels angles hem de dibuixar la bisectriu, prendrem un punt aleatori 3 de la circumferència i obtindrem el seu homòleg 3 '.
VÈRTEXS de la hipèrbola
- Un cop dibuixada la bisectriu, que és l'Eix de la Hipèrbola, podem trobar els vèrtexs d'aquesta. Aquests es troben en la intersecció de la hipèrbola amb l'eix. Per tant, dibuixa la recta homòloga de l'eix de la hipèrbola. Per a això pots unir el punt doble abril (pertanyent a l'Eix d'Homologia i a l'Eix de la Hipèrbola) amb el punt P, homòleg de P '.
Els dos punts de tall A i B amb la circumferència determinen els vèrtexs de la hipèrbola. Per obtenir els seus homòlegs simplement uneix A i B amb el Centre d'Homologia O i obtindràs A 'i B'.
DIBUIXA la hipèrbola
- A partir d'aquí és relativament senzill.
Traça una recta perpendicular a l'Eix de la Hipèrbola pels punts A 'i B'. Aquestes rectes seran tangents a la hipèrbola. Determinen a més el punt 5 sobre l'asímptota. Dibuixa una circumferència amb centre en P 'i ràdio P'-5 que et donarà els focus F1 i F2 de la hipèrbola.
A partir d'aquí utilitzaré el mètode tradicional de traçat de la hipèrbola.
La hipèrbola és el Lloc geomètric dels punts de plànol tals que la diferència de les seves distàncies a dos punts fixos anomenats focus és igual a la distància entre els vèrtexs.
Per dibuixar-la, pren diverses mesures aleatòries (a, b, c) sobre l'eix de la hipèrbola. Amb centre en els focus F1 i F2 i ràdio A'-a i B '-a dibuixar les circumferències que determinaran dos punts de cada branca de la hipèrbola. Pots aconseguir tots els punts que vulguis. Com més punts, més precisa serà.
l'homologia afí
Transformació anamòrfica
HOMOLOGIA AFIconcepte i elements
És un cas molt important perquè sol aparèixer bastant en la pràctica. Simplement es tracta que el centre de l'homologia se situa infinitament lluny, se situa en l'infinit, i això fa que tots els rajos projectants siguin paral·lels. A la direcció d'aquests rajos projectants se'ls anomena direcció d'afinitat. La resta de coses funcionen igual com s'ha explicat per l'homologia normal.
Dins de l'homologia afí existeix un cas encara més particular quant els rajos projectants, la direcció de l'afinitat serà perpendiculars a l'eix de l'homologia. Aquest cas que funciona igual que l'homologia normal, s'anomena homologia afí ortogonal i serà bastant freqüent en la pràctica.
afinitat concepte i elements
afinitat exercici resolt
aplicacions de l' AFINITAT
- Seccions planes de superfícies radials de vèrtex impropi (ho veurem a la unitat 7)
- Abatiments en dièdric o axonomatria.
TRAÇAT DE L'el·lipse
Un dels traçats de l'el·lipse, coneguts els seus eixos, s'obté aplicant l'afinitat; generalitzem aquest procediment en el cas de disposar dels diàmetres coneguts AB i CD de l'el·lipse.
TRAÇAT DE L'el·lipse per afinitat
Tracem la circumferència de diàmetre AB que representa, alhora, l’eix de l’afinitat. Els punts afins dels extrems del diàmetre C’D’ de la circumferència són els extrems C i D de l’altre diàmetre conjugat de l’el·lipse; CC’ i DD’ defineixen la direcció d’afinitat.
Per punts arbitraris del diàmetre AB, hi tracem perpendiculars fins a la seva intersecció amb la circumferència; els punts afins d’aquests darrers es trobaran sobre les paral- leles al diàmetre CD de l’el·lipse en la seva intersecció amb rectes paral·leles a la direcció d’afinitat. Coneguts una sèrie de punts afins des de la circumferència, completem a mà alçada el traçat de l’el·lipse.
Afinitat de Circumferència: El·lipse
abatiments en dièdric o axonometria
Entre la forma projectada sobre un pla i l’abatuda a sobre també existeix una relació d’afinitat: el seu eix és la xarnera* d’abatiment, i la direcció d’afinitat és la de les perpendiculars traçades a l’eix. Aquests conceptes (abatiment, xarnera) ara encara incomprensibles, (els estudiarem a la unitat 4).
abatiments en dièdric o axonometria
Considerem el pla ABC (fig. 25), donat per les seves projeccions dièdriques i el seu abatiment (A), (B), (C) sobre el pla horitzontal de projecció. Entre A’B’C’ i (A), (B), (C) existeix una relació d’afinitat, amb les condicions indica- des en el paràgraf anterior, que permet deduir la segona a partir de la primera.
Recomanem tornar a les aplicacions d’homologia i afinitat que relacionen aquestes transformacions amb el sistema dièdric després d’estudiar els conceptes corresponents a aquest sistema.
ACTIVITATS afinitat
EXERCICI
EXERCICI
exercicis
exercicis
3. Afinitat
4.Afinitat
1. Afinitat
2. Afinitat
solució
solució
solució
solució
ACTIVITATS afinitat
EXERCICI
EXERCICI
exercicis
exercicis
7. Afinitat
8.Afinitat
5. Afinitat
6. Afinitat
solució
solució
solució
solució
la inversió
Transformació anamòrfica
la inversió
La tercera de les transformacions anamòrfiques té la seva utilitat principal en la resolució de tangències, per conservar invariant aquesta propietat (igual que la incidència i el valor dels angles) en efectuar la transformació.
- Concepte d'inversió i elements
- Invers d'una circumferència
- Resolució de tangències per inversió
concepte d'inversió i elements
Concepte d'inversió i elements
La Inversió en Dibuix Tècnic és una transformació geomètrica en la qual a una figura correspon una altra i en la qual es compleix que: 1. Dos punts inversos (A, A ') estan alineats amb un punt fix anomenat Centre d'Inversió (O), 2. El producte de la distància d'un punt a el Centre d'Inversió per la distància del seu invers a el Centre d'Inversió és constant (K) i es diu Potència d'Inversió. Això vol dir que: OA · OA '= OB · OB' = OT · OT = K
La potència serà positiva si els dos punts es troben al mateix costat del centre d’inversió, i serà negativa en el cas contrari. La inversió és una transformació involutiva, és a dir, que si A’ és l’invers de A, A també ho serà de A’ respecte de la mateixa inversió.
Concepte d'inversió i elements
Traçant successives rectes secants a aquest cercle trobem més punts i els seus inversos. Ja que K és constant, com més gran sigui OA, menor serà OA' , és a dir, quan més allunyat estigui un punt A del Centre O, més a prop estarà el seu invers A' del Centre O.
Hi ha una distància per la qual un punt A i el seu invers són iguals.
El pots veure al dibuix. es tracta del punt de tangència. El punt T coincideix amb el seu invers i per a ell també es compleix que
OT · OT = K.
Per tant,
OT = Arrel quadrada de K
Tots els punts situats a la mateixa distància de centre d'inversió que aquest punt T són dobles. A aquest Lloc geomètric se l'anomena Circumferència de Punts dobles (CPD)
CIRCUMFERÈNCIA DE PUNTS DOBLES O D'autoinversió
La Circumferència de Punts dobles (o circumferència d'autoinversió) és el lloc geomètric dels punts del plànol que tenen els seus inversos en si mateixos. Aquests punts equidisten del Centre d'Inversió una distància igual a l'arrel quadrada de la potència d'Inversió K.
COM DIBUIXAR LA CIRCUMFERÈNCIA DE PUNTS DOBLES
En realitat és molt senzill. Dibuixa una circumferència que contingui dos punts inversos A-A' i dibuixa la recta tangent a aquesta circumferència des del Centre d'Inversió. Això determinarà un punt de Tangència.
La circumferència amb centre en O i radi O-T és la Circumferència de Punts dobles.
En el dibuix està molt clar.
Concepte d'inversió i elements
Hi ha tres figures dobles o invariants en la inversió, és a dir, inverses de si mateixes:a) Una recta r que passi pel centre d’inversió O. Com que l’invers de qualsevol punt ha d’estar alineat amb el centre d’inversió, una recta que passi per aquest centre O tindrà els seus inversos en la recta mateixa.
b) Una circumferència amb centre en el d’inversió i radi igual a l’arrel quadrada de √k. Si un punt A és invers de si mateix es complirà que k = OA · OA’ = OA · OA = OA2 i, per tant, OA = √k Aquesta circumferència s’anomena d’autoinversió.
c) Una circumferència que passi simultàniament per dos parells de punts inversos A, A’ i B, B’ . Aquests punts, si s’hi aplica el concepte de potència que estudiarem en la unitat següent, han de complir necessàriament que k
= OA · OA’ = OB · OB’, i per això hauran d’estar situats a la mateixa circumferència.
Concepte d'inversió i elements
c)
La figura c) el segment OT, tangent a la circumferència de punts dobles, és l’expressió gràfica de l’arrel quadrada de la potència d’inversió. En aquesta mateixa figura, les rectes que passen per dos punts no alineats amb el centre d’inversió, A i B, i els seus inversos A’ i B’, es diu que són antiparal·leles respecte de OA i OB. En les rectes antiparal·leles, tal com es pot veure a r i s de la figura, es compleix que els angles que formen amb les que uneixen cada punt i el seu invers amb el centre són iguals.
Perquè una inversió quedi definida, hem de conèixer-ne el centre i la potència, o el centre i un parell de punts inversos respecte d’aquest centre, o dos parells de punts inversos no alineats.
INVERSIÓ POSITIVA (K> 0) I INVERSIÓ NEGATIVA (K <0)
K<O és inversió NEGATIVA
K>O és inversió POSITIVA
taula d'inversions
Elements que ens podem trobar en un exercici d'inversió.
ORIGINAL
INVERS
(DIFERENT DEL CENTRE D'INVERSIÓ O)
- CIRCIMFERÈNCIA que passa per O
- CIRCUMFERÈNCIA que passa per O
- Un altra CIRCUMFERÈNCIA que no passa per O
- CIRCUMFERÈNCIA que no passa per O
invers d'un punt
1. Determinar una inversió:
a) Determinar el punt invers d'un altre donat (No alineats)
1.1. Coneixent el centre i una parella de punts inversos
b) Determinar el punt invers d'un altre donat. (Alineats)
c) Determinar el punt invers d'un altre donat (Antiparal·leles)
1.2. Coneixent el centre i dos parells de punts inversos no-alineats
1.3. Donat el Centre d'Inversió i la potència d'Inversió
a) Inversió d'un punt exterior a la cpd
b) Inversió d'un punt interior a la cpd
1.4.Coneixent la cpd o circumferència d'autoinversió
c) Obtenir la cpd a partir d'una parella de punts inversos
d) Obtenir els punts inversos de B i C a partir del centre d'inversió i una parella de punts inversos A-A'
1.1. Coneixent el centre i una parella de punts inversos
DETERMINAR EL PUNT INVERS D'UN ALTRE DONAT
a) Troba el punt invers de B, B', donat el centre d'inversió i dos punts inversos A i A'.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.1. Coneixent el centre i una parella de punts inversos
DETERMINAR EL PUNT INVERS D'UN ALTRE DONAT (ALINEATS)
b) Troba el punt invers de B, B', donat el centre d'inversió i dos punts inversos A i A' alineats amb B.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.1. Coneixent el centre i una parella de punts inversos
DETERMINAR EL PUNT INVERS D'UN ALTRE DONAT (ANTIPARAL·LELES)
c) Trobeu l'invers de B' d'un punt B coneixent el centre d'inversió O i un parell de punts inversos A i A' no-alineats amb B.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.2. Coneixent el centre i dos parells de punts inversos no-alineats
Donats dos parells de punts inversos A, A 'i B, B' , determinar el punt invers de C.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
3- Donat el Centre d'Inversió i la potència d'Inversió
Per obtenir l’invers d’un punt A conegut el centre O de la inversió i la seva raó k,
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.4. Coneixent la cpd o circumferència d'autoinversió
Inversió d'un punt exterior a la cpd
a)
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.4. Coneixent la cpd o circumferència d'autoinversió
Inversió d'un punt interior a la cpd
b)
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.4. Coneixent la cpd o circumferència d'autoinversió
Obtenir la cpd a partir d'una parella de punts inversos
c)
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.4. Coneixent la cpd o circumferència d'autoinversió
Obtenir els punts inversos de B-C a partir del centre d'inversió i una parella de punts inversos A-A' utilitzant la CPD.
d)
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
ACTIVITATS inversió d'un punt
exercicis
1. Inversió
solució
invers d'una recta
La figura inversa d’una recta la podem determinar en dos casos: 1- Quan la recta passi pel centre d’inversió –en aquest cas, aquesta recta és inversa de si mateixa. 2- Quan no passi pel centre d'inversió.
En aquest segon cas, quan la recta no passi per el centre d'inversió ens podem trobar en els casos següents:
a) L'invers d'una recta exterior és sempre una circumferència que passa pel centre d'inversió.
b) L'invers d'una recta secant a la circumferència
c) L'invers d'una recta tangent a la circumferència.
L'invers d'una recta exterior és sempre una circumferència que passa pel centre d'inversió
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
L'invers d'una recta secant a la circumferència
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
L'invers d'una recta tangent a la circumferència.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
ACTIVITATS inversió d'una recta
EXERCICI
exercicis
exercicis
3. Inversió
1. Inversió
2. Inversió
solució
solució
solució
inversA d'una CIRCUMFERÈNCIA
La figura inversa d’una circumferència la podem determinar en dos casos:
1- Quan la circumferència passi pel centre d’inversió es transforma en una recta.
Característiques:
- No passarà pel centre d'inversió.
- Serà perpendicular a la recta que uneux el pol (centre d'inversió) amb el centre de la circumferència.
- Si anomanem OH al diàmetre de la circumferència, la recta serà perpendicular a OH per H'.
2- Quan la circumferència no passi pel centre d'inversió es transforma en un altra circumferència.
Característiques:
- No passarà pel centre d'inversió.
- Serà homotètica amb la circumferència original
3- Cas Particular
Quan la circumferència passi pel centre d’inversió es transforma en una recta.
PROCÉS. DIAPOSITIVES
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
Quan la circumferència passi pel centre d’inversió es transforma en una recta.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
invers d'una circumferència
Si la circumferència no passa pel centre d’inversió (fig. 34), la seva inversa és una altra circumferència. Unim els centres de la circumferència i d’inversió amb una recta que determina, sobre la circumferència, els punts A i B; a través de la circumferència d’autoinversió determinem els seus inversos, A’ i B’. La circumferència de diàmetre A’B’ és inversa de la inicial
Quan la circumferència no passi pel centre d'inversió es transforma en un altra circumferència.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
PROCÉS. DIAPOSITIVES
PROCÉS. DIAPOSITIVES
Vídeo
Quan la circumferència no passi pel centre d'inversió es transforma en un altra circumferència.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
PROCÉS. DIAPOSITIVES
cas particular
Si una circumferència té com a centre el pol (centre d'inversió), la seva inversa serà concèntrica a ella. Per tant, per trobar-la únicament haurem de traçar una circumferència amb el mateix centre (el Pol) i que passi per l'invers d'un punt que pertanyi a la circumferència inicial.
PROCÉS. DIAPOSITIVES
ACTIVITATS: inversió d'una circumferència
EXERCICI
exercicis
exercicis
2. Circum. No passa pel centre inversió
1. Circum. passa pel centre inversió
3. Inversió
solució
solució
solució
ACTIVITATS INVERSIÓ
EXERCICI
EXERCICI
exercicis
exercicis
3. Inversió
4. Inversió
1. Inversió
2. Inversió
solució
solució
solució
solució
EXERCICIS
EXERCICIS
EXERCICIS
7. Inversió
5. Inversió
6. Inversió
solució
solució
solució
ACTIVITATS UNITAT 1
Ampliació de geometria plana
activitatsangles, circumferència i arc capaç
Pel punt de tangència de dues circumferències, traça una secant comuna a les dues i demostra que:a) Els radis traçats als extrems de la secant són paral·leles.b) Les tangents traçades en aquells mateixos extrems també seran paral·leles.
Anomenem angle exinscrit l'angle que té el seu vèrtex sobre la circumferència, i que un dels seus costats és secant i l'altre és exterior a la circumferència. Demostra que la seva mesura és la semisuma dels angles centrals corresponents als arcs compresos entre el vèrtex i els extrems del costat interior i la prolongació del costat exterior.
activitatsangles, circumferència i arc capaç
Des de la posició X d'un vaixell sobre el mar, es poden veure els tres punts coneguts de la costa A, B i C, i es mesuren els angles AXB de 45º i BXC de 15º que formen entre si les visuals. Amb aquestes dades fixa la posició del punt X en el mapa.
c+ B+ A+
Determina un punt interior a un triangle ABC, equidistant dels costats a i b, i des del qual es vegi el tercer costat del triangle sota un angle de 60º. Costats: a = 9'5 cm, b = 11'3 cm i c= 7'5 cm.
activitatstransformacions isomètrique
Donats dos segments PQ i P'Q', troba el centre de gir que permeti transformar el primer en el segon.
Q P
P' Q'
activitatstransformacions isomètrique
Donades la recta r i la circumferència de centre O1, gira-la respecte del centre de gir donat perquè la circumferència sigui tangent a la recta.
+ O1
O +
activitatstransformacions isomètrique
Trasllada la circumferència de centre O1, segons la direcció d donada, perquè sigui tangent a la recta r.
+ O1
activitatstransformacions isomètrique
Dibuixa un triangle equilàter amb un vèrtex situat sobre cada una de les tres rectes paral·leles.
activitatshomologia
Inscriu en el triangle ABC donat un triangle semblant al també donat PQR
activitatshomologia
10
Troba el triangle homòleg del triangle ABC, segons les dades de l'homologia donades.
O+
eix
A'
activitatshomologia
11
En l'homologia definida, troba-hi l'homòleg del punt B.
+ O
+ A
+ A'
eix
+ B
activitatshomologia
12
En l'homologia donada per l'eix e, recta límit RL i un parell de punts homòlegs A i A', determina la figura homòloga del rectangle ABCD
eix
A' +
1 UNITAT. AMPLIACIÓ GEOMETRIA PLANA
mapunkcat82
Created on September 6, 2021
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
View
Smart Presentation
View
Practical Presentation
View
Essential Presentation
View
Akihabara Presentation
View
Pastel Color Presentation
View
Visual Presentation
View
Relaxing Presentation
Explore all templates
Transcript
DIBUIX TÈCNIC 2n BAT
dibuix tècnic 2 batxillerat
INTRODUCCIÓ
ÍNDEX MATÈRIA
INTRODUCCIÓ
1. QUÈ ÉS EL DIBUIX TÈCNIC?
2. CONCEPTE DE DIBUIX TÈCNIC
3. IMPORTÀNCIA DEL DIBUIX TÈCNIC
1. TRAÇATS GEOMÈTRICS
4. CARACTERÍSTIQUES DEL DIBUIX TÈCNIC
2. POLIDESA
3. RETOLACIÓ
5. ESTRIS DE DIBUIX
INTRODUCCIÓ
UNITAT 1
1 GEOMETRIA
UNITAT 1 ÍNDEX
1. La circumferència:
2. Transformacions geomètriques
3. L'homologia
4. L'afinitat
5. La inversió
1. LA CIRCUMFERÈNCIA
1.1 ANGLES RELACIONATS
ACTIVITATS
1.2 ARC CAPAÇ
1.1 ANGLES RELACIONATS
Dins d’una circumferència es poden dibuixar diferents angles, tots esten relacionats amb l’angle central que es aquest:
Aquest angle, el seu centre coincideix amb el centre de la circumferència i té un arc BC, si l’angle és de 40º per exemple l’arc és diu de 40º. Tots els demés angles que es dibuixen en la circumferència es relacionen amb ell.
ANGLES RELACIONATS
Els angles poden ser:
angle central
angle semiinscrit
vèrtex en el centre de la circumferència
vèrtex en qualsevol lloc de la circumferència però només un costat talla la circumferència
angle inscrit
vèrtex en qualsevol lloc de la circumferència i els costats tallen a la circumferència
angle exterior
angle interior
El vèrtex està fora de la circumferència.
El vèrtex està dins de la circumferència
ANGLE CENTRAL
Angle que té el vèrtex en el centre d’una circumferència i que té per costats dos radis seus. Mesura igual que l’arc que substitueix.
ANGLE INSCRIT
Angle el vèrtex del qual és troba sobra la circumferència i els costats són cordes d’aquesta circumferència. El seu valor és igual a la meitat de l’arc subtendit.
ANGLE SEMIINSCRIT
Angle el vèrtex del qual és en una circumferència, un dels costats és una corda de la circumferència i l’altre és tangent a aquesta. Un angle semiinscrit mesura la meitat de l’arc subtendit.
ANGLE INTERIOR
Angle el vèrtex del qual és un punt interior a una circumferència i els costats són dues cordes que passen pel punt.
EXEMPLE
ANGLE EXTERIOR
Angle el vèrtex del qual és un punt exterior a una circumferència i els costats són dues rectes secants a la circumferència.
EXEMPLE
VÍDEOS
Tipus d'angles en la circumferència
Tipus d'angles en la circumferència - PART 1
ACTIVITATS
L’angle central=2x angle inscrit
Igual que passa amb l’angle inscrit passa amb el semiinscrit: L’angle central= 2x angle semiinscrit
Exercici 7 Dibuixa una circumferencia de 3cm de radi i un angle central de 90º, fes un angle inscrit i observa quant mesura. Fes un altre angle inscrit amb el mateix angle, mesura igual?
Exercici 8Si l’arc AC mesura 70º, a)quant mesura l’angle AOC?. b)Si ara l’angle inscrit mesura 25º, quant mesura l’angle central? i l’arc AC?.c)Si l’angle central d’aquest inscrit val 80º quant val l’angle inscrit?
SOLUCIÓ
ACTIVITATS
angle interior=(suma dels dos arcs)/2
angle exterior=(resta de l’arc gran-arc petit)/2
Exercici 9 Observa el dibuix següent on hi ha un angle exterior de 30º i un angle interior de 80º, vull saber l’arc EC i DA, quant valen? Per fer l’exercici has de recordar el mètode de redució d’un sistema d’equacions, perquè hem de fer dos equacions una amb la fórmula de l’angle interior i un altre amb l’angle exterior.
SOLUCIÓ
1.2 ARC CAPAÇ
L'arc capaç és el lloc geomètric dels punts des dels quals un segment AB es «veu» amb el mateix angle,
Això vol dir que des de qualsevol punt d'aquest arc capaç, podem veure amb angle de 30º el segment AB. Des de qualsevol punt podriem traçar angles de 30º que passin pels punts AB
2. transformacions geomètriques
TRANSFORMACIONS GEOMÈTRIQUES
Les transformacions geomètriques són la o les operacions geomètriques que permeten crear una nova figura a partir d'una prèviament donada. A aquesta nova figura se li diu homòloga de l'original. Podem classificar aquestes transformacions en dos grans grups:
directa
inversa
Si la homòloga conserva l'orientació de l'original.
Si la homòloga té el sentit contrari a l'original.
tipus de transformacions
També podem classificar les transformacions geomètriques segons la forma de l'homòleg respecte a l'original. En aquest cas, tenim tres grans grups:
L'element homòleg conserva invariants les dimensions i els angles de la forma inicial. Són aquelles que en el procés de transformació conserven les distàncies (iso, igual; mètrica, mesura); només canvia la posició de les figures. Aquestes transformacions solen anomenar-se moviments en el pla. La figura a la qual s'aplica aquest tipus de transformació tenen com transformada, una altra que és congruent a ella. Corresponen a aquest tipus de transformació:
2.1 isomètriques
Mètodes per a l'obtenció de figures iguals
Lorem ipsum dolor sit amet
TRIANGULACIÓ
RADIACIÓ
EXEMPLE
NOMBRE
Lorem ipsum dolor sit amet
COORDENADES
CÒPIA D'ANGLES
simetries
Lorem ipsum dolor sit amet
Simetria CENTRAL
Simetria AXIAL
EXEMPLE
NOMBRE
Lorem ipsum dolor sit amet
Simetria AXIAL
translació
Lorem ipsum dolor sit amet
Encaixar un segment
Encaixar un segment
Encaixar un segment
NOMBRE
Lorem ipsum dolor sit amet
Translació d'una figura
Traslladar un triangle
gir o rotació
Lorem ipsum dolor sit amet
GIR d'un polígon, donats l'angle de gir (120º) i sentit (dextrògir)
GIR d'un polígon, donats l'angle de gir (-45º) i sentit (levògir)
Trobar el CENTRE de gir d'un polígon
NOMBRE
Construcció d'un quadrat sobre rectes paral·leles
Lorem ipsum dolor sit amet
ACTIVITATS
exercicis
exercicis
1. Gir, translació i Simetría
2. Copia de polígons
solució
solució 1
solució 2
2.2 isomòrfiques
L'element homòleg conserva invariants la forma (angles) de la inicial i hi ha proporcionalitat entre les seves dimensions. A aquest grup, que també és conegut, pertanyen:
homotècia
L'homotècia és una transformació geomètrica en la que a partir d'una figura obtenim una altra de semblant a un altra mida o escala
PROPIETATS
Dues figures homotètiques guarden relació de semblança. El centre de la Homotècia és invariant, i les rectes que passen pel centre de la Homotècia també ho són, encara que no ho són per punts (els punts no són dobles). En una Homotècia poden donar-se els següents casos:
homotècia
H. DIRECTA i INVERSA entre circumferències
H. INVERSA K= -3/4.
H. DIRECTA Raó d'homotècia.
H.DIRECTA centre exterior
H. INVERSA coneguts el centre i dos punts homòlegs
HOMOTÈCIA (PAU)
H. DIRECTA centre contingut
H. DIRECTA centre interior
ACTIVITATS HOMOTÈCIA
EXERCICI
EXERCICI
exercicis
exercicis
3. Homotècia entre circumferències
4. Homotècia
1. Homotècia
2. Homotècia
solució
solució
solució
solució
2.3 anamòrfiques
Son aquellas en las que la figura transformada no conserva, en general, ni la forma ni la mida de la figura original. és quan hi ha un canvi de forma entre la figura inicial i la seva homòloga.
Les transformacions d'aquest tercer grup són:
3. l'homologia
3.1 HOMOLOGIA EN L’ESPAI I HOMOLOGIA EN EL PLA
3.2 RECTES LÍMIT
3.3 construccions fonamentals en homologia
3.4 elements mínims per determinar una homologia
3.5 aplicacions de l' homologia
ACTIVITATS
3.6 CORBES CÒNIQUES I HOMOLOGIA
homologia
L'element important de l'homologia és la intersecció entre els dos plans anomenat Eix de l'homologia. Hi ha dues propietats de l'homologia que cal destacar: 1- Qualsevol parella de punts homòlegs C i C' estaran alineats amb el centre de l'homologia. La recta que passa per C i C' passarà també pel punt 0 centre de l'homologia. 2- Rectes Homologues. Una recta i el seu homòleg es tallaran o es van intersecar en l'eix d'homologia en un punt on coincidirà el punt original C i el seu homòleg C'. Aquest punt s'anomena punt doble. Per tant en l'eix d'homologia tots els seus punts seran punts dobles CC'
homologia
És una transformació projectiva. Què significa això? Significa que tindrem una figura continguda en un pla, per exemple un triangle ABC. Per una altra banda tindrem un punt fix 0 anomenat centre de projecció o centre de l'homologia. Des d'aquest centre 0 partiran una sèrie de rectes anomenades rajos projectants. Cada una d'aquestes rectes passaran per cada un dels punts de la figura ABC, continuaran el seu camí i aniran a intersecar amb un segon pla. En intersecar es formarà la figura transformada o figura homològica que anomenarem A'B'C'
Homologia. Fonaments teòrics.
3.1 HOMOLOGIA EN L’ESPAI I HOMOLOGIA EN EL PLA
Si us doneu compta, tenim els mateixos elements que teníem en el cas de les tres dimensions: el centre d'homologia, l'eix d'homologia i també tenim la figura original i la transformada. Aquí se seguirà complint les mateixes propietats que es complien en el cas de les tres dimensions, és a dir, qualsevol parella de punts homològics CC' estaran alineats amb el centre d'homologia i per una altra banda si tenim dues rectes homològiques, per exemple la recta que passa pels punts BC i la recta que passarà pels B'C'. Aquestes dues rectes es tallaran sempre sobre l'eix i aquest punt serà un punt doble on un punt coincideix amb el seu homòleg.
Tot aquest desenvolupament que s'està fent de l'homologia, tota aquesta operació de projectar s'està realitzant en l'espai tridimensional. Nosaltres per treballar, treballarem en una fulla de paper, en un espai bidimensional (com passo d'un espai tridimensional a un de bidimensional?) Passaré a través d'una segona projecció sobre una fulla de paper que és un pla, és com fer una foto frontal de les figures i ho imprimíssim, així podem treballar en dues dimensions.
COM CALCULAR L'HOMÒLEG D'UN PUNT
Imagineu que tenim un punt qualsevol E, el seu homòleg estarà alineat amb el punt E i l'eix i amb el centre de l'homologia. Per altra banda sabem que dues rectes homològiques és creuaran just en l'eix de l'homologia, aleshores si per exemple faig la recta que passa pel punt A i el punt E, la seva recta homologa passarà per A' i aquestes dues rectes r r' seran homologues. A llavors l'homòleg del punt E ha d'estar sobre on es creuen les rectes r' i la del E i obtindrem E'. Això ho haurem de fer servir molt sovint en els problemes.
HOMOLOGIA INVERSA
Un altre cas particular que ens pot sorgir en els problemes d'homologia. Fins ara el que hem vist és que les dues figures homòlogues estaven en diferents costats de l'eix, se'n diu homologia directa
Què passa quant les dues figures estan en el mateix costat de l’eix?Quan es veu aquesta situació, diem que estem davant d'una homologia inversa.
3.2 RECTES LÍMIT
Quan més a prop estigui el punt del centre d'homologia, el seu homòleg estarà més lluny, Per exemple l'homòleg del punt A estarà més lluny que l'homòleg del punt B. Hi haurà un moment que si m'acosto suficientment al centre d'homologia l'homòleg del punt estarà en l'infinit. Els punts en què els homòlegs estan en l'infinit l'anomenarem P'&
RECTES LÍMIT
Ara haurem de trobar quin és el punt, en el que el seu homòleg serà P'&, és a dir el punt P. Estarà situat en la recta CB i per trobar-lo, simplement haig d'unir el punt de l'infinit amb el centre de l'homologia, com faig això? Si jo vull unir punts de la recta B'C' amb el centre de l'homologia, simplement començaré unint els punts (agafem regle o llapis i posem un extrem al centre i l'altre per exemple al punt B' i sense moure del centre vaig acostant el regle cap a dalt, allunyant-me. A mesura que em vaig allunyant s'obra el raig projectant fins a arribar a ser paral·lela a la recta P'
RECTES LÍMIT
El raig projectant paral·lel a la recta P' va a buscar el punt P' situat a l'infinit, es trobaran a l'infinit les dues rectes perquè són paral·leles. El punt on talla aquesta paral·lela amb la recta BC serà el punt P i el seu homòleg serà el P' que està situat a l'infinit..
Per aquest punt P passarà la recta límit. Farem una paral·lela a l'eix de l'homologia sobre el punt P i aquesta recta s'anomenarà recta límit (RL) La interpretació d'aquesta RL és que si jo agafo qualsevol punt d'ella, el seu homòleg estarà en la recta del punt P'.
RECTES LÍMIT
A més d'aquesta RL tenim un altre RL, seria el lloc geomètric dels punts homòlegs i els originals estaran a l'infinit (ara estem al Pla vertical), seria al revés de l'anterior.Llavors considerem la recta AC, l'allarguem fins a l'eix i que sobresurti pel Pla horitzontal (que s'allargarà fins a l'infinit Q) i també allarguem la recta A'C' fins a l'eix. Com el trobo l'homòleg d'aquest punt Q situat a l'infinit? Unint el punt Q
amb el centre de l'homologia. Com que aquest punt està a l'infinit, haure de traçar una paral·lela a aquesta recta Q fins al centre de l'homologia, el punt homòleg ha d'estar sobra d'aquesta paral·lela, com és un punt homòleg de la recta AC doncs estarà allà on es creui la recta A'C' i la paral·lela. Aquest punt serà l'homòleg situat a l'infinit Q'. Ara fem una paral·lela a l'eix sobre el punt Q' i aquesta recta l'anomenarem RL'. La interpretació geomètrica és que qualsevol punt homòleg que estigui situat sobra aquesta recta RL' té el seu punt origen situat allà. Aquestes dues rectes, tant la RL com la RL' seran paral·leles a l'eix, a més hi ha un altra propietat que ens pot servir que és que la distancia entre la RL' de punts homòlegs i l'eix que anomenarem d serà la mateixa que la distància entre la RL i el centre de l'homologia.
3.3 construccions fonamentals en homologia
En una homología definida pel seu vèrtex, l’eix i una de les rectes límit, hi trobarem els elements homolegs d’algunes posicions de rectes que ens puguin ajudar en la resolución de problemas d’aplicació en homología.
Homòloga d’una recta r qualsevol
Buscarem els homòlegs dels punts de tall de la recta r amb l’eix i la recta límit. La intersecció A-A’ amb l’eix és un punt doble, i per això la recta homòloga r’ també passarà per aquest punt. La recta VM, si és M la intersecció de la recta r amb RL, defineix la posición dels punts de l’infinit de r’, per això aquesta será paral·lela a VMM’8 passant pel punt doble A-A’.
Homòloga d’una recta paral·lela a l’eix de l’homologia
Tracem una recta s qualsevol que talla r en el punt P, i intercepta els punts A i M sobre l’eix de l’homologia i la recta RL; determinarem la seva homòloga s’ tal com hem fet a l’apartat anterior. Un cop coneguda s’, hi situem a sobre l’homòleg P’ (mitjançant la recta VP). Per P’, també paral·lela a l’eix, hi traçarem la recta homòloga r’.
Homòleg d’un punt qualsevol
L’homòleg del punt P de la figura anterior es determina fent-hi pasar una recta s qualsevol, de la qual determinem la seva homòloga s’; a sobre d’aquesta, segons la correspondencia VP, hi trobarem la posición de l’homoleg P’.
3.4 elements mínims per determinar una homologia
Hem vist els elements que cal considerar en una homología: vèrtex, eix, rectes límit, punts i rectes dobles… No obstant això, no és necessari conèixer-los tots perquè una homología quedi determinada; hi ha uns elements mínims a partir dels quals podrem determinar la resta. Tot seguit veurem aquests casos.
El vèrtex, l’eix i un punt i el seu homòleg
Obtindrem els homòlegs dels restants punts mitjançant l’aplicació:
El vèrtex, l’eix i una recta límit
Prolonguem un dels costats de la figura original, el costat AB; aquesta recta intercepta el punt M a la RL i 1-1’ a l’eix. Tracem pel punt de l’eix la paral·lela a la recta VMM’&, sobre la qual es trobaran A’ i B’, homòlegs de A i B. Determinarem C’ aplicant-hi les propietats de l’homologia.
Les dues rectes límit i el vèrtex
Les rectes límit, es troben entre el vèrtex i l’eix de l’homologia. La posición d’aquest darrer la determinem paral·lela a les rectes límit i a la mateixa distancia de RL’ a la qual es trova RL de V. Coneguts aquests quatre elements podrem determinar la figura homòloga de qualsevol altra.
L’eix, la recta límit i un punt i el seu homòleg
Prolonguem AB fins a tallar a M i a 1-1’ a la recta límit i a l’eix. Unim el punt de l’eix amb A’ i tracem la paral·lela per M; la intersecció d’aquesta paral·lela amb la recta AA’ defineix la posición del vèrtex V de l’homologia; a partir d’aquest vèrtex i en la forma habitual, completem els vèrtex restants de la forma homòloga.
Dues parelles de punts homòlegs i la direcció de l’eix.
La unió de cada punt amb el seu homòleg defineix dues rectes que es tallen al vèrtex V de l’homologia. Les rectes homologues AB i A’B’ es tallen en el punt doble 1-1’ pertenyent a l’eix, que traçarem paral·lelament a la dirección donada. Ja tenim les dades necessàries per completar el traçat de qualsevol figura homòloga d’una altra de coneguda.
3.5 aplicacions de l' homologia
La utilització de l'homologia facilita la resolució de qüestions en sistema dièdric o en perspectiva cònica. (la intersecció recta-pla, en sistema dièdric, la veurem en la unitat 5).
Traçats de perspectives còniques.
En la projecció cònica la representació obtinguda sobre el pla del quadre és una figura homològica de la real que es troba en el pla geometral; els elements d'aquesta homologia són:
Traçats de perspectives còniques.
Amb relació amb l'eix o LT, representem la veritable magnitud de la forma plana. Des del punt de vista (centre de l'homologia), tracem les direccions VF' paral·lela a A'B' i VF paral·lela a B'C'. Cada una d'aquestes direccions determina sobre LH o RL la posició dels punts F i F', homològics dels punts de l'infinit de la figura. Prolonguem els costats de la figura fins a LT i des dels punts d'intersecció, tracem les rectes homològiques concurrents a F i F'. Finalment, determinem A i B, aliniats amb V i amb el punts dels quals són homològics. D'una manera semblant obtenim els vèrtex C, D i E; G és un punt doble.
Transformació homològica d'un quadrilàter qualsevol en un quadrat..
Conegut el quadrilàter ABCD, hem de determinar les característiques d'una homologia (vèrtex, recta límit i eix) que el transformi en un quadrat.
Exemple
Les rectes homòlogues AD i BC, i AB i CD, corresponen als costats paral·lels del quadrat; les seves interseccions són punts de la recta límit RL, posició, com sabem, dels punts els homòlegs dels quals es troben a l’infinit. Així, els punts d’intersecció M i N defineixen la recta límit RL. El centre de l’homologia, V, és un punt des del qual la intersecció entre dos costats qualssevol es vegi sota un angle de 90º, i per això V estarà a sobre de la semicircumferència de diàmetre MN. L’angle de 90º que formen les diagonals del quadrat també es troba sobre un arc capaç de 90º, aquell que té per diàmetre el segment PQ, en què P i Q són els punts de la recta límit corresponents a les diagonals AC i BD. La intersecció dels dos arcs capaços defineixen la posició del centre V de l’homologia. Conegut V, els segments VN i VM defineixen les direccions de dos costats perpendiculars del quadrat.
Paral·lelament a RL, i en qualsevol posició, situem l’eix de l’homologia; la seva posició condiciona la mida del quadrat, que serà més gran com més allunyat estigui de l’eix del centre V de l’homologia. Definits el vèrtex, la recta límit, l’eix i les direccions de dos costats perpendiculars, completem l’homologia del quadrilàter ABCD que el transforma en el quadrat A’B’C’D’.
activitatsHOMOLOGIA
Donats el segment AB, el seu homòleg A'B 'i el punt doble P = P' tots al mapa del dibuix, es demana: a) Determinar l'eix de l'homologia que defineixen b) Determinar el centre de l'homologia que defineixen c) Determinar la figura homòloga d'un triangle equilàter de costat AB.
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
Donats un parell de punts homòlegs A-A ', un eix d'Homologia, un Centre d'Homologia V i el punt B, es demana: Determinar el punt homòleg de B.
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
Troba els elements d'una Homologia de la qual coneixem el Centre d'Homologia O, l'eix d'Homologia, el triangle ABC i els punts Homòlegs A’ i B'.
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
Troba la figura homòloga del triangle ABC coneixent un punt homòleg B ', l'eix i la recta límit RL. Determinar el centre O, així com l'altra recta límit RL'.
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
Troba la figura homòloga del triangle ABC coneixent el centre i les dues rectes límit RL i RL
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
EXERCICI AMB RECTES LÍMIT Com s’ha dit anteriorment una homologia pot venir definida pel centre, l'eix i una recta límit. Es demana obtenir el triangle homòleg de A'B'C'.
SOLUCIÓ
EXERCICI
activitatsHOMOLOGIA
Troba la figura homòloga del triangle ABC coneixent el centre i les dues rectes límit RL i RL
EXERCICI
SOLUCIÓ
3.6 CORBES CÒNIQUES I HOMOLOGIA:
La figura homòloga d'una circumferència és una corba cònica. Aquesta serà una el·lipse, paràbola o hipèrbola depenent de la posició relativa de la circumferència amb la recta límit 2:
Propietats
circumferència - el·lipse
Circumferència - Paràbola
Circumferència - Hipèrbola
Quan RL és tangent a la circumferència la figura homologada serà una paràbola
Quan RL és exterior a la circumferència la figura homòloga serà sempre una el·lipse.
En cas que RL sigui secant a la circumferència la figura homòloga serà una hipèrbola.
Com dibuixar l'el·lipse homòloga a una circumferència
D'aquesta manera no aconseguim punts distribuïts equitativament sobre l'el·lipse la qual cosa dificulta el seu traçat a mà alçada. Podem observar que cap dels diàmetres homològics són eixos o diàmetres conjugats de l'el·lipse
Homologia normal
L'ideal seria obtenir els eixos de l'el·lipse o els diàmetres conjugats per traçar l'el·lipse mitjançant qualsevol dels seus mètodes. Convertint la recta límit en polar de la circumferència i trobant el seu pol podem aconseguir això.
Homologia afina
Método de los haces proyectivos
1- En una homologia, conegut l'eix, el centre O, un punt qualsevol de la circumferència A i el seu homòleg A' determina la figura homològica de la circumferència de centre C.
2- En una homologia, coneguda la RL (2), l'eix i el centre O, determinar la figura homològica de la circumferència de centre C.
- 1º- Tracem dos diàmetres, r i s, que tallen a RL2 a l'eix obtenim l'homòloga de s traçant des del seu punt doble sobre l'eix una paral·lela a O-Ls. Aquí podem traçar els raigs corresponents que ens donen 1' , C' i 2' .
- A continuació determinem r ' i els punts 3' i 2' .
Podem repetir aquesta operació amb tants diàmetres com vulguem. Sempre podrem determinar 2 punts de la figura transformada.Donada una homologia pel seu Centre, Eix i la seva Recta límit RL, es demana dibuixar l'el·lipse homòloga de la circumferència, obtenint els seus eixos. (La corba cònica homòloga d'una circumferència és una el·lipse quan la circumferència és exterior a la Recta Límit RL ' )
Com es pot resoldre aquesta el·lipse?
Traçat de l'el·lipse per afinitat
1- Partirem d'una circumferència amb centre M' i el seu diàmetre sigui C'-D'.
2- Dibuixarem un diàmetre perpendicular al diàmetre de l'eix major C'-D' i unirem els seus extrems amb els extrems de l'eix menor B'-A'
A partir d'aquí i utilitzant rectes paral·leles en successives divisions del diàmetre major, anirem obtenint punts de l'el·lipse.3- Dibuixem una corda paral·lela al diàmetre major, una recta paral·lela a l'eix menor i des dels extrems de la corda on talla amb la circumferència fem rectes paral·leles a la recta b' amb la perpendicular. Això ens determina dos punts de l'el·lipse.
4- Seguim el mateix procediment per obtenir més punts de l'el·lipse.
5- Unim els punts i tenim l'el·lipse.
També es pot resoldre pel mètode de feixos projectius, ja que són dos eixos conjugats.
COM DIBUIXAR LA PARÀBOLA EN homòlogIA
1- En una homologia, coneguda la RL (2), l'eix i el centre O, determinar la figura homològica de la circumferència de centre C.
COM DIBUIXAR LA HIPÈRBOLE EN homòlogIA
EIX de la hipèrbola
VÈRTEXS de la hipèrbola
DIBUIXA la hipèrbola
l'homologia afí
Transformació anamòrfica
HOMOLOGIA AFIconcepte i elements
És un cas molt important perquè sol aparèixer bastant en la pràctica. Simplement es tracta que el centre de l'homologia se situa infinitament lluny, se situa en l'infinit, i això fa que tots els rajos projectants siguin paral·lels. A la direcció d'aquests rajos projectants se'ls anomena direcció d'afinitat. La resta de coses funcionen igual com s'ha explicat per l'homologia normal. Dins de l'homologia afí existeix un cas encara més particular quant els rajos projectants, la direcció de l'afinitat serà perpendiculars a l'eix de l'homologia. Aquest cas que funciona igual que l'homologia normal, s'anomena homologia afí ortogonal i serà bastant freqüent en la pràctica.
afinitat concepte i elements
afinitat exercici resolt
aplicacions de l' AFINITAT
TRAÇAT DE L'el·lipse
Un dels traçats de l'el·lipse, coneguts els seus eixos, s'obté aplicant l'afinitat; generalitzem aquest procediment en el cas de disposar dels diàmetres coneguts AB i CD de l'el·lipse.
TRAÇAT DE L'el·lipse per afinitat
Tracem la circumferència de diàmetre AB que representa, alhora, l’eix de l’afinitat. Els punts afins dels extrems del diàmetre C’D’ de la circumferència són els extrems C i D de l’altre diàmetre conjugat de l’el·lipse; CC’ i DD’ defineixen la direcció d’afinitat. Per punts arbitraris del diàmetre AB, hi tracem perpendiculars fins a la seva intersecció amb la circumferència; els punts afins d’aquests darrers es trobaran sobre les paral- leles al diàmetre CD de l’el·lipse en la seva intersecció amb rectes paral·leles a la direcció d’afinitat. Coneguts una sèrie de punts afins des de la circumferència, completem a mà alçada el traçat de l’el·lipse.
Afinitat de Circumferència: El·lipse
abatiments en dièdric o axonometria
Entre la forma projectada sobre un pla i l’abatuda a sobre també existeix una relació d’afinitat: el seu eix és la xarnera* d’abatiment, i la direcció d’afinitat és la de les perpendiculars traçades a l’eix. Aquests conceptes (abatiment, xarnera) ara encara incomprensibles, (els estudiarem a la unitat 4).
abatiments en dièdric o axonometria
Considerem el pla ABC (fig. 25), donat per les seves projeccions dièdriques i el seu abatiment (A), (B), (C) sobre el pla horitzontal de projecció. Entre A’B’C’ i (A), (B), (C) existeix una relació d’afinitat, amb les condicions indica- des en el paràgraf anterior, que permet deduir la segona a partir de la primera. Recomanem tornar a les aplicacions d’homologia i afinitat que relacionen aquestes transformacions amb el sistema dièdric després d’estudiar els conceptes corresponents a aquest sistema.
ACTIVITATS afinitat
EXERCICI
EXERCICI
exercicis
exercicis
3. Afinitat
4.Afinitat
1. Afinitat
2. Afinitat
solució
solució
solució
solució
ACTIVITATS afinitat
EXERCICI
EXERCICI
exercicis
exercicis
7. Afinitat
8.Afinitat
5. Afinitat
6. Afinitat
solució
solució
solució
solució
la inversió
Transformació anamòrfica
la inversió
La tercera de les transformacions anamòrfiques té la seva utilitat principal en la resolució de tangències, per conservar invariant aquesta propietat (igual que la incidència i el valor dels angles) en efectuar la transformació.
concepte d'inversió i elements
Concepte d'inversió i elements
La Inversió en Dibuix Tècnic és una transformació geomètrica en la qual a una figura correspon una altra i en la qual es compleix que: 1. Dos punts inversos (A, A ') estan alineats amb un punt fix anomenat Centre d'Inversió (O), 2. El producte de la distància d'un punt a el Centre d'Inversió per la distància del seu invers a el Centre d'Inversió és constant (K) i es diu Potència d'Inversió. Això vol dir que: OA · OA '= OB · OB' = OT · OT = K
La potència serà positiva si els dos punts es troben al mateix costat del centre d’inversió, i serà negativa en el cas contrari. La inversió és una transformació involutiva, és a dir, que si A’ és l’invers de A, A també ho serà de A’ respecte de la mateixa inversió.
Concepte d'inversió i elements
Traçant successives rectes secants a aquest cercle trobem més punts i els seus inversos. Ja que K és constant, com més gran sigui OA, menor serà OA' , és a dir, quan més allunyat estigui un punt A del Centre O, més a prop estarà el seu invers A' del Centre O. Hi ha una distància per la qual un punt A i el seu invers són iguals. El pots veure al dibuix. es tracta del punt de tangència. El punt T coincideix amb el seu invers i per a ell també es compleix que OT · OT = K. Per tant, OT = Arrel quadrada de K Tots els punts situats a la mateixa distància de centre d'inversió que aquest punt T són dobles. A aquest Lloc geomètric se l'anomena Circumferència de Punts dobles (CPD)
CIRCUMFERÈNCIA DE PUNTS DOBLES O D'autoinversió
La Circumferència de Punts dobles (o circumferència d'autoinversió) és el lloc geomètric dels punts del plànol que tenen els seus inversos en si mateixos. Aquests punts equidisten del Centre d'Inversió una distància igual a l'arrel quadrada de la potència d'Inversió K.
COM DIBUIXAR LA CIRCUMFERÈNCIA DE PUNTS DOBLES En realitat és molt senzill. Dibuixa una circumferència que contingui dos punts inversos A-A' i dibuixa la recta tangent a aquesta circumferència des del Centre d'Inversió. Això determinarà un punt de Tangència. La circumferència amb centre en O i radi O-T és la Circumferència de Punts dobles. En el dibuix està molt clar.
Concepte d'inversió i elements
Hi ha tres figures dobles o invariants en la inversió, és a dir, inverses de si mateixes:a) Una recta r que passi pel centre d’inversió O. Com que l’invers de qualsevol punt ha d’estar alineat amb el centre d’inversió, una recta que passi per aquest centre O tindrà els seus inversos en la recta mateixa.
b) Una circumferència amb centre en el d’inversió i radi igual a l’arrel quadrada de √k. Si un punt A és invers de si mateix es complirà que k = OA · OA’ = OA · OA = OA2 i, per tant, OA = √k Aquesta circumferència s’anomena d’autoinversió.
c) Una circumferència que passi simultàniament per dos parells de punts inversos A, A’ i B, B’ . Aquests punts, si s’hi aplica el concepte de potència que estudiarem en la unitat següent, han de complir necessàriament que k = OA · OA’ = OB · OB’, i per això hauran d’estar situats a la mateixa circumferència.
Concepte d'inversió i elements
c)
La figura c) el segment OT, tangent a la circumferència de punts dobles, és l’expressió gràfica de l’arrel quadrada de la potència d’inversió. En aquesta mateixa figura, les rectes que passen per dos punts no alineats amb el centre d’inversió, A i B, i els seus inversos A’ i B’, es diu que són antiparal·leles respecte de OA i OB. En les rectes antiparal·leles, tal com es pot veure a r i s de la figura, es compleix que els angles que formen amb les que uneixen cada punt i el seu invers amb el centre són iguals.
Perquè una inversió quedi definida, hem de conèixer-ne el centre i la potència, o el centre i un parell de punts inversos respecte d’aquest centre, o dos parells de punts inversos no alineats.
INVERSIÓ POSITIVA (K> 0) I INVERSIÓ NEGATIVA (K <0)
K<O és inversió NEGATIVA
K>O és inversió POSITIVA
taula d'inversions
Elements que ens podem trobar en un exercici d'inversió.
ORIGINAL
INVERS
(DIFERENT DEL CENTRE D'INVERSIÓ O)
invers d'un punt
1. Determinar una inversió:
a) Determinar el punt invers d'un altre donat (No alineats)
1.1. Coneixent el centre i una parella de punts inversos
b) Determinar el punt invers d'un altre donat. (Alineats)
c) Determinar el punt invers d'un altre donat (Antiparal·leles)
1.2. Coneixent el centre i dos parells de punts inversos no-alineats
1.3. Donat el Centre d'Inversió i la potència d'Inversió
a) Inversió d'un punt exterior a la cpd
b) Inversió d'un punt interior a la cpd
1.4.Coneixent la cpd o circumferència d'autoinversió
c) Obtenir la cpd a partir d'una parella de punts inversos
d) Obtenir els punts inversos de B i C a partir del centre d'inversió i una parella de punts inversos A-A'
1.1. Coneixent el centre i una parella de punts inversos
DETERMINAR EL PUNT INVERS D'UN ALTRE DONAT
a) Troba el punt invers de B, B', donat el centre d'inversió i dos punts inversos A i A'.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.1. Coneixent el centre i una parella de punts inversos
DETERMINAR EL PUNT INVERS D'UN ALTRE DONAT (ALINEATS)
b) Troba el punt invers de B, B', donat el centre d'inversió i dos punts inversos A i A' alineats amb B.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.1. Coneixent el centre i una parella de punts inversos
DETERMINAR EL PUNT INVERS D'UN ALTRE DONAT (ANTIPARAL·LELES)
c) Trobeu l'invers de B' d'un punt B coneixent el centre d'inversió O i un parell de punts inversos A i A' no-alineats amb B.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.2. Coneixent el centre i dos parells de punts inversos no-alineats
Donats dos parells de punts inversos A, A 'i B, B' , determinar el punt invers de C.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
3- Donat el Centre d'Inversió i la potència d'Inversió
Per obtenir l’invers d’un punt A conegut el centre O de la inversió i la seva raó k,
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.4. Coneixent la cpd o circumferència d'autoinversió
Inversió d'un punt exterior a la cpd
a)
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.4. Coneixent la cpd o circumferència d'autoinversió
Inversió d'un punt interior a la cpd
b)
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.4. Coneixent la cpd o circumferència d'autoinversió
Obtenir la cpd a partir d'una parella de punts inversos
c)
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
1.4. Coneixent la cpd o circumferència d'autoinversió
Obtenir els punts inversos de B-C a partir del centre d'inversió i una parella de punts inversos A-A' utilitzant la CPD.
d)
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
ACTIVITATS inversió d'un punt
exercicis
1. Inversió
solució
invers d'una recta
La figura inversa d’una recta la podem determinar en dos casos: 1- Quan la recta passi pel centre d’inversió –en aquest cas, aquesta recta és inversa de si mateixa. 2- Quan no passi pel centre d'inversió. En aquest segon cas, quan la recta no passi per el centre d'inversió ens podem trobar en els casos següents:
a) L'invers d'una recta exterior és sempre una circumferència que passa pel centre d'inversió.
b) L'invers d'una recta secant a la circumferència
c) L'invers d'una recta tangent a la circumferència.
L'invers d'una recta exterior és sempre una circumferència que passa pel centre d'inversió
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
L'invers d'una recta secant a la circumferència
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
L'invers d'una recta tangent a la circumferència.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
ACTIVITATS inversió d'una recta
EXERCICI
exercicis
exercicis
3. Inversió
1. Inversió
2. Inversió
solució
solució
solució
inversA d'una CIRCUMFERÈNCIA
La figura inversa d’una circumferència la podem determinar en dos casos:
1- Quan la circumferència passi pel centre d’inversió es transforma en una recta.
Característiques:
2- Quan la circumferència no passi pel centre d'inversió es transforma en un altra circumferència.
Característiques:
3- Cas Particular
Quan la circumferència passi pel centre d’inversió es transforma en una recta.
PROCÉS. DIAPOSITIVES
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
Quan la circumferència passi pel centre d’inversió es transforma en una recta.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
invers d'una circumferència
Si la circumferència no passa pel centre d’inversió (fig. 34), la seva inversa és una altra circumferència. Unim els centres de la circumferència i d’inversió amb una recta que determina, sobre la circumferència, els punts A i B; a través de la circumferència d’autoinversió determinem els seus inversos, A’ i B’. La circumferència de diàmetre A’B’ és inversa de la inicial
Quan la circumferència no passi pel centre d'inversió es transforma en un altra circumferència.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
PROCÉS. DIAPOSITIVES
PROCÉS. DIAPOSITIVES
Vídeo
Quan la circumferència no passi pel centre d'inversió es transforma en un altra circumferència.
PROCÉS. PDF
PROCÉS. DIAPOSITIVES
PROCÉS. DIAPOSITIVES
cas particular
Si una circumferència té com a centre el pol (centre d'inversió), la seva inversa serà concèntrica a ella. Per tant, per trobar-la únicament haurem de traçar una circumferència amb el mateix centre (el Pol) i que passi per l'invers d'un punt que pertanyi a la circumferència inicial.
PROCÉS. DIAPOSITIVES
ACTIVITATS: inversió d'una circumferència
EXERCICI
exercicis
exercicis
2. Circum. No passa pel centre inversió
1. Circum. passa pel centre inversió
3. Inversió
solució
solució
solució
ACTIVITATS INVERSIÓ
EXERCICI
EXERCICI
exercicis
exercicis
3. Inversió
4. Inversió
1. Inversió
2. Inversió
solució
solució
solució
solució
EXERCICIS
EXERCICIS
EXERCICIS
7. Inversió
5. Inversió
6. Inversió
solució
solució
solució
ACTIVITATS UNITAT 1
Ampliació de geometria plana
activitatsangles, circumferència i arc capaç
Pel punt de tangència de dues circumferències, traça una secant comuna a les dues i demostra que:a) Els radis traçats als extrems de la secant són paral·leles.b) Les tangents traçades en aquells mateixos extrems també seran paral·leles.
Anomenem angle exinscrit l'angle que té el seu vèrtex sobre la circumferència, i que un dels seus costats és secant i l'altre és exterior a la circumferència. Demostra que la seva mesura és la semisuma dels angles centrals corresponents als arcs compresos entre el vèrtex i els extrems del costat interior i la prolongació del costat exterior.
activitatsangles, circumferència i arc capaç
Des de la posició X d'un vaixell sobre el mar, es poden veure els tres punts coneguts de la costa A, B i C, i es mesuren els angles AXB de 45º i BXC de 15º que formen entre si les visuals. Amb aquestes dades fixa la posició del punt X en el mapa.
c+ B+ A+
Determina un punt interior a un triangle ABC, equidistant dels costats a i b, i des del qual es vegi el tercer costat del triangle sota un angle de 60º. Costats: a = 9'5 cm, b = 11'3 cm i c= 7'5 cm.
activitatstransformacions isomètrique
Donats dos segments PQ i P'Q', troba el centre de gir que permeti transformar el primer en el segon.
Q P
P' Q'
activitatstransformacions isomètrique
Donades la recta r i la circumferència de centre O1, gira-la respecte del centre de gir donat perquè la circumferència sigui tangent a la recta.
+ O1
O +
activitatstransformacions isomètrique
Trasllada la circumferència de centre O1, segons la direcció d donada, perquè sigui tangent a la recta r.
+ O1
activitatstransformacions isomètrique
Dibuixa un triangle equilàter amb un vèrtex situat sobre cada una de les tres rectes paral·leles.
activitatshomologia
Inscriu en el triangle ABC donat un triangle semblant al també donat PQR
activitatshomologia
10
Troba el triangle homòleg del triangle ABC, segons les dades de l'homologia donades.
O+
eix
A'
activitatshomologia
11
En l'homologia definida, troba-hi l'homòleg del punt B.
+ O
+ A
+ A'
eix
+ B
activitatshomologia
12
En l'homologia donada per l'eix e, recta límit RL i un parell de punts homòlegs A i A', determina la figura homòloga del rectangle ABCD
eix
A' +