PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Propiedades de los números reales

lo que sE puede y debe hacer con los números reales

Empezar

1. Propiedad asociativa de la suma

7. El neutro mutliplicativo

ÍNDICE

2. Propiedad conmutativa de la suma

8. El inverso mutliplicativo

3. El neutro aditivo

9. Propiedad distributiva de la suma

4. El inverso aditivo

10. Propiedad distributiva del producto

5. Propiedad asociativa del producto

6. Propiedad conmutativa del producto

11. Algunas propiedades que se decucen de las anteriores

La definición rigurosa de los números reales no es el preocupación de este material, pero sí lo es el destacar algunas propiedades básicas, axiomas y teoremas que gobiernan su cálculo y de las cuales se desprenden las reglas habituales para efectuar operaciones básicas con ellos.

Para todas las propiedades, considere que a, b y c son núeros reales. (enlace a video)

1. Propiedad asociativa de la suma

(a+b) + c = a +(b+c)

Se pueden asociar términos diferentes a los originales para modificar el orden en el que se realizará la suma, sin alterar el resultado.

la propiedad es extensiva

( a + b ) + ( c + d ) = ( a + c ) + ( b + d ) o cualquier otra asociación que resulte conveniente para facilitar la ejecución de la operación, por ejemplo: ( a + d ) + ( b + c )

propiedad conmutativa de la suma

a + b = b + a

El orden de los términos de la suma puede cambiar, sin alterar el resultado.

propiedades básicas (CONTINUACIÓN)

a + ( - a ) = 0 Para todo a que pertenezca a los reales

a + 0 = a Para todo a que pertenezca a los reales

a*b = b*a

a*(b*c) = (a*b)*c

PROp. 6

PROp. 5

PROp. 4

PROp. 3

Propiedad conmutativa del producto

Propiedad asociativa del producto

Todo número real tiene un inverso aditivo

El cero es neutro aditivo

propiedades básicas (CONTINUACIÓN)

PROP. 7

PROp. 8

PROp. derivada

PROp. 9

Todo real distinto a cero tiene inverso mutliplicativo

El 1 es neutro multiplicativo

El producto de un factor, por cero

Distributividad del producto respecto a la suma

prop. conmutativa en la suma y producto

EN LA RESTA Y EN LA DIVISIÓN NO...

EN LA SUMA Y EN EL PRODUCTO APLICA PERMUTAR

Querer aplicar una propiedad de las operaciones directas en las inversas es un error muy común. Ojo, en la resta y en la división, SI IMPORTA CUÁL ES EL SUSTRAENDO Y CUÁL EL DIVISOR...NO CAMBIAR

Gran parte de los errores y de las dudas en matemáticas superiores, se originan por no saber sumar, restar, mutliplicar y dividir números reales. Saber qué está permitido y qué no, da seguridad y minimiza los errores. Esta propiedad no aplica en la resta ni en la división.

vs

PROPIEDADES POR OPERACIÓN: SUMA

Interna: El resultado de sumar dos reales es otro número real

ejemplos

Asociativa: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado

PROPIEDADES de la SUMA (continuación)

Elemento neutro: Es un número "e" que cumple que:

Elemento opuesto: Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el elemento neutro, en este caso el cero (0).

diferencia de números reales

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo (a quien se le sustrae) más el opuesto del sustraendo (lo que se sutrae).

en resumen, de nuevo...

más teoremas derivados

OBTENER EL OPUESTO de cualquier real

el cociente de un opuesto entre un real es el opuesto del cociente

-a = ( -1 ) * a

-a / b = a/-b = - ( a/b )

EL OPUESTO DE CERO

- 0 = 0

EL PRODUCTO DE UN OPUESTO POR UN REAL, ES EL OPUESTO DEL PRODUCTO

(- a ) b = a (-b) = - ( a b )

axiomas de orden

orden

transitividad

Si a<b y b<c entonces a<cEj.: 5<7 y 7<10 entonces 5<10

Si a y b son reales, a es menor que b si b-a es positivo:a < b si b - a > 0 Ej: 2 es menor que 5 porque 5-2=3 (la diferencia es positiva)

multiplicatividad

aditividad

Si a<b y c>0 entonces ac < bc Ej: Si 2<6 y 5>0 entonces 2(5) < 6(5) 10 < 30

Si a < b entonces a+c < b+cEj.: Si 2<5, 2+3<5+3 ; 5<8

¡Muchas gracias! Luis E. Olea