ÁLGEBRA

MATEMÁTICAS

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA NOTA: VIDEO “ÁLGEBRA DESDE CERO” youtube.com/watch?v=FboTr4foiJE&t=103s

ÁLGEBRALENGUAJE ALGEBRAICO

• ÁLGEBRA ES LA RAMA DE LAS MATEMÁTICAS QUE CONSIDERA LA CANTIDAD DE LA MANERA MAS GENERAL POSIBLE.
• PARA LOGRAR LA GENERALIZACIÓN LAS CANTIDADES SE REPRESENTAN POR MEDIO DE LETRAS, LAS CUALES PUEDEN REPRESENTAR TODOS LOS VALORES.
• NOTACIÓN ALGEBRAICA: LOS SÍMBOLOS USADOS EN ÁLGEBRA PARA REPRESENTAR LAS CANTIDADES SON LOS NÚMEROS Y LAS LETRAS.
• LOS NÚMEROS SE UTILIZAN PARA REPRESENTAR CANTIDADES CONOCIDAS Y DETERMINADAS.
• LAS LETRAS SE USAN PARA REPRESENTAR TODA CLASE DE CANTIDADES, SEAN CONOCIDAS O DESCONOCIDAS.
• LAS CANTIDADES CONOCIDAS SE EXPRESAN POR LAS PRIMERAS LETRAS DEL ALFABETO.
• LAS CANTIDADES DESCONOCIDAS SE REPRESENTAN POR LAS ÚLTIMAS LETRAS DEL ALFABETO: V, W, X, Y, Z.
• UNA FÓRMULA ALGEBRAICA ES LA REPRESENTACIÓN, POR MEDIO DE LETRAS, DE UNA REGLA O DE UN PRINCIPIO GENERAL. POR EJEMPLO, LA FÓRMULA DEL ÁREA DE UN RECTÁNGULO ES A = b x h (base por altura).
• EN ÁLGEBRA LAS CANTIDADES PUEDEN SER POSITIVAS O NEGATIVAS.

NOMENCLATURA ALGEBRAICA

• EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES LA REPRESENTACIÓN DE UN SÍMBOLO ALGEBRAICO O DE UNA O MAS OPERACIONES ALGEBRAICAS.
• b, 6X, (a + b)c SON EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
• TÉRMINO. ES UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA QUE CONSTA DE UNO O DE VARIOS SÍMBOLOS NO SEPARADOS POR EL SIGNO MAS (+) O MENOS (-). ASÍ, c, 2b, 3a 2xy, 4a/2b, SON TÉRMINOS.
• LOS ELEMENTOS DE UN TÉRMINO SON: EL SIGNO, EL COEFICIENTE, LA PARTE LITERAL Y EL GRADO.
• POR EL SIGNO LOS TÉRMINOS PUEDEN SER POSITIVOS O NEGATIVOS.
• EL COEFICIENTE ES EL PRIMERO DE LOS FACTORES DEL TÉRMINO. EN 4X EL COEFICIENTE ES 4.
• LA PARTE LITERAL LA CONSTITUYEN LAS LETRAS QUE HAYA EN EL TÉRMINO. EN 6XY LA PARTE LITERAL ES XY.
• EL GRADO DE UN TÉRMINO CON RELACIÓN A UNA LETRA ES EL EXPONENTE DE DICHA LETRA. X cuadrada ES DE SEGUNDO GRADO. X cúbica ES DE TERCER GRADO.
• MONOMIO ES UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA QUE CONSTA DE UN SOLO TÉRMINO, COMO: 5X, 3b, 3XY.

POLINOMIOS

• POLINOMIO ES LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA QUE CONSTA DE MÁS DE UN TÉRMINO, COMO X + Y, a + b + c, X cuadrada – Y cuadrada.
• EL GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO ES EL GRADO DETERMINADO POR EL TÉRMINO DE MAYOR GRADO.
• X cuadrada + 2X Y + Y cuadrada EL GRADO ABSOLUTO DEL POLINOMIO ES DOS.
• TÉRMINOS SEMEJANTES. SON TÉRMINOS SEMEJANTES CUANDO TIENEN LA MISMA PARTE LITERAL ELEVADAS A IGUALES EXPONENTES. EJEMPLOS: 4 X y 2 X, 3 X cuadrada Y y 5 X cuadrada Y.
• LA REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTE CONSISTE EN CONVERTIRLOS EN UN SOLO TERMINO, SUMANDO O RESTANDO LOS COEFICIENTES. 5X + 4X = 9X. 8X – 3X = 5X. 6X – 6X = 0.
• VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES EL RESULTADO QUE SE OBTIENE AL SUSTITUIR LAS LETRAS POR VALORES NUMÉRICOS DADOS Y EFECTUAR LAS OPERACIONES INDICADAS.
• EL VALOR NUMÉRICO DE 6XY PARA X= 3 y Y= 2 ES 6(3)(2) = 36. EL VALOR NÚMÉRICO DE Xcuadrada PARA X = 5 ES 25. EL VALOR NUMÉRICO DE Xcúbica Ycuadrada PARA X = 2 y Y= 3 ES 2 AL CUBO POR 3 AL CUADRADO, ES DECIR, (8)(9) = 72.

PROCEDIMIENTOS ALGEBRAICOS

SUMA O ADICIÓN

LA SUMA ES UNA OPERACIÓN QUE TIENE POR OBJETO AGRUPAR DOS O MAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS (SUMANDOS) EN UNA SOLA EXPRESIÓN ALGEBRAICA (SUMA).LA REGLA GENERAL CONSISTE EN REDUCIR LOS TÉRMINOS SEMEJANTES.

• SUMA DE MONOMIOS.

SUMAR 5X y 3X EL RESULTADO ES 8X. SUMAR 4X, 5X, 2Y, 4X + 5X + 2Y = 9X + 2Y.

• SUMA DE POLINOMIOS.

SUMAR X – Y, 2X + 3Y, -4X + 5Y.LA SUMA PUEDE INDICARSE INCLUYENDO LOS SUMANDOS DENTRO DE PARÉNTESIS

• (X-Y) + (2X +3Y) + (-4X + 5Y)
• AGRUPANDO LOS TÉRMINOS SEMEJANTES:
• X + 2X – 4X = -X -Y + 3Y + 5Y = 7Y.
• LA SUMA ES –X + 7Y.

PROCEDIMIENTOS ALGEBRAICOS

MULTIPLICACIÓN

LA MULTIPLICACIÓN ES UNA OPERACIÓN QUE TIENE POR OBJETO HALLAR EL PRODUCTO DE DOS CANTIDADES LLAMADAS MULTIPLICANDO Y MULTIPLICADOR. ESTOS SE CONOCEN COMO FACTORES DEL PRODUCTO.EL ORDEN DE LOS FACTORES NO ALTERA EL PRODUCTO, ES LA LEY CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN

• XY PUEDE ESCRIBIRSE YX 2YX = 2XY

POR LA LEY DE LOS SIGNOS EL SIGNO DEL PRODUCTO DE DOS FACTORES:

• SIGNOS IGUALES DAN +
• SIGNOS DIFERENTES DAN –

POR LA LEY DE LOS EXPONENTES PARA MULTIPLICAR POTENCIAS DE LA MISMA BASE SE ESCRIBE LA MISMA BASE ELEVADA AL EXPONENTE QUE RESULTE DE SUMAR LOS EXPONENTES DE LOS FACTORES:

• X cuadrada por X cúbica = X a la quinta potencia.
• 3X cúbica por 2X cuadrada = 6X a la quinta potencia
• 5X cuadrada por 4X a la cuarta = 20X a la sexta.
• 2XY por 3X = 6Xcuadrada Y.
• 4Xcuadrada Ycúbica por 3X cúbica Y cúbica = 12X a la quinta Y a la sexta potencia.

El CUADRADO DE UN BINOMIO ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TÉRMINO, MAS EL DOBLE PRODUCTO DEL PRIMER TÉRMINO POR EL SEGUNDO TÉRMINO, MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TÉRMINO.

• (X + Y) al cuadrado
• Xcuadrada + 2XY + Ycuadrada.
• (X + 5) al cuadrado
• Xcuadrada + 10X + 25
• (2X + 3) al cuadrado
• 4Xcuadrada + 12X + 9
• (3X + 2Y) al cuadrado
• 9X + 12XY + 4Ycuadrada

PRODUCTOS NOTABLES

EL CUADRADO DE UN BINOMIO

El CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TÉRMINO, MENOS EL DOBLE PRODUCTO DEL PRIMER TÉRMINO POR EL SEGUNDO, MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TÉRMINO.

• (X – Y) al cuadrado ES IGUAL A MULTIPLICAR ESTA DIFERENCIA POR SI MISMA:
• (X – Y) al cuadrado = (X – Y) (X – Y) =
• X cuadrada – XY - XY + Ycuadrada =
• X cuadrada – 2XY + Y cuadrada
• (X – 2) al cuadrado = X cuadrada – 4X + 4
• (3X – 2Y) al cuadrado = 9Xcuadrada – 12XY + 4Ycuadrada.
• (2X – 4) al cuadrado = 4Xcuadrada – 16X + 16

Productos Notables

Cuadrado de la diferencia de dos términos

EL CUBO DE UN BINOMIO ES IGUAL AL CUBO DEL PRIMER TÉRMINO, MAS EL TRIPLE PRODUCTO DEL PRIMERO AL CUADRADO POR EL SEGUNDO, MAS EL TRIPLE PRODUCTO DEL PRIMERO POR EL CUADRADO DEL SEGUNDO, MAS EL CUBO DEL SEGUNDO TÉRMINO.

• (X + Y) al cubo
• Xcúbica + 3XcuadradaY + 3XYcuadrada + Ycúbica.
• (X + 1) al cubo
• Xcúbica + 3Xcuadrada + 3X + 1
• (X + 2) al cubo
• Xcúbica + 6Xcuadrada + 12X +8.

PRODUCTOS NOTABLESEL CUBO DE UN BINOMIO

EL PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS MULTIPLICADO POR SU DIFERENCIA ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TÉRMINO MENOS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TÉRMINO.

• (X + Y) (X – Y) =
• Xcuadrada + XY – XY + Ycuadrada =
• Xcuadrada – Ycuadrada
• (X + 2) (X – 2) =
• Xcuadrada + 2x – 2x -4 =
• Xcuadrada – 4
• (X + 3) (X - 3) =
• Xcuadrada + 3X – 3X - 9 =
• Xcuadrada – 9

(2X + 3Y) (2X – 3Y) = 4Xcuadrada + 6XY – 6XY – 9Ycuadrada 4Xcuadrada – 9Ycuadrada

Productos Notables

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS

( X + a ) (X + b )EL PRIMER TÉRMINO DEL PRODUCTO SE OBTIENE MULTIPLICANDO LOS PRIMEROS TÉRMINOS DEL BINOMIO.EL SEGUNDO TÉRMINO ES LA SUMA ALGEBRAICA DE LOS SEGUNDOS TÉRMINOS DE LOS BINOMIOS MULTIPLICADO POR EL PRIMER TÉRMINO.EL TERCER TÉRMINO DEL PRODUCTO ES RESULTADO DE MULTIPLICAR LOS SEGUNDOS TÉRMINOS DE LOS BINOMIOS.

• (X + 2) (X + 3) = Xcuadrada + 5X + 6
• (X + 3) (X + 5) = Xcuadrdada + 8X +15
• (X – 4) (X – 6) = Xcuadrada – 10X + 24
• (X – 2) ( X + 8) = Xcuadrada + 6X -16
• (X + 6) (X – 4) = Xcuadrada + 2X -24

Productos Notables

Producto de dos binomios de la forma (x + a) (x + b)

División

SE DIVIDE EL COEFICIENTE DEL DIVIDENDO ENTRE EL COEFICIENTE DEL DIVISOR PONIENDO A CADA LETRA UN EXPONENTE IGUAL A LA RESTA DEL EXPONENTE DEL DIVIDENDO MENOS EL EXPONENTE DEL DIVISOR.

• 6X cuadrada ENTRE 2X QUE SE INDICA 6X cuadrada / 2X = 3X
• EL SIGNO LO DA LA LEY DE LOS SIGNOS:
• + ENTRE + = + - ENTRE - = + + ENTRE - = - - ENTRE + = -
• LEY DE LOS EXPONENTES. PARA DIVIDIR POTENCIAS DE LA MISMA BASE LOS EXPONENTES SE RESTAN:
• X a la quinta / X cuadrada = X a la potencia 5-2 = X cúbica.
• 8X a la cuarta / 2X = 4X cúbica. 12X a la sexta / 4X cúbica = 3X cúbica
• Los cocientes notables se resuelven por simple inspección.
• X cuadrada – Y cuadrada ENTRE X + Y = X – Y X cuadrada – Y cuadrada ENTRE X – Y = X + Y
• X cuadrada + 2XY + Y cuadrada ENTRE X + Y = X + Y
• X cúbica + 3XcuadradaY + 3XYcuadrada + Ycúbica ENTRE Xcuadrada + 2XY + Ycuadrada = X + Y

RAZONES

• RAZÓN DE UN NÚMERO a A OTRO NÚMERO b ES EL COCIENTE INDICADO DEL PRIMERO ENTRE EL SEGUNDO, ES DECIR a/b
• LA RAZÓN DE 3 A 5 ES 3/5
• LA RAZÓN DE 2 A 3 ES 2/3

PROPORCIONES.

• LA IGUALDAD DE DOS RAZONES ES UNA PROPORCIÓN.
• a/b = c/d DONDE a Y d SON EXTREMOS Y b Y c SON MEDIOS.
• EN TODA PROPORCIÓN EL PRODUCTO DE LOS EXTREMOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS MEDIOS ad = bc

EJEMPLOS:

• 6/12 = 1/2 MULTIPLICANDO 6(2) = 12(1)
• 3/X = X/27 MULTIPLICANDO 3(27) = X(X) 81= Xcuadrada POR LO TANTO X = 9
• 12/6 = 6/X 12X = 36 POR LO TANTO X = 36/12 = 3

RAZONES Y PROPORCIONES

ECUACIONES

IGUALDAD

IGUALDAD ES LA EXPRESIÓN DE QUE DOS CANTIDADES O EXPRESIONES ALGEBRAICAS TIENEN EL MISMO VALOR.

• EJEMPLOS: A = B + C 3Xcuadrada = 4X + 55

ECUACIÓN ES UNA IGUALDAD EN LA QUE HAY UNA O VARIAS CANTIDADES DESCONOCIDAS LLAMADAS INCÓGNITAS Y QUE SOLO ES VERDADERA PARA CIERTOS VALORES DE LAS INCÓGNITAS.

• ASÍ, 6X +3 = 27 ES UNA ECUACIÓN PORQUE ES UNA IGUALDAD EN LA QUE HAY UNA INCÓGNITA, LA X. ESTA IGUALDAD SOLO SE VERIFICA PARA X = 4.
• SE LLAMA PRIMER MIEMBRO DE UNA ECUACIÓN A LA EXPRESIÓN QUE ESTÁ A LA IZQUIERDA DEL SIGNO DE IGUALDAD Y SEGUNDO MIEMBRO A LA EXPRESIÓN QUE ESTÁ A LA DERECHA.
• 6X + 5 = 4X + 9 EL PRIMER MIEMBRO ES 6X + 5
• EL SEGUNDO MIEMBRO ES 4X + 9

LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN SON LOS VALORES DE LAS INCÓGNITAS QUE SATISFACEN LA ECUACIÓN.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

• EN LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA, ÉSTA TIENE EXPONENTE UNO, AUNQUE NO SE ACOSTUMBRA ESCRIBIRLO. ASÍ, EN 3X = 12 LA X ESTÁ ELEVADA A LA POTENCIA UNO.
• SOLUCIONAR UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA ES ENCONTRAR LA SOLUCIÓN QUE SATISFAGA LA ECUACIÓN.
• REGLA GENERAL:

1. SE EFECTÚAN LA OPERACIONES INDICADAS, SI LAS HAY.2. SE HACE LA TRASPOSICIÓN DE TÉRMINOS, REUNIENDO EN UN MIEMBRO TODOS LOS TÉRMINOS QUE CONTENGAN LA INCÓGNITA Y EN EL OTRO MIEMBRO TODAS LAS CANTIDADES CONOCIDAS.3. SE REDUCEN TÉRMINOS SEMEJANTES EN CADA MIEMBRO.4. SE DESPEJA LA INCÓGNITA.5. SE COMPRUEBA LA RESPUESTA.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

RESOLVER LA ECUACIÓN 3X – 9 = X + 7

• PASANDO X AL PRIMER MIEMBRO Y -9 AL SEGUNDO, CAMBIÁNDOLES LOS SIGNOS, SE TIENE: 3X - X = 7 + 9.
• REDUCIENDO TÉRMINOS SEMEJANTES: 2X = 16
• DESPEJANDO: X = 16/2 X= 8
• COMPROBACIÓN 3(8) -9 = 8 + 7 24 – 9 = 15 15 = 15

POR LO QUE EL VALOR DE X= 8 SATISFACE LA ECUACIÓN.RESOLVER LA ECUACIÓN: 20 – 12X + 5 – 10X = - 40X + 43

• 40X – 12X – 10X = 43 - 20 – 5 18 X = 43 – 25 18X = 18 X= 18/18

X = 1

• COMPROBACIÓN: 20 – 12(1) + 5 – 10(1) = - 40(1) + 4320 – 12 + 5 -10 = -40 + 43 25 – 22 = -40 + 43 3 = 3

POR LO QUE X= 1 SATISFACE LA ECUACIÓN.

LA SUMA DE LAS EDADES DE A Y B ES 64 AÑOS, B TIENE 20 AÑOS MENOS QUE A. HALLAR AMBAS EDADES.

• SI X = EDAD DE A
• COMO B TIENE 20 AÑOS MENOS QUE A: X – 20 = EDAD DE B
• LA SUMA DE AMBAS EDADES ES 64 AÑOS, TENEMOS LA ECUACIÓN:
• X + X – 20 = 64
• RESOLVIENDO: X + X = 64 + 20
• 2X = 84 X = 84 / 2 X = 42 AÑOS, EDAD DE A.
• LA EDAD DE B ES: X – 20 = 42 – 20 = 22 AÑOS.

COMPROBACIÓN: LA EDAD DE B ES 22 AÑOS Y LA DE A 42 AÑOS, SE CUMPLE LA CONDICIÓN DE QUE B TIENE 20 AÑOS MENOS QUE A Y AMBAS EDADES SUMAN 64 AÑOS, QUE ES LA OTRA CONDICIÓN DEL PROBLEMA.

Problemas sobre ecuaciones de primer grado con una incógnita

• SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.
• SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES CONSISTE EN ENCONTRAR LOS VALORES DE LAS INCÓGNITAS QUE SATISFACEN LAS ECUACIONES DEL SISTEMA.
• UN SISTEMA DE ECUACIONES ES POSIBLE O COMPATIBLE CUANDO TIENE SOLUCIÓN Y ES INCOMPATIBLE CUANDO NO TIENE SOLUCIÓN.
• UN SISTEMA COMPATIBLE ES DETERMINADO CUANDO TIENE UNA SOLA SOLUCIÓN E INDETERMINADO CUANDO TIENE INFINITAS SOLUCIONES.
• PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES ES NECESARIO OBTENER DE LAS DOS ECUACIONES DADAS UNA SOLA ECUACIÓN CON UNA INCÓGNITA. A ESTA OPERACIÓN LA LLAMAREMOS ELIMINACIÓN.
• EL MÉTODO DE REDUCCIÓN, TAMBIÉN LLAMADO DE SUMA O RESTA ES UN MÉTODO MUY USUAL.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

RESOLVER POR REDUCCIÓN EL SISTEMA:

• 5X + 6Y = 32
• 2X – 3Y = 2

MULTIPLICAMOS LA SEGUNDA ECUACIÓN POR 2 PARA ELIMINAR Y.

• 5X + 6Y = 32
• 4X – 6Y = 4

SUMAMOS ESTAS ECUACIONES:

• 9X = 36 X = 36 / 9 X = 4

SUSTITUYENDO X = 4 EN CUALQUIERA DE LAS ECUACIONES DADAS, POR EJEMPLO EN LA PRIMERA: 5(4) + 6Y = 32

• 20 + 6Y = 32 6Y = 32 – 20 6Y = 12
• Y= 12 / 6 Y = 2
• X = 4 Y = 2

COMPROBACIÓN:

• 5(4) + 6(2) = 32 20 + 12 = 32 32 = 32
• 2(4) – 3(2) = 2 8 – 6 = 2 2 = 2

SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

MÉTODO DE REDUCCIÓN SUMA O RESTA

SISTEMA DE DOS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

DETERMINANTES

EL DETERMINANTE DEL SISTEMA ES UN NÚMERO QUE SE OBTIENE DE LA SIGUIENTE MANERA:

• a d
• c b
• a ES COEFICIENTE DE X (PRIMERA ECUACIÓN)
• d ES COEFICIENTE DE Y (PRIMERA ECUACIÓN)
• c ES COEFICIENTE DE X (SEGUNDA ECUACIÓN)
• b ES COEFICIENTE DE Y (SEGUNDA ECUACIÓN)

SE MULTIPLICA a POR b, MENOS c POR d

• ab – cd = DETERMINANTE.
• ab ES LA DIAGONAL PRINCIPAL
• cd ES LA DIAGONAL SECUNDARIA.

UN DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN (DOS ELEMENTOS DE CADA FILA O COLUMNA) ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS DE LA DIAGONAL PRINCIPAL, MENOS EL PRODUCTO DE LOS TÉRMINOS QUE PERTENECEN A LA DIAGONAL SECUNDARIA.

EJEMPLOS:

• 3 5
• 6 8 EL DETERMINANTE ES 3(8) – 6(5) = 24 – 30 = - 6
• 4 6
• 2 8 EL DETERMINANTE ES 4(8) – 2(6) = 32 – 12 = 20

EL DETERMINANTE DEL SISTEMA SE OBTIENE CON LOS COEFICIENTES DE LA VARIABLES ( X Y )EL DETERMINANTE DE X SE OBTIENE REEMPLAZANDO LOS COEFICIENTES DE X POR LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES.EL DETERMINANTE DE Y SE OBTIENE REEMPLAZANDO LOS COEFICIENTES DE Y POR LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES.

• X = DETERMINANTE DE X / DETERMINANTE DEL SISTEMA
• Y = DETERMINANTE DE Y / DETERMINANTE DEL SISTEMA

EN EL SISTEMA DE ECUACIONES:

• 5X + 3Y = 13
• 4X + 6Y = 14 EL DETERMINANTE DEL SISTEMA ES 5(6) – 4(3) = 30 -12 = 18

Determinantes

EJEMPLOS:

• 3 5
• 6 8 EL DETERMINANTE ES 3(8) – 6(5) = 24 – 30 = - 6
• 4 6
• 2 8 EL DETERMINANTE ES 4(8) – 2(6) = 32 – 12 = 20

EL DETERMINANTE DEL SISTEMA SE OBTIENE CON LOS COEFICIENTES DE LA VARIABLES ( X Y )EL DETERMINANTE DE X SE OBTIENE REEMPLAZANDO LOS COEFICIENTES DE X POR LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES.EL DETERMINANTE DE Y SE OBTIENE REEMPLAZANDO LOS COEFICIENTES DE Y POR LOS TÉRMINOS INDEPENDIENTES.

• X = DETERMINANTE DE X / DETERMINANTE DEL SISTEMA
• Y = DETERMINANTE DE Y / DETERMINANTE DEL SISTEMA

EN EL SISTEMA DE ECUACIONES:

• 5X + 3Y = 13
• 4X + 6Y = 14 EL DETERMINANTE DEL SISTEMA ES 5(6) – 4(3) = 30 -12 = 18

Determinantes

DETERMINANTES

RESOLVER POR DETERMINANTES EL SISTEMA:

• 3X + 2Y = 16
• 2X + 5Y = 18

PRIMERO SE CALCULA EL DETERMINANTE DEL SISTEMA

• 3 2
• 2 5 3(5) – 2(2) = 15 – 4 = 11 EL DETERMINANTE DEL SISTEMA = 11

EL DETERMINANTE DE X ES:

• 16 2
• 18 5 16(5) – 18(2) = 80 – 36 = 44 EL DETERMINANTE DE X = 44
• POR LO QUE X = DETERMINANTE DE X / DETERMINANTE DEL SISTEMA X = 44 / 11 X = 4

EL DETERMINANTE DE Y ES:

• 3 16
• 2 18 3(18) – 2(16) = 54 – 32 = 22 EL DETERMINANTE DE Y = 22
• POR LO QUE Y = DETERMINANTE DE Y / DETERMINANTE DEL SISTEMA Y = 22 / 11 Y = 2

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ES AQUELLA EN LA QUE EL MAYOR EXPONENTE DE LA INCÓGNITA ES 2.

• 5Xcuadrada + 8X +4 = 0 ES UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.

RESOLVER UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ES HALLAR LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN.EN GENERAL LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ES :

• aXcuadrada + bX + c = 0

SE RESUELVE CON LA FÓRMULA GENERAL X = ( -b +- RAIZ CUADRADA b cuadrada – 4ac ) / 2aLAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN Xcuadrada – 2X – 3 = 0 SON:

• X = 3 y X = -1.

LOS DOS VALORES SATISFACEN LA ECUACIÓN.TODA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA SOLA INCÓGNITA EN X REPRESENTA UNA PARÁBOLA.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

FACTORIZACIÓN

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES.

• RESOLVER Xcuadrada + 4X – 32 = 0
• FACTORIZANDO EL TRINOMIO: (X + 8) (X – 4) = 0

• PARA QUE EL PRODUCTO SEA CERO ES NECESARIO QUE POR LO MENOS UNO DE ESTOS FACTORES SEA CERO.
• LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN SON: X = - 8 y X = 4.

• LOS PASOS PARA RESOLVER POR FACTORIZACIÓN SON:

1. SE PONE LA ECUACIÓN EN A FORMA aXcuadrada + bX +c = 02. SE FACTORIZA EL TRINOMIO DEL PRIMER MIEMBRO DE LA ECUACIÓN.3. SE IGUALAN A CERO CADA UNO DE LOS FACTORES Y SE RESUELVEN.

REPASO