Integrales dobles, Integrales iteradas, Integrales triples

Integrales Dobles Integrales Iteradas Integrales Triples

Curso: Calculo IVProfesor: Mg. Ing. Reaño Pantoja Agustin Integrantes: - Alexandra Ximena Rodriguez - Natalye Chinchay Lizana

Índice

1. Definicion de Integrales Dobles

1.2 Propiedades y Ejemplos de Integrales Dobles

2. Definicion de Integrales Iteradas

2.1.Propiedades y Ejemplos de Integrales Iteradas

3. Definicion de Integrales Triples

3.1 Propiedades y ejercicios

Integrales Dobles

Sea z = f(x,y) funcion definida en una region cerrada y acotada R del plano xy.

Sea ||P|| la longitud de la diagonal más grande de los n rectangulos.​ Asi tenemos la siguinte definicion.​ Sea f una funcion de dos varianles definida en una region R del plano xy. Entonces la integral doble de f sobre la region R, denotada por ​Se define como: ​

Si el limite existe, afirmamos que f es integrable sobre R y que R es la region de integracion.​ ​ Nota: Cuando f es continua sobre una region R, el limite existe, esto significa que f es integrable sobre R.

Considere la región R en el primer cuadrante acotado por las gráficas de x + y = 2, y=0 y x=0 ​ Aproxime la integral doble utilizando las sumas de Rieman.

Integrales Iteradas

Ahora es un número que depende del valor de x, así que defne una función de x:

Definición

Usualmente es difícil evaluar integrales simples directamente de la defnición de una integral, pero el teorema fundamental del cálculo provee un método mucho más fácil. La evaluación de integrales dobles a partir de los primeros principios es aún más difícil, pero en esta sección se ve cómo expresar una integral doble como una integral iterada, que se puede evaluar calculando dos integrales simples.Suponga que f es una función de dos variables que es integrable sobre el rectángulo Se usa la notación para indicar que x se mantiene fja y f(x, y) se integra respecto a y a partir de y = c hasta y = d. Este procedimiento se llama integración parcial respecto a y. (Observe su similitud con la derivación parcial)

Evalúe las integrales iteradas

EJEMPLO:

Solución:

Evalúe las integrales iteradas

EJEMPLO:

Solución:

Teorema de Fubini

En el siguiente teorema se da un método práctico para evaluar una integral doble expresándola como una integral iterada (en cualquier orden).

NOTA:El nombre del teorema 4 es en honor al matemático italiano Guido Fubini (1879-1943), quien demostró una versión muy general de este teorema en 1907. Pero casi un siglo antes, el matemático francés Augustin-Louis Cauchy tenía conocimiento de la versión para funciones continuas.

La demostración del teorema de Fubini es muy difícil, pero al menos se puede dar una indicación intuitiva de por qué se cumple para el caso donde Recuerde que si f es positiva, entonces se puede interpretar la integral doble como el volumen V del sólido S que está arriba de R y debajo de la superficie Pero se tiene otra fórmula que se usó para el volumen en el capítulo 6, a saber,

EJEMPLO:

Nota:Observe la respuesta negativa del ejemplo 2; no hay nada malo con eso. La función f en ese ejemplo no es una función positiva, así que su integral no representa un volumen. De la figura 3 se ve que f es siempre negativa en R, así que el volumen de la integral es el negativo del volumen que yace arriba de la gráfica de f y debajo de R.

Integrales Triples

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