Presentación
CUÁDRICAS PROYECTIVAS
Florencia Enriquez y Solange Mesa
ÍNDICE
Cuádricas en la realidad
Cuádricas
Familia de cuádricas
Clasificación proyectiva
Clasificación de cuádricas
Cuádricas en forma matricial
Clasificación afín
Aplicación en el aula
Teoría de sombras, arte y geometría proyectiva
10
Sombras en cuádricas
Conclusiones
12
Experimentación con linternas
11
CUÁDRICAS
¿Dónde comenzó todo?
¿Dónde comenzó todo?
El estudio de las cuádricas comenzó con los antiguos matemáticos griegos quienes las estudiaron mediante las secciones del cono. Si bien no usaron ecuaciones, sí trabajaron en un plano bidimensional.
FAMILIA DE CUÁDRICAS
¿Qué tipos de cuádricas existen?
¿QUÉ TIPOS DE CUÁDRICAS EXISTEN?
Hoy en día entendemos por cuádricas a la familia de superficies en R3 integrada por los siguientes géneros:
- Elipsoide: El elipsoide y la esfera.
- Paraboloide: Elíptico e hiperbólico.
- Hiperboloide: de una hoja y de dos hojas.
- Sus degeneramientos: el cono (degeneramiento del género hiperboloide) y los cilindros.
¿QUÉ TIPOS DE CUÁDRICAS EXISTEN?
Sin embargo, también podemos diferenciarlas dependiendo de si tienen un centro de simetría (único) o no:
- Cuádricas con centro: elipsoides, hiperboloides y conos.
- Cuádricas con eje de centros: cilindros elípticos e hiperbólicos y pares de planos secantes.
- Cuádricas sin centro (lo tienen en el infinito): paraboloides y cilindros parabólicos.
¿QUÉ TIPOS DE CUÁDRICAS EXISTEN?
También podemos dividirlas en:
- Regladas (si en su superficie se hallan incluídas rectas, llamadas generatrices): el hiperboloide de una hoja, el paraboloide hiperbólico, y trivialmente los degeneramientos en conos y cilindros.
- No regladas (no contienen en su superficie ninguna recta): el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas y el paraboloide elíptico.
¿QUÉ TIPOS DE CUÁDRICAS EXISTEN?
Finalmente, los puntos de una cuádrica se clasifican en:
- Elípticos (el plano tangente en el punto la corta en un solo punto): el elipsoide, el hiperboloide de dos hojas y el paraboloide elíptico.
- Parabólicos (el plano tangente en el punto la corta en una recta): el cono y los cilindros (excepto el vértice del cono donde no hay plano tangente).
- Hiperbólicos (el plano tangente en el punto la corta en dos rectas): El hiperboloide de una hoja y el paraboloide hiperbólico.
FAMILIA DE CUÁDRICAS
+info
+QR
CUÁDRICAS EN LA REALIDAD
Observación de cuádricas en la vida cotidiana.
CUÁDRICAS EN LA REALIDAD
Catedral de Brasilia: hiperboloide de una hoja
Tecnoesfera: esfera
Huevos: elipsoides
Antena de TV: paraboloide
Papas Pringles: paraboloide hiperbólico
Club Táchira: paraboloide hiperbólico
CUÁDRICAS EN FORMA MATRICIAL
Cuádricas como lugares geométricos desde una forma matricial.
CUÁDRICAS EN FORMA MATRICIAL
Las cuádricas son lugares geométricos en P3(R) de los puntos reales o imaginarios, cuyas coordenadas homogéneas, respecto a un determinado sistema de referencia, satisfacen a una ecuación de segundo grado de la forma:
La ecuación de una cuádrica puede escribirse en forma matricial como:
CUÁDRICAS EN FORMA MATRICIAL
donde
Denotaremos por la matriz que define la cuádrica y por la matriz adjunta del elemento en A.De manera abreviada se puede expresar a la matriz de una cuádrica de la siguiente manera:
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Clasificación euclideana de cuádricas
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signatura σ, es decir, el módulo de la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de . Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a que permiten determinar σ sin necesidad de calcular explícitamente sus autovalores. Veámoslo:Los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de la ecuación Ahora bien,
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Cuando los tres autovalores de son nulos, es decir, , si escribimos la sucesión, K, J, I, | y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces | P-V | = σ. Los valores I, J, K se conocen como invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene: * Si σ= 3:
det A > 0 ⇒ elipsoide real
det A < 0 ⇒ elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la ecuación)
det A = 0 ⇒ cono imaginario
* Si σ = 1:
det A > 0 ⇒ hiperboloide hiperbólico (de una hoja)
det A < 0 ⇒ hiperboloide elíptico (de dos hojas)
det A = 0 ⇒ cono real
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Si alguno de los autovalores es nulo pero el determinante de A es distinto de cero, entonces: Si J > 0 ⇒paraboloide elíptico
Si J < 0 ⇒ paraboloide hiperbólico
Si hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificación
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Con estos nuevos invariantes se tiene
J ' > 0
K ' ≠ 0 y signo K' = signo I ⇒ cilindro elíptico imaginario
K ' ≠ 0 y signo K' ≠ signo I ⇒ cilindro elíptico real
K ' = 0 ⇒ par de planos imaginarios secantes
J '< 0
K '≠ 0⇒ cilindro hiperbólico
K ' = 0⇒ par de planos reales secantes
J '= 0 y I ≠ 0
K ’ ≠ 0 ⇒ cilindro parabólico
K ' = 0 y J ' > 0⇒par de planos imaginarios paralelos distintos
K ' = 0 y J ' < 0⇒ par de planos reales paralelos distintos
K ' = 0 y J ' = 0⇒ par de planos coincidentes
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Para observar de forma resumida la clasificación de cuádricas, haz clic en el siguiente botón:
Clasificación
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Clasificación proyectiva de cuádricas
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
El rango de la matriz asociada a la ecuación de una cuádrica es un invariante proyectivo (el rango de la matriz A asociada a una cuádrica se conserva por un cambio de coordenadas proyectivas) y es por lo que el número de puntos singulares de una cuádrica no depende del sistema particular de coordenadas proyectivas que se tome. De acuerdo con esto, se clasificará a las cuádricas con arreglo al número de puntos singulares y a su disposición; clasificación que denominaremos proyectiva. El sistema que da los puntos singulares es:
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Si rango A=4, el sistema no admite más que una solución (0;0;0;0), que no representa ningún punto en En fin, es una cuádrica no degenerada ya que no tiene puntos singulares.
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Si rango A=3, hay un solo punto cuyas coordenadas homogéneas satisfacen al sistema. Si cortamos la cuádrica por un plano π que no contenga al punto singular, la intersección será una cónica no degenerada (basta considerar un sistema de referencia en formado por y tres puntos conjugados dos a dos, respecto a la cuádrica, en el plano π). Las rectas que unen con los puntos de dicha cónica están en la cuádrica. Por lo que ésta está formada por rectas que pasan por un punto (único punto singular). Se trata de un cono.
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Si rango A=2, el sistema que da los puntos singulares se reduce a dos ecuaciones y los puntos singulares estarán en una recta r, determinada por ambas ecuaciones.
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Si se corta la cuádrica por una recta s que no corte a r, se obtienen dos puntos P y Q de la cuádrica, que unidos a los de la recta r determinan dos planos, en los que degenera la cuádrica, ya que las rectas que unen P o Q con los puntos de r (singulares) están en la cuádrica. La intersección de la recta s con la cuádrica no puede dar un único punto, pues entonces la cuádrica se reduciría a un plano de puntos singulares, y se tendrá rango A= 1.
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Si rango A=1, las ecuaciones son dependientes por lo que se reducen a una sola que define al plano de puntos singulares, la cual se reduce la cuádrica. Pues, no puede haber otro punto de la cuádrica fuera de este plano, ya que todas las rectas que pasen por él estarían en la cuádrica, al pasar por un punto singular del plano.
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
En resumen, según que el rango A sea 4,3,2 ó 1 la cuádrica es no degenerada, degenera en un conjunto de rectas que pasan por un punto (cono), degenerada en dos planos distintos que se cortan en una recta de puntos singulares, o degenera en un plano de puntos singulares.
Para poder realizar una clasificación más exhaustiva, dada la ecuación de una cuádrica respecto a un sistema de referencias proyectivo arbitrario: por el método de formación de cuadrados de Gauss, podemos mediante transformaciones proyectivas sucesivas, llegar a una ecuación reducida o diagonal siguiente:
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Los coeficientes no nulos pueden ser positivos o negativos. Se sabe que el número de coeficientes no nulos es un invariante proyectivo, porque está relacionado con el rango de A, y debemos establecer el número de coeficientes positivos (haciendo que éste sea mayor o igual que el de términos negativos, multiplicando por -1 si fuera necesario) el cual es también un invariante proyectivo, es decir si m es el número de términos positivos en la diagonal de una cuádrica (igual o mayor que el número de términos negativos), entonces la dimensión del mayor subespacio proyectivo que no tiene puntos comunes con la cuádrica es m-1. Dependiendo el valor que tome m, podemos clasificar proyectivamente a las cuádricas de la siguiente manera:
CLASIFICACIÓN AFÍN
Clasificación afín de cuádricas
CLASIFICACIÓN AFÍN
Para poder clasificar afínmente a las cuádricas, debemos situarnos en el espacio afín (fijando en el espacio proyectivo un plano como plano impropio). Clasificaremos a las cuádricas en diferentes tipos, tales que después de una transformación afín, la cuádrica siga siendo del mismo tipo.
Las transformaciones (o cambios de coordenadas afines) conservan los puntos impropios, luego la intersección de una cuádrica con el plano del infinito siempre dará el mismo tipo de cónica, independientemente del sistema de coordenadas afines que se tome.
Si cortamos las cuádricas de ecuación por el plano impropio x=0, resulta una cónica en ese plano de ecuaciones:
CLASIFICACIÓN AFÍN
En el espacio afín la ecuación representa un cono con vértice en el origen de coordenadas y cuyas generatrices tienen las direcciones determinadas por los puntos de la cónica en el plano impropio anterior. Pueden darse tres casos:
Cono real: la cuádrica corta al plano impropio según una cónica real y no degenerada, se dice entonces que es de género hiperboloide.
Cono degenerado en producto de planos: la cónica impropia es degenerada y se dice que la cuádrica es de género paraboloide.
Cono imaginario: se dice que es de género elipsoide.
CLASIFICACIÓN AFÍN
De acuerdo con el rango de la matriz asociada a la ecuación de una cuádrica, que es invariante por transformaciones afines, y tipo concreto de cónica en el infinito, se obtiene la siguiente clasificación de cuádricas:
Clasificación afín
APLICACIÓN EN EL AULA
Breve descripción de la aplicación de las cuádricas proyectivas en el aula.
APLICACIÓN EN EL AULA
En 2° año de la escuela secundaria básica los alumnos trabajan dentro del eje “geometría y magnitudes”, los cuerpos geométricos principales: prismas, antiprismas, pirámides, cilindros, conos, esferas y cuerpos arquimedianos. Dentro de este eje, es nuestra idea, como proyecto junto a la materia “Educación artística” con orientación en “plástica visual”, trabajar, en primer lugar las cuádricas en la vida cotidiana, así como también su clasificación y fórmulas que las representan (mediante las cuádricas con códigos QR donde podrán visualizar e interpretar cómo varían las mismas) y, en particular, las sombras proyectadas de algunas cuádricas ya nombradas anteriormente utilizando como punto de foco una linterna, con la finalidad de que los alumnos comprendan el concepto de proyección, perspectiva y sombras, tanto desde el punto de vista artístico como también desde el punto de vista matemático.
Actividades
Tarjetas Qr
TEORÍA DE SOMBRAS, ARTE Y GEOMETRÍA PROYECTIVA
Relación entre la teoría de sombras, el arte y la geometría proyectiva.
EL ESTUDIO DE LA TEORÍA DE SOMBRAS A TRAVÉS DEL TIEMPO
Renacimiento
Antigüedad
1642
1638
1799
1820
Desargües postula su teorema donde establece una homología entre dos figuras planas y explica las razones por las cuales podrían construirse las sombras geométricamente.
Se descubre la perspectiva y la proyección de la sombra es objeto de estudio de los pintores. Leonardo Da Vinci
Tales de Mileto halla la altura de la pirámide utilizando su sombra proyectada.
Barnabé Brisson (discípulo de Monge), recompila las lecciones sobre perspectiva aérea, las compila y se añaden al texto de la Geometría Descriptiva a partir de la cuarta edición
Gaspar Monge formula científicamente la teoría de sombras
Jean Dubreiul explica que los rayos luminosos son todos paralelos al plano del cuadro, siendo arbitraria la altura del foco solar.
10
SOMBRAS EN CUÁDRICAS
Formas de trazar las sombras en las cuádricas.
¿CÓMO HALLAR LA SOMBRA PROPIA Y PROYECTADA DE UNA SOMBRA?
Para hallar la sombra propia y la proyectada de una superficie curva, tendremos que hallar la separatriz, es decir la línea de contacto del cono (o cilindro) circunscripto a la superficie, y que tenga el vértice en el foco luminoso. Entonces la separatriz limitará a la sombra propia, y nos dará la sombra proyectada como intersección de su cilindro de sombra con las regiones iluminadas de las superficies a quienes corta. Para hallar la separatriz en una cuádrica, debemos trazar los planos tangentes a la superficie, desde el foco luminoso. El lugar de los puntos de contacto será la separatriz. De tal manera el cono, o cilindro de sombra se obtiene como envolvente de sus planos tangentes.
APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE SOMBRAS EN CUÁDRICAS EN EL AULA
Dentro del aula, debido a su complejidad y el año en el que lo trabajaremos, solo explicaremos, de manera teórica, la construcción de la sombra de un cono (presente el paso a paso en esta presentación) y de un cilindro, mientras que, de manera práctica y experimental lo haremos con la gran mayoría de las cuádricas.
Los alumnos deberán saber diferenciar que hay dos tipos de sombra:
●La sombra propia: es la que se produce en el mismo cuerpo iluminado. ●La sombra proyectada: la que este objeto arroja sobre superficies cercanas. Como así también identificar la figura geométrica proyectada en la sombra y relacionarla con el cuerpo que tienen de origen.
SOMBRA DE UN CONO SOBRE EL PLANO VERTICAL
Si deseamos calcular la sombra sobre el plano vertical, debemos determinar la intersección del rayo de luz con el mismo. Para lograrlo, seguiremos los siguientes pasos:
1. Proyectamos ortogonalmente sobre el plano horizontal el punto del que se quiere calcular su sombra, en este caso V1 como proyección del vértice V2.
2. Por V2 (vértice del cono) trazamos la dirección del rayo de luz en el espacio. Por V1 trazamos sobre el plano horizontal la recta d, que es la proyección ortogonal del rayo de luz que pasa por V2.
3. La intersección del rayo de luz y su proyección es Vs, punto de sombra de V2.
4. Por la intersección de d con el plano vertical(O) trazamos una recta vertical hasta que corte al rayo de luz, obtendremos VS2 que es la sombra de V2 sobre el plano vertical.
5. Trazamos las rectas tangentes al círculo de base del cono partiendo de VS.
6. La intersección de las tangentes trazadas anteriormente con el plano vertical dará dos puntos que se unirán a V2, obteniendo así la sombra arrojada del cono sobre el plano vertical.
SOMBRA DE UN CONO SOBRE EL PLANO VERTICAL
11
EXPERIMENTACIÓN CON LINTERNAS
Formas de hallar las sombras de cuádricas utilizando linternas como puntos de foco.
EXPERIMENTACIÓN CON LINTERNAS
A continuación, se visualiza la experimentación de la proyección de las sombras de diversas cuádricas tomando como foco de luz una linterna.
Esfera/ Cilindro/ Cono
EXPERIMENTACIÓN CON LINTERNAS
Cono/ Hiperboloide de una hoja/ Paraboloide hiperbólico/ Paraboloide elíptico/ Elipsoide
12
CONCLUSIONES
¿Es posible explicar cuádricas proyectivas en la escuela secundaria?
Existen contenidos a lo largo de la escuela secundaria que suelen ser relegados debido al grado de complejidad, esto provoca que los alumnos muchas veces tengan baches en conceptos matemáticos que podrían ser asociados de forma sencilla con la realidad y trabajados en conjunto con otras materias, pudiendo ver así su aplicación en distintas áreas y proyectarlos fuera de la carpeta de trabajo. En el presente nos encontramos frente a uno de esos contenidos: las cuádricas. Este tema en particular no pertenece al curriculum actual de la escuela secundaria, sin embargo, sí, suele ser abordado desde el arte indirectamente sin hacer hincapié en el concepto matemático ni en la profundización de su estudio y algunas de las cuádricas suelen estudiarse dentro de la unidad de cuerpos geométricos. No obstante, la palabra “cuádrica” no aparece en el vocabulario de los estudiantes hasta, en algunos casos en años posteriores, en ciertas carreras que llevan su estudio y aplicación, como, por ejemplo, en la arquitectura y el arte, entre otros. Creemos necesario que los estudiantes se acerquen a las nociones de “cuádricas” y “proyecciones” desde la escuela secundaria y logren verlas reflejadas en el mundo que los rodea, saliendo del concepto abstracto y valorando este contenido como conocimiento previo para su futuro educativo.
¡GRACIAS!
Florencia Enriquez y Solange Mesa
Inicio
Cuádricas proyectivas
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Created on June 26, 2021
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Presentación
CUÁDRICAS PROYECTIVAS
Florencia Enriquez y Solange Mesa
ÍNDICE
Cuádricas en la realidad
Cuádricas
Familia de cuádricas
Clasificación proyectiva
Clasificación de cuádricas
Cuádricas en forma matricial
Clasificación afín
Aplicación en el aula
Teoría de sombras, arte y geometría proyectiva
10
Sombras en cuádricas
Conclusiones
12
Experimentación con linternas
11
CUÁDRICAS
¿Dónde comenzó todo?
¿Dónde comenzó todo?
El estudio de las cuádricas comenzó con los antiguos matemáticos griegos quienes las estudiaron mediante las secciones del cono. Si bien no usaron ecuaciones, sí trabajaron en un plano bidimensional.
FAMILIA DE CUÁDRICAS
¿Qué tipos de cuádricas existen?
¿QUÉ TIPOS DE CUÁDRICAS EXISTEN?
Hoy en día entendemos por cuádricas a la familia de superficies en R3 integrada por los siguientes géneros:
¿QUÉ TIPOS DE CUÁDRICAS EXISTEN?
Sin embargo, también podemos diferenciarlas dependiendo de si tienen un centro de simetría (único) o no:
¿QUÉ TIPOS DE CUÁDRICAS EXISTEN?
También podemos dividirlas en:
¿QUÉ TIPOS DE CUÁDRICAS EXISTEN?
Finalmente, los puntos de una cuádrica se clasifican en:
FAMILIA DE CUÁDRICAS
+info
+QR
CUÁDRICAS EN LA REALIDAD
Observación de cuádricas en la vida cotidiana.
CUÁDRICAS EN LA REALIDAD
Catedral de Brasilia: hiperboloide de una hoja
Tecnoesfera: esfera
Huevos: elipsoides
Antena de TV: paraboloide
Papas Pringles: paraboloide hiperbólico
Club Táchira: paraboloide hiperbólico
CUÁDRICAS EN FORMA MATRICIAL
Cuádricas como lugares geométricos desde una forma matricial.
CUÁDRICAS EN FORMA MATRICIAL
Las cuádricas son lugares geométricos en P3(R) de los puntos reales o imaginarios, cuyas coordenadas homogéneas, respecto a un determinado sistema de referencia, satisfacen a una ecuación de segundo grado de la forma:
La ecuación de una cuádrica puede escribirse en forma matricial como:
CUÁDRICAS EN FORMA MATRICIAL
donde
Denotaremos por la matriz que define la cuádrica y por la matriz adjunta del elemento en A.De manera abreviada se puede expresar a la matriz de una cuádrica de la siguiente manera:
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Clasificación euclideana de cuádricas
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Las cuádricas se clasifican de acuerdo a su signatura σ, es decir, el módulo de la diferencia entre el número de autovalores positivos y negativos de . Sin embargo, para calcular la signatura de la cuádrica no es necesario diagonalizar la matriz, debido a la existencia de unas cantidades invariantes asociadas a que permiten determinar σ sin necesidad de calcular explícitamente sus autovalores. Veámoslo:Los autovalores son las raíces del polinomio característico, es decir, las soluciones de la ecuación Ahora bien,
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Cuando los tres autovalores de son nulos, es decir, , si escribimos la sucesión, K, J, I, | y denotamos por P y V el número de permanencias y variaciones de signo que hay en ella, respectivamente, entonces | P-V | = σ. Los valores I, J, K se conocen como invariantes de la cuádrica. De esta forma se tiene: * Si σ= 3: det A > 0 ⇒ elipsoide real det A < 0 ⇒ elipsoide imaginario (no existen puntos reales que verifican la ecuación) det A = 0 ⇒ cono imaginario * Si σ = 1: det A > 0 ⇒ hiperboloide hiperbólico (de una hoja) det A < 0 ⇒ hiperboloide elíptico (de dos hojas) det A = 0 ⇒ cono real
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Si alguno de los autovalores es nulo pero el determinante de A es distinto de cero, entonces: Si J > 0 ⇒paraboloide elíptico Si J < 0 ⇒ paraboloide hiperbólico Si hay que introducir nuevos invariantes para completar la clasificación
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Con estos nuevos invariantes se tiene J ' > 0 K ' ≠ 0 y signo K' = signo I ⇒ cilindro elíptico imaginario K ' ≠ 0 y signo K' ≠ signo I ⇒ cilindro elíptico real K ' = 0 ⇒ par de planos imaginarios secantes J '< 0 K '≠ 0⇒ cilindro hiperbólico K ' = 0⇒ par de planos reales secantes J '= 0 y I ≠ 0 K ’ ≠ 0 ⇒ cilindro parabólico K ' = 0 y J ' > 0⇒par de planos imaginarios paralelos distintos K ' = 0 y J ' < 0⇒ par de planos reales paralelos distintos K ' = 0 y J ' = 0⇒ par de planos coincidentes
CLASIFICACIÓN DE CUÁDRICAS
Para observar de forma resumida la clasificación de cuádricas, haz clic en el siguiente botón:
Clasificación
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Clasificación proyectiva de cuádricas
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
El rango de la matriz asociada a la ecuación de una cuádrica es un invariante proyectivo (el rango de la matriz A asociada a una cuádrica se conserva por un cambio de coordenadas proyectivas) y es por lo que el número de puntos singulares de una cuádrica no depende del sistema particular de coordenadas proyectivas que se tome. De acuerdo con esto, se clasificará a las cuádricas con arreglo al número de puntos singulares y a su disposición; clasificación que denominaremos proyectiva. El sistema que da los puntos singulares es:
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Si rango A=4, el sistema no admite más que una solución (0;0;0;0), que no representa ningún punto en En fin, es una cuádrica no degenerada ya que no tiene puntos singulares.
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Si rango A=3, hay un solo punto cuyas coordenadas homogéneas satisfacen al sistema. Si cortamos la cuádrica por un plano π que no contenga al punto singular, la intersección será una cónica no degenerada (basta considerar un sistema de referencia en formado por y tres puntos conjugados dos a dos, respecto a la cuádrica, en el plano π). Las rectas que unen con los puntos de dicha cónica están en la cuádrica. Por lo que ésta está formada por rectas que pasan por un punto (único punto singular). Se trata de un cono.
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Si rango A=2, el sistema que da los puntos singulares se reduce a dos ecuaciones y los puntos singulares estarán en una recta r, determinada por ambas ecuaciones.
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Si se corta la cuádrica por una recta s que no corte a r, se obtienen dos puntos P y Q de la cuádrica, que unidos a los de la recta r determinan dos planos, en los que degenera la cuádrica, ya que las rectas que unen P o Q con los puntos de r (singulares) están en la cuádrica. La intersección de la recta s con la cuádrica no puede dar un único punto, pues entonces la cuádrica se reduciría a un plano de puntos singulares, y se tendrá rango A= 1.
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Si rango A=1, las ecuaciones son dependientes por lo que se reducen a una sola que define al plano de puntos singulares, la cual se reduce la cuádrica. Pues, no puede haber otro punto de la cuádrica fuera de este plano, ya que todas las rectas que pasen por él estarían en la cuádrica, al pasar por un punto singular del plano.
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
En resumen, según que el rango A sea 4,3,2 ó 1 la cuádrica es no degenerada, degenera en un conjunto de rectas que pasan por un punto (cono), degenerada en dos planos distintos que se cortan en una recta de puntos singulares, o degenera en un plano de puntos singulares. Para poder realizar una clasificación más exhaustiva, dada la ecuación de una cuádrica respecto a un sistema de referencias proyectivo arbitrario: por el método de formación de cuadrados de Gauss, podemos mediante transformaciones proyectivas sucesivas, llegar a una ecuación reducida o diagonal siguiente:
CLASIFICACIÓN PROYECTIVA
Los coeficientes no nulos pueden ser positivos o negativos. Se sabe que el número de coeficientes no nulos es un invariante proyectivo, porque está relacionado con el rango de A, y debemos establecer el número de coeficientes positivos (haciendo que éste sea mayor o igual que el de términos negativos, multiplicando por -1 si fuera necesario) el cual es también un invariante proyectivo, es decir si m es el número de términos positivos en la diagonal de una cuádrica (igual o mayor que el número de términos negativos), entonces la dimensión del mayor subespacio proyectivo que no tiene puntos comunes con la cuádrica es m-1. Dependiendo el valor que tome m, podemos clasificar proyectivamente a las cuádricas de la siguiente manera:
CLASIFICACIÓN AFÍN
Clasificación afín de cuádricas
CLASIFICACIÓN AFÍN
Para poder clasificar afínmente a las cuádricas, debemos situarnos en el espacio afín (fijando en el espacio proyectivo un plano como plano impropio). Clasificaremos a las cuádricas en diferentes tipos, tales que después de una transformación afín, la cuádrica siga siendo del mismo tipo. Las transformaciones (o cambios de coordenadas afines) conservan los puntos impropios, luego la intersección de una cuádrica con el plano del infinito siempre dará el mismo tipo de cónica, independientemente del sistema de coordenadas afines que se tome. Si cortamos las cuádricas de ecuación por el plano impropio x=0, resulta una cónica en ese plano de ecuaciones:
CLASIFICACIÓN AFÍN
En el espacio afín la ecuación representa un cono con vértice en el origen de coordenadas y cuyas generatrices tienen las direcciones determinadas por los puntos de la cónica en el plano impropio anterior. Pueden darse tres casos:
Cono real: la cuádrica corta al plano impropio según una cónica real y no degenerada, se dice entonces que es de género hiperboloide.
Cono degenerado en producto de planos: la cónica impropia es degenerada y se dice que la cuádrica es de género paraboloide.
Cono imaginario: se dice que es de género elipsoide.
CLASIFICACIÓN AFÍN
De acuerdo con el rango de la matriz asociada a la ecuación de una cuádrica, que es invariante por transformaciones afines, y tipo concreto de cónica en el infinito, se obtiene la siguiente clasificación de cuádricas:
Clasificación afín
APLICACIÓN EN EL AULA
Breve descripción de la aplicación de las cuádricas proyectivas en el aula.
APLICACIÓN EN EL AULA
En 2° año de la escuela secundaria básica los alumnos trabajan dentro del eje “geometría y magnitudes”, los cuerpos geométricos principales: prismas, antiprismas, pirámides, cilindros, conos, esferas y cuerpos arquimedianos. Dentro de este eje, es nuestra idea, como proyecto junto a la materia “Educación artística” con orientación en “plástica visual”, trabajar, en primer lugar las cuádricas en la vida cotidiana, así como también su clasificación y fórmulas que las representan (mediante las cuádricas con códigos QR donde podrán visualizar e interpretar cómo varían las mismas) y, en particular, las sombras proyectadas de algunas cuádricas ya nombradas anteriormente utilizando como punto de foco una linterna, con la finalidad de que los alumnos comprendan el concepto de proyección, perspectiva y sombras, tanto desde el punto de vista artístico como también desde el punto de vista matemático.
Actividades
Tarjetas Qr
TEORÍA DE SOMBRAS, ARTE Y GEOMETRÍA PROYECTIVA
Relación entre la teoría de sombras, el arte y la geometría proyectiva.
EL ESTUDIO DE LA TEORÍA DE SOMBRAS A TRAVÉS DEL TIEMPO
Renacimiento
Antigüedad
1642
1638
1799
1820
Desargües postula su teorema donde establece una homología entre dos figuras planas y explica las razones por las cuales podrían construirse las sombras geométricamente.
Se descubre la perspectiva y la proyección de la sombra es objeto de estudio de los pintores. Leonardo Da Vinci
Tales de Mileto halla la altura de la pirámide utilizando su sombra proyectada.
Barnabé Brisson (discípulo de Monge), recompila las lecciones sobre perspectiva aérea, las compila y se añaden al texto de la Geometría Descriptiva a partir de la cuarta edición
Gaspar Monge formula científicamente la teoría de sombras
Jean Dubreiul explica que los rayos luminosos son todos paralelos al plano del cuadro, siendo arbitraria la altura del foco solar.
10
SOMBRAS EN CUÁDRICAS
Formas de trazar las sombras en las cuádricas.
¿CÓMO HALLAR LA SOMBRA PROPIA Y PROYECTADA DE UNA SOMBRA?
Para hallar la sombra propia y la proyectada de una superficie curva, tendremos que hallar la separatriz, es decir la línea de contacto del cono (o cilindro) circunscripto a la superficie, y que tenga el vértice en el foco luminoso. Entonces la separatriz limitará a la sombra propia, y nos dará la sombra proyectada como intersección de su cilindro de sombra con las regiones iluminadas de las superficies a quienes corta. Para hallar la separatriz en una cuádrica, debemos trazar los planos tangentes a la superficie, desde el foco luminoso. El lugar de los puntos de contacto será la separatriz. De tal manera el cono, o cilindro de sombra se obtiene como envolvente de sus planos tangentes.
APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE SOMBRAS EN CUÁDRICAS EN EL AULA
Dentro del aula, debido a su complejidad y el año en el que lo trabajaremos, solo explicaremos, de manera teórica, la construcción de la sombra de un cono (presente el paso a paso en esta presentación) y de un cilindro, mientras que, de manera práctica y experimental lo haremos con la gran mayoría de las cuádricas. Los alumnos deberán saber diferenciar que hay dos tipos de sombra: ●La sombra propia: es la que se produce en el mismo cuerpo iluminado. ●La sombra proyectada: la que este objeto arroja sobre superficies cercanas. Como así también identificar la figura geométrica proyectada en la sombra y relacionarla con el cuerpo que tienen de origen.
SOMBRA DE UN CONO SOBRE EL PLANO VERTICAL
Si deseamos calcular la sombra sobre el plano vertical, debemos determinar la intersección del rayo de luz con el mismo. Para lograrlo, seguiremos los siguientes pasos: 1. Proyectamos ortogonalmente sobre el plano horizontal el punto del que se quiere calcular su sombra, en este caso V1 como proyección del vértice V2. 2. Por V2 (vértice del cono) trazamos la dirección del rayo de luz en el espacio. Por V1 trazamos sobre el plano horizontal la recta d, que es la proyección ortogonal del rayo de luz que pasa por V2. 3. La intersección del rayo de luz y su proyección es Vs, punto de sombra de V2. 4. Por la intersección de d con el plano vertical(O) trazamos una recta vertical hasta que corte al rayo de luz, obtendremos VS2 que es la sombra de V2 sobre el plano vertical. 5. Trazamos las rectas tangentes al círculo de base del cono partiendo de VS. 6. La intersección de las tangentes trazadas anteriormente con el plano vertical dará dos puntos que se unirán a V2, obteniendo así la sombra arrojada del cono sobre el plano vertical.
SOMBRA DE UN CONO SOBRE EL PLANO VERTICAL
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EXPERIMENTACIÓN CON LINTERNAS
Formas de hallar las sombras de cuádricas utilizando linternas como puntos de foco.
EXPERIMENTACIÓN CON LINTERNAS
A continuación, se visualiza la experimentación de la proyección de las sombras de diversas cuádricas tomando como foco de luz una linterna.
Esfera/ Cilindro/ Cono
EXPERIMENTACIÓN CON LINTERNAS
Cono/ Hiperboloide de una hoja/ Paraboloide hiperbólico/ Paraboloide elíptico/ Elipsoide
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CONCLUSIONES
¿Es posible explicar cuádricas proyectivas en la escuela secundaria?
Existen contenidos a lo largo de la escuela secundaria que suelen ser relegados debido al grado de complejidad, esto provoca que los alumnos muchas veces tengan baches en conceptos matemáticos que podrían ser asociados de forma sencilla con la realidad y trabajados en conjunto con otras materias, pudiendo ver así su aplicación en distintas áreas y proyectarlos fuera de la carpeta de trabajo. En el presente nos encontramos frente a uno de esos contenidos: las cuádricas. Este tema en particular no pertenece al curriculum actual de la escuela secundaria, sin embargo, sí, suele ser abordado desde el arte indirectamente sin hacer hincapié en el concepto matemático ni en la profundización de su estudio y algunas de las cuádricas suelen estudiarse dentro de la unidad de cuerpos geométricos. No obstante, la palabra “cuádrica” no aparece en el vocabulario de los estudiantes hasta, en algunos casos en años posteriores, en ciertas carreras que llevan su estudio y aplicación, como, por ejemplo, en la arquitectura y el arte, entre otros. Creemos necesario que los estudiantes se acerquen a las nociones de “cuádricas” y “proyecciones” desde la escuela secundaria y logren verlas reflejadas en el mundo que los rodea, saliendo del concepto abstracto y valorando este contenido como conocimiento previo para su futuro educativo.
¡GRACIAS!
Florencia Enriquez y Solange Mesa
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