Suite arithmético géométrique

Tout savoir sur les suites arithmético-géométriques

à maîtriser

Cet exercice est un exercice très CLASSIQUE pour le bac.

impérativement

Quand on plagie le travail de quelqu'un, on est dans l'illégalité.

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Réalisation : I. Vernimmen

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Définition

Inconvénient

Intérêt

Objectifs

J'apprends à l'aide d'un exercice résolu

1er objectif : Montrer que la suite (vn ) est géométrique.

ENONCE

La méthode consiste à exprimer vn+1 sous la forme vn + 1 = q × vn.

La technique repose sur 2 + 1 relations fondamentales liant les suites (un ) et (vn )

Il existe deux méthodes de résolution qui diffèrent uniquement à la dernière étape.

La méthode « 3 substitutions »

La méthode « 2 substitutions + 1 factorisation »

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Les 3 relations fondamentales

3ème étape : méthode par substitution Remplacer un par son expression en fonction de vn à l’aide de la relation 3

Relation 3 : un = vn + 80

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Relation 2 vn = un - 80

Relation 1 : un+1 = 0,75un + 20

3ème substitution.

vn+1 = 0,75 ( vn + 80) - 60

ENONCE

Cliquer sur la flèche rouge pour faire défiler les étapes.

2ème étape : Remplacer un+1 par son expression en fonction de un à l’aide de la relation 1

1ère étape : Partir de vn+1 et exprimer vn+1 en fonction de un+1 à l’aide de la relation 2 :

vn+1 = 0,75vn + 0,75 × 80 - 60 = 0,75vn + 60 - 60 vn+1= 0,75 vn

3ème étape : méthode par factorisation Factoriser par le coefficient devant un.

OU

2ème substitution.

vn+1 = 0,75un + 20 - 80

1ère substitution.

vn+1 = un+1 - 80

vn+1 = 0,75un - 60 = 0,75 (un - 60 / 0,75) vn+1= 0,75 vn

vn+1 = 0,75un - 60

La technique repose sur 2 + 1 relations fondamentales liant les suites (un ) et (vn )

Calcul du premier terme de la suite (vn )

ENONCE

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• On calcule le 1er terme à l’aide de la relation 2 :

v 0 = u0 - 80 = 30 - 80 = - 50

vn = un - 80

Bilan : La suite (vn) est une suite géométrique de raison q = 0,75 et de premier terme : v0 = - 50

La technique repose sur 2 + 1 relations fondamentales liant les suites (un ) et (vn )

2ème objectif : Déterminer l’expression du terme général de la suite (un )

ENONCE

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2ème étape : Exprimer un en fonction de n

1ère étape : Exprimer vn en fonction de n

Bilan : un = −50 × 0,75n + 80

(vn) est une suite géométrique donc on connaît la formule explicite.

On utilise la relation 3

un = vn + 80

un = vn + 80 un = −50 × 0,75n + 80

vn = v0 × qn vn= −50 × 0,75n

vn = un - 80

Bilan : La suite (vn) est une suite géométrique de raison q = 0,75 et de premier terme : v0 = - 50

La technique repose sur 2 + 1 relations fondamentales liant les suites (un ) et (vn )

3ème objectif : Déterminer la limite de la suite (un )

ENONCE

au programme de Terminale

vn = un - 80

Bilan : La suite (vn) est une suite géométrique de raison q = 0,75 et de premier terme : v0 = - 50

La technique repose sur 2 + 1 relations fondamentales liant les suites (un ) et (vn )

4ème objectif : Compléter l'algorithme

ENONCE

Cliquer sur la flèche rouge pour faire défiler les étapes.

un ≥ 75

On cherche le plus petit entier naturel n tel que

vn = un - 80

Bilan : La suite (vn) est une suite géométrique de raison q = 0,75 et de premier terme : v0 = - 50

La technique repose sur 2 + 1 relations fondamentales liant les suites (un ) et (vn )

5ème objectif : Résoudre par le calcul l’inéquation

ENONCE

au programme de Terminale

vn = un - 80

Bilan : La suite (vn) est une suite géométrique de raison q = 0,75 et de premier terme : v0 = - 50

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+ INFO

• Les trois relations fondamentales sont :

relation 1 : relation 2 : relation 3 :

• Un = Vn + 10
• Un+1 = 0,8Un + 2
• Vn = Un - 10

• Vn = Un - 10
• Un+1 = 0,8Un + 2
• Un = Vn +10

• Un+1 = 0,8Un + 2
• Vn = Un - 10
• Un = Vn + 10

• 2
• 1
• 3

• 1ère étape : exprimer Vn+1 en fonction de à l’aide de la relation

Vn+1 =

• Un+1
• Vn
• Un

• Un+1 - 10
• Un - 10
• Vn +10

• 2ème étape : exprimer Vn+1 en fonction de en remplaçant Un+1 par son expression à l'aide de la relation : Vn+1 = =

• Un
• Vn
• Un+1

• 0,8Un - 8
• 0,8Vn - 8

• 1
• 2
• 3

• 0,8Un + 2 - 10
• 0,8Un+1 - 10
• 0,8Un+1

• Vn
• Un
• Un+1

• 3ème étape : exprimer Vn+1 en fonction de

a) Méthode par substitution : remplacer Un à l'aide de la relation Vn+1 =

b) Méthode par factorisation : factoriser par le coefficient devant Un : Vn+1 =

• 3
• 2
• 1

• 0,8(Un - 10)
• 0,8(Vn + 10)
• 0,8( Vn- 10)

• 0,8(Vn +10) - 8
• 0,8(Vn + 10)
• Vn + 10 - 8

donc Vn+1 =

• 0,8Vn
• 0,8+Vn
• 0,8Un

• 4
• -4
• 24

• 2
• 1
• 3

• 4ème étape : calcul de V0 à l'aide de la relation : V0 =

• 0,8
• 8
• 0,8n

• Bilan : (Vn) est la suite géométrique de raison q = :

et V0 =

Valider

• 4
• -4
• 24

Nombre de mauvaiseses réponses :

XX

XX

Nombre de bonnes réponses :

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+ INFO

• 0,8
• 8
• 0,8n

• Rappel : (Vn) est la suite géométrique de raison q = :

et V0 =

• 4
• -4
• 24

• 4 × 0,8^n
• 4 + 0,8n
• 0,8 × 4^n

b) Expression de Vn en fonction de n : Vn =

• Expression de Un en fonction de n

On utilise la relation

• 3
• 2
• 1

Valider

• 4 × 0,8^n + 10
• 4 + 0,8n +10
• 0,8 × 4^n +10
• 4 × 0,8^n - 10

• Un =

XX

Nombre de bonnes réponses :

Nombre de mauvaiseses réponses :

XX

Je m'entraîne

Compléter l'algorithme et appuyer sur valider pour vérifier les réponses.

VALIDER

Je m'entraîne en rédigeant

• Fiche de révisions sur les suites arithmético-géométriques

• Correction d'un exercice en vidéo (vidéo un peu longue....)