DM seconde le nombre d or

DM : Le nombre d'or

START

I. Un peu d'histoire

Sommaire

II. Le rectangle d'Or

III. Equivalences des différentes définitions

IV. Votre oeuvre

I. Un peu d' histoire

Le nombre d’or est un nombre irrationnel tout comme √2. Nous le retrouvons dans de nombreux domaines comme l’architecture, la peinture, la musique, et même dans la nature, comme si elle cherchait à atteindre un idéal d’harmonie.

Le nombre d’or est un terme apparu au XXème siècle, introduit par Théodore Cook. Il désigne ce nombre par la lettre grecque φ que l’on appelle Phi en hommage au sculpteur grec Phidias (né vers 490 et mort vers 430 avant J.C) qui créa la façade du Parthénon à Athènes. De plus, il a sculpté la statue d’Athéna où est présent le nombre d’or. A l’origine le nombre d’or n’avait pas d’appellation spécifique. Fra Luca Pacioli lui donna pour nom “proportion divine” et Kepler “sectio divina”. Ces deux noms comportent le terme “divin” car ces deux hommes considéraient le nombre d’or comme un nombre unique comme Dieu.Le nombre d’or existe depuis la nuit des temps. En effet, il est présent pour les premières fois il y a 10 000 ans dans le temple d’Andros découvert sous la mer de Bahamas, 2 800 ans avant J.C dans la pyramide de Khéops et au Vème siècle avant J.C sur la façade du Parthénon de Phidias, bien avant sa découverte officielle. Euclide, le mathématicien, y fait aussi référence dans son traité de géométrie : les Éléments au IIIème siècle avant J.C avec cette définition : “ Une droite est dite être coupée en Extrême et Moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit ».

II. Le rectangle d'OR

1. Introduction On appelle nombre d’or le nombre noté φ (phi) égal à (1+√5)/2 (environ égal à 1,618).On appelle rectangle d’or un rectangle tel que le rapport des mesures de sa longueur L et de sa largeur l soit le nombre d’or, c’est-à-dire tel que son format vérifie L/l=φ.Le plus bel exemple d’utilisation architecturale du rectangle d’or est le Parthénon.

2. Activité: Tracer un rectangle d'Or

Construire un rectangle d’or en suivant les instructions suivantes : -Tracer un carré ABCD -Noter E le milieu de [AB] -Tracer un cercle C de centre E et de rayon [EC] -Prolonger [AB) jusqu’à ce qu’elle coupe le cercle -Noter F le point d’intersection de [AB) avec C -Tracer la droite perpendiculaire à [AF] en F -Prolonger [DC] jusqu’à ce qu’il coupe la perpendiculaire -Noter G le point d’intersection -Mesurer AF et AD -Calculer AF/AD

A vous

3. Prouver que AF/AD=

On note a le côté du carré initial.Donner les mesures des segments [EB] et [BC] en fonction de a.

A l’aide du théorème de Pythagore, déterminer EC. En déduire EF.

A vous

Déterminer la valeur exacte de AF/AD.

4. Du rectangle d'Or à la spirale d'Or

La construction précédente fait apparaître un rectangle BFGC qui est lui aussi un rectangle d’or.Tout rectangle d’or peut se décomposer en un carré et un rectangle d’or qui lui aussi peut se décomposer en un carré et un rectangle d’or. On peut renouveler cette construction autant de fois qu’on le veut. Un rectangle d’or peut donc être décomposé en une infinité de carrés tous différents. Dans ce tourbillon de carrés il est possible d’inscrire une spirale.

5. Le rectangle d'Or et la Joconde

La Joconde ou Mona Lisa est un des portraits les plus emblématiques de l’histoire de la peinture. Il a été peint par Léonard de Vinci au XVIe siècle. Si nous traçons un rectangle autour du visage de la Joconde, nous obtenons un rectangle de 13 cm sur 21 cm en taille réelle.Or si nous faisons le rapport entre 21 et 13 nous trouverons : 21 / 13 = 1,61 soit le Nombre d’Or.

6. Etes-vous mathématiquement beau ?

Une personne est considérée comme belle « mathématiquement » si les rapports suivants de son visage respectent le nombre d’or :- La longueur du visage / la largeur du visage- La longueur de la bouche / la largeur du nez- La distance entre les pupilles / la distance entre les sourcils

Indiquer vos mesures et calculs La longueur du visage / la largeur du visageLa longueur de la bouche / la largeur du nezLa distance entre les pupilles / la distance entre les sourcilsConclure :

A vous

III. Equivalences des différentes définitions du nombre d'or

1. Quelques définitions

2. Résolution

A vous : un peu de maths

3. Quelques égalités avec le nombre d'Or

A vous : un peu de maths

Sous-titre

IV. Le nombre d'Or à travers votre oeuvre

De nombreux artistes utilisent le nombre d'Or pour construire leurs oeuvres: Par exemple: Jaune-rouge-bleu de Vassily Kandinski en 1925

A la façon de Kandinski, créez votre propre oeuvre en utilisant et en mettant en évidence le rectangle d'Or

A vous

Bravo!