אינטגרלים

נושא השיעור

אינטגרלים בצורה איכותנית כולל פונקצית ההצטברות

מאת שרית סמואל

לפני שנתחיל

שאלת חימום

נסו לפתור תרגיל זה לא משיקולי אינטגרציה!

פתרון

אז מה בקמפוס?

אינטגרל ב2 כיוונים: 1. אינטגרל כפעולה הפוכה לנגזרת (אינטגרל בלתי מסוים) 2. אינטגרל כגבול של סכומים וכלי לחישוב שטחים (אינטגרל מסויים) 3. הבנת הקשר בין שניהם

אינטגרל: פעולה הפוכה לנגזרת

מתוך ההבנה שאינטגרל הוא פעולה הפוכה לנגזרת נובע המשפט שנקרא: "לינאריות של האינטגרל הלא מסויים" שאומר:

מותר להוציא קבוע מחוץ לאינטגרל ושהאינטגרל של הסכום שווה לסכום האינטגרלים

הערה יש לקרוא מימין לשמאל כדי להבין את ההוכחה

שאלה

מה ההסבר לנוסחה:

תשובה:

1. ידוע ש:

2. נבודד את

נבצע אינטגרל ב2 האגפים ונקבל את הנוסחה:

מבוסס על ההבנה כי אינטגרל זו ) (פעולה הפוכה של נגזרת

עבור f(x) אי שלילית האינטגרל המסויים מייצג את השטח בין ציר האיקס לגרף של f(x)

שאלה: כיצד ניתן להסביר בצורה איכותנית שצריך לעשות אינטגרל למינוס הפונקציה לצורך חישוב שטח מתחת לציר האיקס?

הסבר איכותני

שימו לב - אין שטח שלילי

שימו לב:

שאלה ממבט אחר: כיצד ניתן להסביר שאינטגרל של פונקציה שנמצאת תחת לציר הx תתן תוצאה שלילית?

הצעות להסבר

1. ערך האינטגרל המסוים הוא בדיוק המספר הנגדי לאינטגרל של (f(x שמעל ציר האיקס (שיקוף הפונקציה ביחס לציר האיקס)

2. נזכור כי הפונקציה שכולאת את השטח מיצגת את הנגזרת של פונקציית השטח. במידה והנגזרת שלילית כלומר מתחת לציר האיקס ברור כי פונקצית השטח יורדת כלומר F(b)-F(a) שלילית עבור b>a

דר אביב צנזור מציג את האינטגרל המסויים:

דוגמה לחישוב שטח באמצעות הזזה

דרך א

דרך ב

נבצע אינטגרל לשטח שמוזז 2 יחידות שמאלה

:נתון

באופן כללי:

תוספת של שטח מלבן עם אורך c ורוחב b-a

השטח קטן בגודל מלבן עם אורך c (גודל ההזזה) ורוחב b-a

חשב את האינטגרלים משיקולים איכותנים :

נתון ש

לפתרון לחץ על התרגיל

הכללות ומסקנות

חישוב אינטגרל ללא אינטגרציה

שאלה מבגרות התוכנית החדשה שאלון 35581

שאלה מבגרות התוכנית החדשה שאלון 35581

לפתרון

תרגילים מבגרות בגישה איכותנית

חורף 2017

תרגילים מבגרות בגישה איכותנית

בגרות חורף תשע"ח

תרגילים מבגרות בגישה איכותנית

קיץ מועד א תשעז

תרגילים מבגרות בגישה איכותנית

תרגילים מבגרות בגישה איכותנית

בגרות חורף תשע"ט

תרגילים מבגרות בגישה איכותנית

אינטגרל בשילוב אי שוויון

במקרה זה נחפש שטח שמוכל או מכיל את השטח הדרוש

תרגילים מבגרות בגישה איכותנית

אינטגרל בשילוב אי שוויון

הסבר מדוע?

אינטגרל בשילוב אי שוויון

האינטגרל מוכל בתוך משולש ששטחו שווה ל2 יח"ר ולכן בהכרח האינטגרל קטן יותר

s=(4⋅1)/2

אינטגרל בשילוב אי שוויון

אינטגרל בשילוב אי שוויון

מוכל במלבן ששטחו 120 יח"ר

נכון או לא נכון?

דוגמה מבגרות

קיץ ב תש"פ

אינטגרל בשילוב אי שוויון

לפתרון

דוגמה מבגרות

קיץ ב תש"פ

האינטרגל מוכל בתוך מלבן ששטחו שווה ל1/24

יחידה

פונקצית הצטברות

הרציונאל

ישנם לפחות 3 טעמים להוראת האינטגרל דרך רעיון ההצטברות: א. ניתן להציג בקלות את הקשר בין אינטגרל מסוים לאינטגרל בלתי מסוים ב. ניתן להראות באופן טבעי את הקשר בין גזירה ואינטגרציה הידוע בשם המשפט היסודי של החשבון הדפרנציאלי והאיטגרלי. ג. רעיון ההצטברות מאפשר למידה הדרגתית מבוססת על מושגים שיש להם משמעות בעיני התלמידים(כולל קירוב) ולא רק על פרוצודרות פורמליות.

דר' אביב צנזור מציג:

דוגמה

הקדמה

ערן שחר+

ישומון להמחשת פונקציית ההצטברות

המחשה לתלמידים באמצעות דסמוס

שימו לב 1. מגדירים פונקציה 2. מגדירים את הטווח של y - y בין פונקציה תחתונה לעליונה 3. מגדירים את הטווח שממנו אני רוצים לצבור- x בין המספר ההתחלתי לפרמטר k 4. מגדירים את הסליידר (טווח לk)

המחשה לתלמידים באמצעות דסמוס

דוגמה

שימו לב 1.כאשר רוצים לצבוע את השטח מעל העקומה ומתחת לעקומה יש להגדיר 2 טווחים לy שכן הפונקציה העליונה מתחלפת עם התחתונה. 2. מגדירים את הטווח שממנו אני רוצים לצבור- x בין המספר ההתחלתי לפרמטר k 3. מגדירים את הסליידר (טווח לk)

דוגמאות לשאלות קצרות

דוגמאות לשאלות קצרות

דוגמאות לשאלות קצרות

לפתרון לחץ כאן

תרגיל בגרות

לפתרון

תרגיל בגרות

מועד ב' 2023

ישומון

תרגיל בגרות

סרטון בהקשר- גבול תחתון משתנה

צפה בסרטון הבא

ישומון להמחשה עבור פונקציה חיובית

ישומון להמחשה עבור פונקציה שאינה חיובית לכל איקס

תרגיל דומה מבגרות

מסקנות

הקשר בין פונקציה הצטברות לפונקציה קדומה ונגזרתה

f'x חיובית ויורדת

FX עולה וקעורה כלפי מטה

vs

FX עולה וקעורה כלפי מעלה

F'X חיובית ועולה

ל Fx יש פיתול

יש קיצוןF'X ל

קשר בין פונקציה לנגזרת

לפתרון

מה הביטוי האלגברי המתאר את F(X)?

לפתרון

1. כמה נקודות קיצון יש לg(x) 2. קבע את סוגן

לפתרון

לפתרון

לפתרון

תרגיל נוסף

לפתרון

מסקנה

לתרגול נוסף ומעמיק לחץ כאן

להעמקה וקריאה נוספת בנושא האינטגרל לחץ כאן (מתוך ללמוד וללמד אנליזה)