INFOGRAFIA

EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella en la que aparecen exponenciales, es decir, potencias cuyos exponentes son expresiones en las que aparece la incógnita, x. En esta sección resolveremos ecuaciones exponenciales sin usar logaritmos. El método de resolución consiste en conseguir una igualdad de exponenciales con la misma base para poder igualar los exponentes. Por ejemplo:

3 2 x = 3 6 La ecuación anterior se cumple si los exponentes son iguales. Por tanto, en este ejemplo el valor que debe tomar x es 3. Para conseguir igualdades como la anterior, tendremos que factorizar, expresar los números en forma de potencias, aplicar las propiedades de las potencias y escribir las raíces como potencias. En ocasiones, tendremos que realizar un cambio de variable para transformar la ecuación en una ecuación de primer o de segundo grado e, incluso, de grado mayor.

Como una exponencial es realmente una potencia con una o varias incógnitas en el exponente, podemos utilizar las propiedades de las potencias para trabajar con las exponenciales. Esto nos permite simplificar las ecuaciones exponenciales o escribirlas en una forma que facilite su resolución. Las propiedades de las potencias son las siguientes:

También se pueden resolver aplicando logaritmos, pero nosotros dejaremos este procedimiento para ecuaciones con mayor dificultad en las que las exponenciales tienen bases distintas y, por tanto, no podemos usar la técnica anterior de igualar exponentes. Por ejemplo, en la siguiente ecuación las bases son distintas (coprimas) 3 x + 3 = 5 x

y su solución (real) es, aplicando logaritmos, x = 3 l n 3 l n ( 5 3 )

LOGARITMOS

En análisis matemático el logaritmo de un número real positivo n, en una determinada base b, es el exponente x de b para obtener n: {\displaystyle \log _{b}n=x\quad \Leftrightarrow \ \quad b^{x}=n}{\displaystyle \log _{b}n=x\quad \Leftrightarrow \ \quad b^{x}=n} La base tiene que ser positiva y distinta de 1. Así, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 10 al cubo vale 1000: {\displaystyle \log _{10}1000=3\quad \Leftrightarrow \ \quad 10^{3}=1000}{\displaystyle \log _{10}1000=3\quad \Leftrightarrow \ \quad 10^{3}=1000}

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos o logaritmación es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo. Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante —por identidades logarítmicas— que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

COLOGARITMOS

El Cologaritmo es aquel logaritmo que presenta la misma base, pero cuyo número es el inverso multiplicativo a un logaritmo original. Se llama Cologaritmo de un número n, y se indica por colog n, al logaritmo del inverso del número 1/N o lo que es lo mismo, al opuesto del logaritmo, - log n, o sea colog N = log 1/N = - log N.

Cologaritmo de un Número El cologaritmo de un número es el logaritmo de su inverso. El cologaritmo de un número es el opuesto de su logaritmo.

Ejemplos de Cologaritmo: - colog 5 = log 1/5 = log 1 - log 5 = - log 5 - colog 20 = log 1/20 = log 1 - log 20 = - log 20 - colog 35 = log 1/35 = log 1 - log3 5 = - log3 5