Trio : un dispositif pour apprendre.

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Trio

Du cycle 1 au cycle 3

Ressources

Mise en oeuvre

Présentation et règles

Apprentissages et enjeux

Le jeu - un dispositif pour apprendre

Mutualisation

Présentation et règles

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Origine

Comment on joue ?

Trio (nom international : Tribulation) est un jeu de réflexion créé par Heinz Wittenberg et édité par Ravensburger en 1974. (Source Wikipedia). L'adaptation scolaire, promue notamment par Eric Trouillot, est un levier pour l'apprentissage des mathématiques.

Une grille est constituée de nombres de 1 à 9. But du jeu : atteindre un nombre cible en trouvant le plus de trios possible. Un trio est un ensemble de 3 nombres voisins et alignés. Chaque nombre du trio devient un terme d'une opération de son choix. Exemples avec cette grille :

Apprentissages et enjeux

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Les compétences aux cycles 2 et 3.

Raisonner

Calculer

Communiquer

Les apprentissagesau cycle 1.

La didactique

Acquérir les premiers outils mathématiques

Des modalités spécifiques d'apprentissage

Les apprentissages au cycle 1

Un apprentissage efficace ?L'apport des neurosciences.

Modéliser

Représenter

De manière générale pour oes 3 cycles.

La motivation

Au cycle 2 : - Anticiper le résultat d’une manipulation, d’un calcul, ou d’une mesure.- Tenir compte d’éléments divers (arguments d’autrui, résultats d’une expérience, sources internes ou externes à la classe, etc.) Pour modifier ou non son jugement.- Prendre progressivement conscience de la nécessité et de l’intérêt de justifier ce que l’on affirme. Au cycle 3 : - Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc.- S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle.- Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

Au cycle 2 : - Calculer avec des nombres entiers, mentalement ou à la main, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies adaptées aux nombres en jeu.- Contrôler la vraisemblance de ses résultats. Au cycle 3 : - Calculer avec des nombres décimaux et des fractions simples de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne, ou en posant les opérations).- Contrôler la vraisemblance de ses résultats.- Utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.

Au cycle 2 : - Utiliser l’oral et l’écrit, le langage naturel puis quelques représentations et quelques symboles pour expliciter des démarches, argumenter des raisonnements. Au cycle 3 : - Utiliser progressivement un vocabulaire adéquat et/ou des notations adaptées pour décrire une situation, exposer une argumentation.- Expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange.

Au cycle 2 : - S’engager dans une démarche de résolution de problèmes en observant, en posant des questions, en manipulant, en expérimentant, en émettant des hypothèses, si besoin avec l’accompagnement du professeur après un temps de recherche autonome.- Tester, essayer plusieurs pistes proposées par soi-même, les autres élèves ou le professeur. Au cycle 3 : - Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc.- S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle.- Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

(extraits du programme, juin 2021 - Partie 4 - Acquérir les premiers outils mathématiques) 4.1. Découvrir les nombres et leur utilisation 4.1.1. objectifs visés et éléments de progressivité Les trois années de l’école maternelle sont nécessaires (...) en veillant à ce que les nombres travaillés soient composés et décomposés. La maîtrise de la décomposition des nombres est une condition nécessaire à la construction du nombre. Construire le nombre pour exprimer des quantités. La maîtrise de la décomposition des nombres est une condition nécessaire à la construction du nombre. Stabiliser la connaissance des petits nombres. Avoir stabilisé la connaissance d’un nombre, par exemple trois, c’est être capable de donner, montrer, ou prendre un, deux ou trois et composer et décomposer deux et trois. Entre deux et quatre ans, stabiliser la connaissance des petits nombres (jusqu’à cinq) demande des activités nombreuses et variées portant sur la décomposition et recomposition des petites quantités (trois c’est deux et encore un ; un et encore deux ; quatre c’est deux et encore deux ; trois et encore un ; un et encore trois), la reconnaissance et l’observation des constellations du dé, la reconnaissance et l’expression d’une quantité avec les doigts de la main, la correspondance terme à terme avec une collection de cardinal connu. Ultérieurement, au-delà de cinq, la même attention doit être portée à l’élaboration progressive des quantités.

Programme du cycle 1, partie 4. Acquérir les premiers outils mathématiques. Cet enseignement structuré et ambitieux [les mathématiques] est assuré tout au long du cycle, à travers le jeu, la manipulation d’objets et la résolution de problèmes. Il s’attache à stimuler chez les élèves la curiosité, le plaisir et le goût de la recherche. Programme du cycle 2, partie Mathématiques. [Les problèmes] ont le plus souvent possible un caractère ludique. On veillera aussi à proposer aux élèves dès le CP des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements.

(extraits du programme, juin 2021.) Apprendre en jouant [L'enseignant] propose aussi des jeux structurés visant explicitement des apprentissages spécifiques. Apprendre en réfléchissant et en résolvant des problèmes concrets Quels que soient le domaine d’apprentissage et le moment de vie de classe, [l'enseignant] cible des situations, pose des questions ouvertes pour lesquelles les enfants n’ont pas alors de réponse directement disponible. Mentalement, ils recoupent des situations, ils font appel à leurs connaissances, ils font l’inventaire de possibles, ils sélectionnent. Ils tâtonnent et font des essais de réponse. L’enseignant est attentif aux cheminements qui se manifestent par le langage ou en action ; il valorise les essais et suscite des discussions. Apprendre en s'exerçant Les apprentissages des jeunes enfants s’inscrivent dans un temps long et leurs progrès sont rarement linéaires. Ils nécessitent souvent un temps d’appropriation qui peut passer soit par la reprise de processus connus, soit par de nouvelles situations. Leur stabilisation nécessite de nombreuses répétitions dans des conditions variées. Les modalités d’apprentissage peuvent aller, pour les enfants les plus grands, jusqu’à des situations d’entraînement ou d’auto-entraînement, voire d’automatisation. Apprendre en se remémorant et en mémorisant. [L'enseignant] organise des retours réguliers sur les découvertes et acquisitions antérieures pour s’assurer de leur stabilisation, et ceci dans tous les domaines. (...) Il valorise la restitution, l’évocation de ce qui a été mémorisé ; il aide les enfants à prendre conscience qu’apprendre à l’école, c’est remobiliser en permanence les acquis antérieurs pour aller plus loin.

Un moyen de mobiliser les 4 piliers de l’apprentissage, qui sont : (Stanislas Dehaene : Apprendre : le talent du cerveau, le défi des machines, 2018) -l’attention, qui amplifie l’information sur laquelle nous nous concentrons (mais fait négliger d’autres informations), -la curiosité et l’engagement actif (on n’apprend bien que si l’on a une idée claire du but et qu’on y adhère), -l’information en retour (qui permet d’évaluer notre connaissance et nos prédictions, surtout si elle est précise et rapide), -la consolidation qui se réalise grâce à des révisions distribuées de façon judicieuse dans le temps. Le Trio est un jeu qui permet à l'enseignant de mobiliser ces 4 piliers, favorisant ainsi un apprentissage efficace.

Au cycle 2 : - Réaliser que certains problèmes relèvent de situations additives, d’autres de situations multiplicatives, de partages ou de groupements. Au cycle 3 : - Reconnaître et distinguer des problèmes relevant de situations additives, multiplicatives, de proportionnalité.

Au cycle 2 : - Appréhender différents systèmes de représentations (dessins, schémas, arbres de calcul, etc.).- Utiliser des nombres pour représenter des quantités ou des grandeurs. Au cycle 3 : - Utiliser des outils pour représenter un problème : dessins, schémas, diagrammes, graphiques, écritures avec parenthésages, etc.- Produire et utiliser diverses représentations des fractions simples et des nombres décimaux.

Rendre opérationnelles certaines des recommandations du CNESCO (Centre National d‘Etude des systèmes Scolaires) En 2015, une conférence de consensus a publié un dossier de synthèse dans lequel figurent des grands principes et des recommandations (Nombres et opérations : premiers apprentissages à l’école primaire). La pratique du Trio permet de rendre opérationnels les principes et les recommandations suivants : Grands principes : 4. l’acquisition de faits numériques et d’automatismes est nécessaire ; 5. l’acquisition de procédures (ex : effectuer une soustraction) et leur compréhension sont complémentaires ; 6. les activités cognitives impliquées dans le calcul mental et par le calcul effectué par écrit (calcul posé) ne sont pas de même nature ; 8. l’utilisation de méthodes et de matériaux diversifiés est un moyen de répondre à la variété des cheminements d’apprentissage et de développement ; les textes de savoir (ce que les élèves ont à retenir) sont des moyens de rassembler et de synthétiser les processus individuels d’apprentissage et l’histoire collective de la classe. Recommandations générales : R1 - Les mathématiques doivent être présentées aux élèves comme des outils pour penser, résoudre des problèmes et faire face à des situations de la vie quotidienne. R7 - Lors de l’apprentissage des mots désignant les nombres, il importe de les associer à différentes représentations. R8 – Les pratiques régulières et variées de composition/décomposition de petites collections doivent être favorisées, car elles permettent de donner du sens aux nombres et d’approcher les notions d’addition et de soustraction. R14 - Bien qu’il existe des outils informatiques de calcul très performants, le calcul mental et le calcul posé doivent continuer à occuper une place importante dans l’enseignement des mathématiques. R17 - Le calcul mental et le calcul en ligne doivent être privilégiés par rapport au calcul posé. R18 - L’enseignement du calcul mental et du calcul en ligne doit être organisé selon une progressivité. R19 - L’enseignement du calcul mental et du calcul en ligne doit donner une place importante à la verbalisation par les élèves de leurs façons de faire, qu’elles soient correctes ou non. R21 - Les opérations sont introduites par la résolution de problèmes.

Mise en oeuvre

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Les séances de découverte

Au cycle 2 : - S’engager dans une démarche de résolution de problèmes en observant, en posant des questions, en manipulant, en expérimentant, en émettant des hypothèses, si besoin avec l’accompagnement du professeur après un temps de recherche autonome.- Tester, essayer plusieurs pistes proposées par soi-même, les autres élèves ou le professeur. Au cycle 3 : - Prélever et organiser les informations nécessaires à la résolution de problèmes à partir de supports variés : textes, tableaux, diagrammes, graphiques, dessins, schémas, etc.- S’engager dans une démarche, observer, questionner, manipuler, expérimenter, émettre des hypothèses, en mobilisant des outils ou des procédures mathématiques déjà rencontrées, en élaborant un raisonnement adapté à une situation nouvelle.- Tester, essayer plusieurs pistes de résolution.

La progression

Les séances longues pour échanger ses procédures

Les séances d'entraînement

Au cycle 2 : - Calculer avec des nombres entiers, mentalement ou à la main, de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies adaptées aux nombres en jeu.- Contrôler la vraisemblance de ses résultats. Au cycle 3 : - Calculer avec des nombres décimaux et des fractions simples de manière exacte ou approchée, en utilisant des stratégies ou des techniques appropriées (mentalement, en ligne, ou en posant les opérations).- Contrôler la vraisemblance de ses résultats.- Utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.

Des défis

Au cycle 2 : - Utiliser l’oral et l’écrit, le langage naturel puis quelques représentations et quelques symboles pour expliciter des démarches, argumenter des raisonnements. Au cycle 3 : - Utiliser progressivement un vocabulaire adéquat et/ou des notations adaptées pour décrire une situation, exposer une argumentation.- Expliquer sa démarche ou son raisonnement, comprendre les explications d’un autre et argumenter dans l’échange.

Les variables pour adapter

Eléments de progressivitépar niveau

Les outils pour les élèves

(extraits du programme, juin 2021 - Partie 4 - Acquérir les premiers outils mathématiques) 4.1. Découvrir les nombres et leur utilisation 4.1.1. objectifs visés et éléments de progressivité Les trois années de l’école maternelle sont nécessaires (...) en veillant à ce que les nombres travaillés soient composés et décomposés. La maîtrise de la décomposition des nombres est une condition nécessaire à la construction du nombre. Construire le nombre pour exprimer des quantités. La maîtrise de la décomposition des nombres est une condition nécessaire à la construction du nombre. Stabiliser la connaissance des petits nombres. Avoir stabilisé la connaissance d’un nombre, par exemple trois, c’est être capable de donner, montrer, ou prendre un, deux ou trois et composer et décomposer deux et trois. Entre deux et quatre ans, stabiliser la connaissance des petits nombres (jusqu’à cinq) demande des activités nombreuses et variées portant sur la décomposition et recomposition des petites quantités (trois c’est deux et encore un ; un et encore deux ; quatre c’est deux et encore deux ; trois et encore un ; un et encore trois), la reconnaissance et l’observation des constellations du dé, la reconnaissance et l’expression d’une quantité avec les doigts de la main, la correspondance terme à terme avec une collection de cardinal connu. Ultérieurement, au-delà de cinq, la même attention doit être portée à l’élaboration progressive des quantités.

Attention, accès aux fichiers long !

Ponctuellement, il est possible d'organiser des défis de Trio au sein de la classe, au sein de l'école, avec d'autres écoles ou avec le collège. On peut imaginer des modalités très différentes, par exemple : - donner une liste de nombres cibles très importante, à réaliser dans l'ordre ou pas, et laisser les élèves s'organiser sans aide pendant un temps donné pour trouver une ou plusieurs solution par nombre. Chaque bonne réponse peur rapporter des points et chaque réponse erronée peut être pénalisante ; - donner un nombre très restreint de nombres cibles. Un point ne pourra être marqué que lorsque 2, 3, 5 (à adapter) solutions différentes auront été trouvées pour chaque cible. - donner la suite des nombres cibles de zéro à n (à adapter selon le niveau des élèves). Les élèves doivent trouver une solution : - soit pour un maximum de nombres cibles de cette suite. Il est possible que certains nombres ne puissent pas être atteints, - soit pour un maximum de nombres cibles à réaliser dans l'ordre croissant en commençant par zéro. L'équipe qui gagne est soit celle qui est allée le plus loin ou celle qui déclare s'arrêter car le nombre cible recherché est impossible à atteindre, - sans grille, trouver l'intégralité des solutions possibles pour trouver un nombre cible, - et sans doute bien d'autres modalités possibles !

Les variablespour adapter

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Au cycle 1

Aux cycles 2 et 3

Attention, accès aux fichiers long !

Les outilspour les élèves

Pour structurerles savoirs

Pour rendre comptede sa recherche

Pour obtenirde l'aide

Pour rechercher

RetourLa mise en oeuvre

La différenciation peut se faire en laissant les élèves accéder à des documents de référence. Ainsi, les tables d'opérations par exemple (entendu au sens large, puisqu'on peut considérer qu'un affichage montrant la constitution de la constellation 3 comme résultat de l'addition des constellations 1 et 2 est déjà une forme de table d'opération). Dans ma classe de CM1 l'année dernière, j'ai permis à une élève au profil ULIS d'utiliser ses tables de multiplications individuelles et à sa table pour constituer des duos. Les autres élèves avaient interdiction d'utiliser leurs tables d'opérations individuelles, mais tous avaient l'autorisation d'aller chercher l'information sur un affichage, sur un mur de la classe. Cet affichage est écrit trop petit pour permettre une lecture depuis sa place. Le déplacement s'effectue les mains vides. Conséquence, il est coûteux en temps et en énergie d'aller chercher l'information, ce qui est dissuasif pour les élèves qui n'en ont pas réellement besoin et qui souhaitent juste conforter un résultat connu. L'intérêt est double : - obliger les élèves à avoir une stratégie de recherche parmi tous les résultats de tables affichés, - obliger les élèves à mémoriser le (ou les) résultat(s) recherché(s) entre l'affiche et leur table. Un document "pas à pas", éventuellement réalisé collectivement (en séance longue) peut être un outil d'aide pour les élèves qui sont en difficulté. Enfin, au cycle 3, la calculette peut aussi être une manière de vérifier des hypothèses et de valider une proposition.

Une affiche mobile peut être utilisée lors de la structuration, en cours et en fin de séance longue, afin de synthétiser les éléments à retenir de la séance. Cette affiche pourra être consultée ultérieurement au besoin par des élèves. Un logiciel de TNI permet de garder en mémoire l'ensemble de la trace écrite collective : la grille utilisée, les nombres cibles, les propositions des élèves avec leur codage, l'écriture mathématique correcte (ayant suivi une écriture mathématique incorrecte le cas échéant), les éléments à retenir. Cette mémoire non sélective a deux intérêts : - en début de séance suivante, le rappel de la séance enregistrée peut être activé par l'aspect visuel, en plus de l'aspect oral, - en cas de besoin, il est possible de revenir sur une situation qui précède et qui a été enregistrée. Là encore, l'aspect visuel vient renforcer l'évocation orale. Les éléments à retenir (les stratégies pertinentes selon la taille et les propriétés du nombre cible par exemple) peuvent être distribués aux élèves pour enrichir leur cahier de leçons, aide-mémoire...

Pour les plus jeunes, on peut penser à du matériel manipulable. Ce dernier peut lui-même constituer la grille (exemple : des playmobils dans des cases sur lesquelles sont dessinés leurs emplacements respectifs). Si des personnages sont dessinés dans une grille, on peut mettre à disposition une caisse avec des playmobils ou bien des jetons, des cubes (...) qui les représenteront et qui pourront être saisis, déplacés. Les élèves peuvent avoir recours à leurs doigts. Plus tard, les élèves peuvent disposer d'une grille individuelle (photocopiée par exemple). Glisser la photocopie dans une pochette plastique permet d'entourer directement les Trios au feutre ou au crayon d'ardoise. On peut permettre aux élèves de représenter (dessins) pour recomposer le nombre cible. On peut penser à une ardoise, des feuilles de brouillon, un cahier d'essai. L'ardoise a ceci d'intéressant que les élèves sont en général moins timorés pour effectuer leur recherche que sur un document papier dont le caractère permanent peut inhiber.

Avoir trouvé une ou des solutions possibles pour construire un nombre cible n'est pas suffisant. Il est nécessaire que les élèves puissent garder une trace de leurs propositions. Pour les plus jeunes et les grilles comportant des nombres représentés par du matériel (Duo), le fait de saisir le matériel et de le déplacer vers un endroit hors de la grille peut être une solution. Il est important que ce lieu comporte deux espaces contigus, chacun représentant une case. On peut imaginer des carrés évidés mobiles (de type passe-partout) qui peuvent être disposés comme dans la grille selon les solutions proposées. L'élève placerait alors des bouteilles de la grille dans ces carrés. Pour les grilles comportant des nombres dessinés, on peut imaginer deux ardoises servant à recopier les représentations des nombres si elles sont simples. Des passe-partout de la taille d'une case pourront être posés directement sur la grille. Pour les plus grands (Trio), on peut faire reporter sur brouillon ou ardoise les extraits de grille utiles, avec la position relative des nombres, comme ci-dessous. On peut leur demander également d'écrire librement leurs propositions. L'utilisation du code sera alors un élément à travailler par la suite, de manière à sensibiliser les élèves au fait que 6 x 6 = 36 + 1 = 37 est incorrect. Cette maîtrise du code est importante, mais elle n'est pas première. Si l'enseignant régule cette écriture incorrecte, il faut bien signifier à l'élève qu'on comprend le sens de ce qu'il a voulu communiquer, mais qu'il est préférable d'écrire ainsi : 6 x 6 = 36 et 36 + 1 = 37 (L'utilisation des parenthèses est une compétence qui relève de la classe de 6è.) Voici une proposition de document (en version éditable ou non) qui a pour but de permettre le recueil des propositions de chaque élève. La colonne "date" permet d'évaluer les progrès sur la durée. "Cible" rappelle le nombre recherché. "Cases 1-2-3" sont destinées à coder les cases de la grille utilisées comme dans une bataille navale. Cela permet de prouver que sa proposition est bien dans la grille. Les 2 cases "opérations" permettent d'éviter l'écueil de l'erreur de codage décrite plus haut. Enfin, la case "validation" est un des éléments qui peuvent susciter la motivation (auto-validation, validation d'un pair ou de la part de l'enseignant...) L'autre motivation pouvant être le nombre de lignes validées remplies.

Ressources

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Les outils numériques, les liens

Pour les cycles 2 et 3

Pour le cycle 1

Attention, accès aux fichiers long !

Il existe un Trio en ligne qu'il est possible de configurer pour jouer à une des variantes proposées. Cette page peut aussi servir pour capturer des grilles et générer des images jpeg pour les élèves. (Cliquer sur l'image pour ouvrir la vidéo de démonstration dans un nouvel onglet. Pour faire une capture d'écran partielle, de nombreux outils existent, dont le petit utilitaire knsnip. Voici un lien qui vous permettra d'installer et d'utiliser ce logiciel. Voici également un générateur de grilles 7 x 7 colorées. (qui ne permet pas de jouer en ligne).

Des documents de ressources utilisables en maternelle ont été conçus en complément d'un article publié dans Le Petit Vert (n°145), bulletin de l'APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public - de la maternelle à l'université) de Lorraine. Document 1 (6 pages) Document 2 (15 pages, comportant également des dominos, utilisables pour travailler les compléments à 5 et à 6). Un dossier comportant des fichiers modifiables téléchargeables pour élaborer des constellations, cibles, en vue des synthèses. Un document synthétique relatif aux apprentissages sur le nombre en maternelle et conçu par l'académie de Paris peut venir comme appui à la conception de ses séances. (https://www.ac-paris.fr/serail/jcms/s1_2531427/fr/quelques-reperes-concernant-les-apprentissages-sur-le-nombre-en-maternelle)

Des documents de ressources utilisables au cycle 2 ont été conçus en complément d'un article publié dans Le Petit Vert (n°145), bulletin de l'APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l'Enseignement Public - de la maternelle à l'université) de Lorraine. Document 1 (6 pages) Document 2 (15 pages, comportant également des dominos, utilisables pour travailler les compléments à 5 et à 6). On peut trouver des grilles en ligne ; Il est possible de les configurer partiellement (noir et blanc ou couleur; 7x7 ou 9x9, puis de les capturer pour les projeter et/ou les imprimer (voir dans la partie Les outils numériques, les liens). Voici un dossier où vous pourrez aller chercher divers types de grilles issues du site en lien ci-dessus. Les documents repères de progression en mathématiques, pour bâtir sa progression : Cycle 2 Cycle 3 Une proposition de document élève (éditable ou non) pour écrire les réponses (document décrit dans Mise en œuvre / Les outils pour les élèves / Pour rendre compte de sa recherche)

Mutualisation

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Les attendus

Vos retours(questionnaire et lien de dépôt)