Matemáticas 3 Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad

MATEMÁTICAS 3

MATEMÁTICAS 3

Bloque 2. Línea Recta

Condiciones de Paralelismo y Perpendicularidad

Empezar

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE VERACRUZ

Ing. Jorge Alberto Vela González

COBAEV 50 VERACRUZ

Mejor que de nuestro juicio, debemos fiarnos del cálculo algebraico.

Leonhard Euler

Leonhard Euler

CONTENIDO

Propósito del Bloque

Rectas Perpendiculares

Aprendizajes Esperados

Condiciones de Perpendicularidad

Video: Matemática Divertida

Posición Relativa entre dos Rectas

Rectas Paralelas

A Practicar

Condiciones de Paralelismo

Ejemplos

Propósito del Bloque

Aplica las propiedades de la línea recta en la solución de diversas situaciones de la vida cotidiana, favoreciendo su pensamiento crítico, para la construcción de nuevos conocimientos.

Aprendizajes Esperados

Calcula la pendiente, el ángulo de inclinación y el ángulo entre dos rectas, promoviendo la creación de nuevos conocimientos que favorezca la toma de decisiones consciente e informada ante problemáticas cotidianas en su entorno.

Posición relativa entre dos rectas

Cuando se ubican dos rectas en el mismo plano cartesiano, éstas pueden guardar las siguientes relaciones con base en su posición:

Rectas Coincidentes

Rectas Paralelas

Rectas Secantes

Rectas Paralelas

Las primeras resultan de dos ecuaciones equivalentes y, practicamente, son la misma recta.

Si dos rectas forman un ángulo de cero grados, éstas pueden ser coincidentes o paralelas.

Las rectas paralelas por tener el mismo ángulo de inclinación, tienen la misma pendiente. Estas rectas nunca se cortan.

Condición de Paralelismo

Para denotar dicha condición se utiliza el símbolo ||

Dos rectas son paralelas si tienen el mismo ángulo de inclinación y por lo tanto sus pendientes son iguales. Y recíprocamente, si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas.

Rectas Perpendiculares

Cuando forman un ángulo de noventa grados, se dice que las rectas son perpendiculares.

Las rectas secantes tienen un punto en común y al cortarse forman dos pares de ángulos congruentes.

En las rectas perpendiculares, para que dos rectas que se cortan formen ángulos rectos, sus pendientes deben ser recíprocas; además, una de ellas debe tener pendiente positiva y la otra pendiente negativa.

Condición de Perpendicularidad

Para denotar dicha condición se utiliza el símbolo ⊥

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos de 90°. Sus pendientes son recíprocas y de signo contrario. Y viceversa, si dos rectas tienen pendientes recíprocas y de signo diferente, entonces son perpendiculares.

Video: Matemática Divertida

También puedes practicar dibujando rectas paralelas y perpendiculares,

dando clic al

botón azul.

Si quieres

practicar para

identificar rectas

paralelas y

perpendiculares,

da clic al botón

rosa.

Ejemplos

Analiza los siguientes ejemplos. Da clic en alguno de los números siguientes:

Gracias

Calcula la pendiente de una recta que pasa por los puntos (-3, 2) y (5, 1).

Este puede ser el (-3, 2) por lo que x =-3 y y =2.

1 1

Las coordenadas del punto P son por lo tanto, las de (5, 1), por lo que x =5 y y =1.

2 2

SOLUCIÓN:

Recuerda que la fórmula para hallar la pendiente dados dos puntos es:

Si sustituyes ahora esos valores en la fórmula, obtienes:

Puedes llamarle punto uno P a cualquiera de los dos puntos dados.

Siguiente

Esta es la gráfica:

• Como la pendiente es negativa, la recta es decreciente.

Volver

Este puede ser el (-2,-4) por lo que x=-2 y y =-4.

1 1

Calcula la pendiente de una recta que pasa por los puntos (-2,-4) y (3,-1).

Las coordenadas del punto P son por lo tanto, las de (3, -1), por lo que x =3 y y =-1.

2 2

SOLUCIÓN:

Recuerda que la fórmula para hallar la pendiente dados dos puntos es:

Si sustituyes ahora esos valores en la fórmula, obtienes:

Puedes llamarle punto uno P a cualquiera de los dos puntos dados.

Siguiente

Esta es la gráfica:

• Como la pendiente es positiva, la recta es creciente.

Volver

Una recta pasa por los puntos (2, -1) y (6, 1), mientras que otra recta pasa por (-1, 2) y (3, 4). Determina si las dos rectas son paralelas, perpendiculares o no corresponden a ninguno de estos casos.

Entonces, las coordenadas de la recta l son (-1,2) y (3,4) y su pendiente es:

SOLUCIÓN:

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:

Determina para cada recta su pendiente; aplica la fórmula:

Y son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signos diferentes:

Nombra como l a la recta que pasa por los puntos (2,-1) y (6,1) y calcula su pendiente:

Las Rectas son Paralelas

Siguiente

Siguiente

Esta es la gráfica:

• En rectas paralelas sus pendientes son iguales:

• Al igual que sus ángulos de inclinación:

Volver

Una recta pasa por los puntos (1, 2) y (3, 5), mientras que otra recta pasa por (-2, 4) y (4, 0). Determina si las dos rectas son paralelas, perpendiculares o no corresponden a ninguno de estos casos.

Entonces, las coordenadas de la recta l son (-2, 4) y (4, 0) y su pendiente es:

SOLUCIÓN:

Son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signos diferentes:

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:

Determina para cada recta su pendiente; aplica la fórmula:

Y son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signos diferentes:

Nombra como l a la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3,5) y calcula su pendiente:

Las Rectas son Perpendiculares

Siguiente

Siguiente

Esta es la gráfica:

• En rectas perpendiculares el producto de sus pendientes es igual a -1:

• Y la diferencia de sus ángulos de inclinación es igual a un ángulo recto:

Volver

Una recta pasa por los puntos (1,-7) y (4, 2), mientras que otra recta pasa por (-1, 7) y (5, -5). Determina si las dos rectas son paralelas, perpendiculares o no corresponden a ninguno de estos casos.

Entonces, las coordenadas de la recta l son (-1, 7) y (5, -5) y su pendiente es:

SOLUCIÓN:

Y son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y de signos diferentes:

Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales:

Determina para cada recta su pendiente; aplica la fórmula:

NO SON PARALELAS

NO SON PERPENDICULARES

SON RECTAS OBLICUAS

Nombra como l a la recta que pasa por los puntos (1, -7) y (4, 2) y calcula su pendiente:

Siguiente

• Las rectas no son PARALELAS

Sus pendientes no son iguales

Esta es la gráfica:

Las rectas se cortan

Esta es la gráfica:

• Las rectas no son PERPENDICULARES

El producto de sus pendientes no es -1

Al cortarse no forman ángulos rectos

• Por lo tanto las rectas son OBLICUAS

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