Unión y producto cartesiano

UNIÓN DE CONJUNTOS Y PRODUCTO CARTESIANO

Unidad N° 3 Teoría de conjuntos

UNIÓN DE CONJUNTOS

ÍNDICE

Producto cartesiano

Unión de conjuntos.

Definición

a.

Definición

a.

b.

b.

Propiedades

Ejemplos

Leyes distributivas

c.

Actividades

d.

Leyes de De Morgan

e.

Complementación

b.

Propiedades de la unión

IDEMPOTENCIA ASOCIATIVIDADCONMUTATIVAELEMENTO NEUTRO (CONJUNTO VACIO)

demostración

demostración

demostración

demostración

DEFINICIÓN

a.

Dados dos conjuntos A y B, la unión de los mismos es el conjunto formado por, los elementos que pertenecen a A o B.

Ejemplo 1

Dado los conjuntos A y B.

IDEMPOTENCIA

Dado el conjunto A, la unión de A con A es el mismo conjunto A

Demostración

ASOCIATIVIDAD

Dado los conjuntos A, B, C la unión de A y B con C es igual a la unión de A con B y C.

Demostración

CONMUTATIVA

Dado los conjunto A y B, la unión de A con B es igual a la unión de B con A

Demostración

ELEMENTO NEUTRO, CONJUNTO VACIO

Dado el conjunto A y el conjunto vacio. La unión de A con el vacio, por izquierda y por derecha, es el mismo conjunto A.

Demostración

c.

LEYES DISTRIBUTIVAS

Siempre se intenta, dada dos operaciones, relacionarlas. En el caso de la teoría de conjuntos, las operaciones UNIÓN e INTERSECCION se pueden relacionar mediante las leyes dristibutivas y de De Morgan

Recordemos las propiedades distributivas y leyes de de morgan en el estudio de la lógica

LEYES DISTRIBUTIVAS

Dado los conjuntos A, B, C. La unión del conjunto A con B y la intersección del conjunto C es igual a la unión de la intersección de A con C y B con C.

Demostración

LEYES DISTRIBUTIVAS

Dado los conjuntos A, B, C. La intersección del conjunto A con B y la unión del conjunto C es igual a la intersección de la unión de A con C y B con C.

Demostración

LEYES de De Morgan

d.

La ley distributiva como hemos visto, permite relacionar unión e intersección. La ley de De Morgan nos permitirá, además relacionar la complementación de conjuntos con las dos anteriores.

e.

COMPLEMENTO DE LA UNIÓN

Dado los conjuntos A y B. El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección de sus complementos.

Demostración

COMPLEMENTO DE LA INTERSECCIÓN

Dado los conjuntos A y B. El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión de sus complementos.

Demostración

PRODUCTO CARTESIANO

a.

PRODUCTO CARTESIANO

Par ordenado (a,b) es el conjunto cuyos elementos son {a} y {a,b} (a,b)={{a},{a,b}}

PAR ORDENADO

Definición

El Producto Cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece a A y la segunda a B. A x B= { (a,b)/a∈A ∧ b∈B }

b.

Ejemplo 1

Producto cartesiano de A = {1,2,3} y B = {1,2} A x B={ (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2) }

• La abscisa y ordenada son, respectivamente, la primera y la segunda componente.
• Los vértices de la cuadrícula obtenida son los elementos del producto cartesiano.

¿El producto cartesiano es conmutativo?

¿La siguiente expresión es correcta siempre?(2,1) ∈ A X B ∧ (2,1) ∈ B X A ⇒ A X B = B X A

Ejemplo 2:

El producto cartesiano es distributivo respecto de la unión

(A ∪ B) X C = (A X C) ∪ (B X C)

Demostración

Def. de Producto Cartesiano Def. de Unión Prop. Distrib. de la Conj. respecto de la Disyunción Def. de Producto Cartesiano Def. de Unión

(x,y) ∈ (A∪B) X C ⇔ x ∈ A∪B ∧ y∈C ⟺(x∈A ∨ x∈B) ∧ y∈C ⇔(x∈A ∧ y∈C) ∨ (x∈B ∧ y∈C) ⇔(x,y) ∈ A X C ∨ (x,y) ∈B X C ⇔ (x,y) ∈ (A X C) ∪ (B X C)

ACTIVIDADES...

ACTIVIDADES...

Dados los conjuntos A = {1,3,5} y B= {2,5}

1. Hallar la unión de dichos conjuntos y el producto cartesiano A X B ; B X A
2. Representar en diagramas de Venn y diagrama cartesiano

3. Decidir, justificando la respuesta, el valor de verdad de las siguientes proposiciones

1 ∈ A∪B ; {1} ∈ A∪B ; {2,5} ⊂ A∪B ; AXB = BXA ; (5,1) ∈ BXA

ACTIVIDADES...

Demostrar mencionando las propiedas utilizadas

(A ⊂ C) ∧ (B ⊂ C) ⟺ (A∪B) ⊂ C

RESOLUCIÓN

¡GRACIAS!

Algebra 1