Anualidades

Unidad 2. Anualidades, amortización y tablas de amortización

Matemáticas FinancierasMtro. Juan Diego Canul Chalé

Contenido

Definición y clasificaciones de la Anualidad

Rentas equivalentes

Monto de una anualidad anticipada

Anualidad Diferida

11

Valor presente de las anualidades ordinarias

Perpetuidades

Definición y clasificaciones de la Anualidad

Aunque literalmente la palabra anualidad indica periodos anuales, no necesariamente los pagos se realizan cada año, sino que su frecuencia puede ser cualquiera otra: mensual, semanal, semestral o diaria, como se verá en este capítulo, pero antes, es necesario formular algunas definiciones importantes relacionadas con el tema.

Anualidad

Es una sucesión de pagos generalmente iguales que se realizan a intervalos de tiempo iguales y con interés compuesto.

Renta de la anualidad

valor al inicio y al final

Intervalo de pago

Es el pago periódico y se expresa con R.

El valor equivalente a las rentas al inicio del plazo se conoce como capital o valor presente C. Su valor al final del plazo es el valor futuro o monto de la anualidad, que se expresa con M.

Es el tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, y el plazo de la anualidad es el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del último.

Ejemplo 1

Elementos de una anualidad

Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $6,500 por mes, entonces: El plazo es de un año, la renta es R = $6,500 y el intervalo de pago es un mes. Además, si el inquilino decide pagar por adelantado en la firma del contrato el equivalente a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de los intereses que devenga el dinero anticipado, recibirá un capital menor a los $78,000 que obtendría durante el año. Este capital es el valor presente o valor actual de la anualidad. Si al contrario, al recibir cada pago mensual, el propietario lo deposita en un banco que reditúa un interés compuesto, entonces el dinero que al final del año tendrá en la institución bancaria será mayor a los $78,000 y eso será el monto o valor futuro de la anualidad.

Clasificación de las anualidades

Genéricamente la frecuencia de pagos coincide con la frecuencia de capitalización de intereses, pero es posible que no coincida. Quizá también la renta se haga al inicio de cada periodo o al final; o que la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendo de éstas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera:

Según las fechas inicial y terminal del plazo

Anualidad cierta: cuando se estipulan, es decir, se conocen las fechas extremas del plazo. En un crédito automotriz, por ejemplo, se establecen desde la compra el pago del anticipo y el número de mensualidades en las que se liquidará el precio del automóvil.Anualidad eventual o contingente: cuando no se conoce al menos una de las fechas extremas del plazo. Un ejemplo de este tipo de anualidades es la pensión mensual que de parte del Seguro Social recibe un empleado jubilado, donde la pensión se suspende o cambia de magnitud al fallecer el empleado.

Según los pagos

Anualidad anticipada: cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo. Un ejemplo de este tipo se presenta cuando se deposita cada mes un capital, en una cuenta bancaria comenzando desde la apertura.Anualidad ordinaria o vencida: cuando los pagos se realizan al final de cada periodo. Un ejemplo es la amortización de un crédito, donde la primera mensualidad se hace al terminar elprimer periodo.

De acuerdo con la primera renta

Anualidad inmediata: cuando los pagos se hacen desde el primer periodo. Un ejemplo de esta categoría se presenta en la compra de un departamento, donde el anticipo se paga en abonos comenzando el día de la compra.Anualidad diferida: cuando el primer pago no se realiza en el primer periodo, sino después. El ejemplo típico de este caso se relaciona con las ventas a crédito del tipo “compre ahora y pague después”, que es un atractivo sistema comercial que permite hacer el primer abono dos o más periodos después de la compra.

Otro tipo de anualidades es la perpetuidad o anualidad perpetua, la cual se caracteriza porque los pagos se realizan por tiempo ilimitado. La beca mensual, determinada por los intereses que genera un capital donado por personas, o instituciones filantrópicas, es un claro ejemplo de estas anualidades.

Diagramas de tiempo

Para decidir con acierto cómo plantear o a qué clase de anualidad corresponde o se ajusta una situación particular, se sugiere considerar lo siguiente antes de entrar en detalles del tema. En vez de la recta horizontal que hasta ahora hemos utilizado para los diagramas de tiempo, utilizaremos rectángulos que representan los periodos, y en cada uno en su extremo derecho o izquierdo se grafican flechas verticales indicando la renta o pago de la anualidad, utilizando, claro, puntos suspensivos para representarlos a todos sin tener que graficarlos.

Si una persona deposita, digamos, $3,000 cada mes durante siete meses, entonces una gráfica será la figura 5.1, donde los depósitos están al final de cada periodo, y el monto que se acumula está al final del último rectángulo.

En esta gráfica se aprecian dos puntos importantes.

• El plazo real no es de 7 meses sino solamente de 6, ya que el primer mes no interviene, salvo que el trato se haya realizado al inicio; en la práctica, lo más común es que el primer depósito se realice al comenzar el plazo.
• En el momento en que se retira el monto acumulado de los anteriores, se realiza el último depósito. Esto no tiene razón de ser ya que este pago no se incluiría.

En consecuencia, cuando de la sucesión de rentas se requiera el monto, éstas deberán considerarse al inicio de cada periodo, siendo el diagrama apropiado el de la figura 5.2, donde las flechas horizontales indican que cada renta se traslada en el tiempo hasta el final del plazo, sumando los intereses de cada una y sumándolas todas.

Contrariamente, si de las rentas se requiere el valor presente al comenzar el plazo, entonces éstas deberán ubicarse al final de cada periodo, como se aprecia en la figura 5.3.

Esto significa que al no especificarse lo contrario las anualidades anticipadas se asociarán con el valor futuro al término del plazo, mientras que las ordinarias serán asociadas con su valor presente al comenzar el plazo; es decir,

Por supuesto que lo anterior no es una regla y, como se estudiará después, en muchas ocasiones el monto se relaciona con rentas vencidas; y el valor presente, con una serie de rentas anticipadas.Por otro lado, como se aprecia en las figuras 5.4 y 5.5, cada renta hará las veces de capital al considerar el monto de la anualidad, y será un monto cuando se trate del valor presente.

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Actividad 1

Monto de una anualidad anticipada

El monto acumulado de np depósitos anticipados en las anualidades simples y ciertas es: donde R es el pago periódico, n es el plazo en años, e i es la tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año.

Ejemplo

Obtenga el monto que se acumula en 2 años, si se depositan $1,500 al inicio de cada mes en un banco que abona una tasa del 24% anual capitalizable por mes.

Solución:

Diagrama:

Ejemplo 2

Plazo en inversiones

¿En cuánto tiempo se acumulan $40,000 en una cuenta bancaria que paga intereses del 8.06% anual capitalizable por semana, si se depositan $2,650 al inicio de cada semana?

Solución:

Ejemplo 3

Monto en cuenta de ahorros e intereses

¿Cuánto se acumula en una cuenta de ahorros con 32 pagos quincenales de $625 cada uno, si la tasa de interés nominal quincenal en los primeros 5 meses es del 22.32%, y después aumenta 2.4 puntos porcentuales por año cada trimestre? ¿Cuánto se genera por concepto de intereses?

Solución:

a) El ejercicio se resuelve considerando cuatro anualidades de 10, 8, 8 y 6 rentas quincenales cada una, como se ilustra en la figura:

Valor presente de las anualidades ordinarias

Estas anualidades se caracterizan porque los pagos se realizan al final de cada periodo, razón por la cual se conocen también como anualidades vencidas. Lo más común, como se dijo antes, es asociar las rentas con su valor equivalente al comenzar el plazo, es decir, con su valor presente C que se obtiene con la fórmula que se desarrolla en el primer ejemplo de esta sección.Las aplicaciones más comunes de estas anualidades se refieren a la amortización de deudas, como créditos hipotecarios, automotrices o cualquier otro que se liquida con pagos periódicos y cargos de interés compuesto.

El valor presente C de una anualidad vencida, simple, cierta e inmediata está dado por: donde: R es la renta por periodo. i es la tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año. p es la frecuencia de conversión de intereses y de pagos, y n es el plazo en años.

Ejemplo

Valor presente de un seguro de vida

La beneficiaria de un seguro de vida recibiría $3,100 mensuales durante 10 años, aunque prefiere que le den el equivalente total al inicio del plazo. ¿Cuánto le darán si el dinero reditúa en promedio el 19.35% anual compuesto por mes?

Solución:

Ejemplo

Plazo en la compra de un tractor

¿Cuántos abonos bimestrales vencidos de $40,000 son necesarios para pagar el precio de un tractor, que se compró con un anticipo y un crédito de $350,000? Suponga intereses de13.8% capita1izab1e por bimestre.

Solución:

Anualidad general

Como se dijo anteriormente, una anualidad es general si los pagos se realizan en periodos distintos a la frecuencia con que los intereses se capitalizan. Un método de solución consiste en transformar la anualidad general en simple, utilizando la tasa de interés equivalente, como se aprecia en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Toma de decisiones al vender un camión

El dueño de un camión de volteo tiene las siguientes opciones para vender su unidad: a) Un cliente puede pagarle $300,000 de contado. b) Otro le ofrece $100,000 de contado y 7 mensualidades de $30,000 cada una. c) Un tercero le ofrece $63,000 de contado y 20 abonos quincenales de $12,500 cada uno. Determine cuál le conviene más, si sabe que el dinero reditúa el 9.6% de interés anual capitalizable por quincena.

Solución:

Rentas equivalentes

Si bien es cierto que al comenzar esta unidad se dijo que cuando las rentas son vencidas se asocian con su capital o valor presente al comenzar el plazo, y que cuando son anticipadas se relacionarían, es decir, se hallaría su monto o valor acumulado al final del plazo, hay situaciones en la cuales los pagos anticipados se asocian con el capital y los vencidos con su monto.El caso más notorio se da cuando, por ejemplo, un conjunto de pagos periódicos se reemplaza por otro que es equivalente; esto es, que tiene los mismos efectos pero con diferente frecuencia, dando lugar a lo que se conoce como rentas equivalentes, que vamos a definir.

El valor presente C de una anualidad anticipada, simple y cierta está dado por: donde: R es la renta, i es la tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año n es el plazo en años np es el número total de rentas e i/p es la tasa de interés por periodo

Ejemplo 1Renta semestral equivalente a una renta mensual

¿Qué renta semestral anticipada sustituye a los pagos mensuales anticipados de $500 con intereses del 15% anual compuesto por mes?

Ejemplo 2Pago anticipado por renta de vivienda

El señor Cortés viene del extranjero a vacacionar y antes de su regreso paga la renta mensual anticipada por dos años de la vivienda que habitan sus familiares. ¿De cuánto es su pago si la mensualidad es de $4,750 y el dinero reditúa el 12.60% de interés nominal mensual?

El valor futuro M de una anualidad vencida u ordinaria, simple y cierta está dado por: donde, como antes, R es la renta, i es la tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año, y np es el número de rentas.

Rentas vencidas

Ejemplo 3

Renta semestral equivalente a renta mensual

¿Cuál es la renta semestral vencida equivalente a $2,400 mensuales vencidos con intereses del 21.6% anual capitalizable por mes?

Solución:

Ejemplo 4

Ahorro con rentas equivalentes

Si con 5 pagos de $24,500 al final de cada trimestre, con intereses del 14% efectivo, se amortiza un crédito, ¿cuánto dinero se ahorra el deudor si lo amortiza con abonos semanales vencidos equivalentes en el mismo plazo?

Solución:

IMPORTANTE!!

Si bien es cierto que dos conjuntos de rentas equivalentes producen los mismos efectos, esto no debe confundirse con que generan los mismos intereses, ya que como se observa con el ejemplo 4, el total que se carga por intereses, en las dos maneras con las que se amortiza la supuesta deuda, es diferente y esto no deja de ser lógico porque al recibir el acreedor los abonos cada semana, recibirá en total menos dinero que si se espera para recibirlo hasta el final del trimestre. Es evidente y es razonable que también el deudor pague menos al adelantar sus pagos.

Ejemplo 5

Cargo con intereses moratorios

María adquirió un refrigerador que está pagando con 20 abonos quincenales de $650 e intereses del 12.48% anual capitalizable por quincena. Luego de 3 pagos, se retrasa con 5 y se pone al corriente al hacer el noveno. a) ¿A cuánto equivale este pago si adicionalmente se cargan intereses moratorios del 0.9% quincenal compuesto por quincena? b) Halle los intereses.

Solución:

Anualidad general

El siguiente ejemplo se refiere a las anualidades generales, las cuales se caracterizan, se dijo, porque no coincide el intervalo de pago con la frecuencia de capitalización de intereses. Lo primero es hacerlos coincidir utilizando tasas equivalentes, tomando en cuenta que en las fórmulas debe utilizarse la que se capitaliza con mayor frecuencia, es decir, la menor de las dos equivalentes.

Ejemplo 6

Cambio de rentas bimestrales por quincenales en el pago de un terreno

El señor Anaya compra el terreno para su casa con un anticipo, una hipoteca de 30 abonos bimestrales anticipados de $6,250 cada uno y una tasa de interés del 13.2% capitalizable por bimestre. Poco antes de hacer el séptimo, decide amortizar el resto con pagos quincenales equivalentes. ¿De cuánto es cada uno?

Solución:

Anualidad diferida

Estas anualidades se caracterizan porque la primera renta no se ejecuta en el primer periodo o la última no se hace en el último. El procedimiento para evaluar sus elementos es muy simple, ya que se resuelven como inmediatas utilizando las fórmulas anteriores, para después trasladar en el tiempo el monto o el capital, utilizando la fórmula del interés compuesto, como se aprecia en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Renta quincenal en anualidad diferida

Aerocaribe ofrece la promoción “Viaje ahora y pague después”, que consiste en liquidar el precio del pasaje en 10 quincenas, empezando 3 meses después de haber viajado. ¿Cuánto pagará el licenciado José Luis, si el precio de sus boletos fue de $8,320 y le cargan el 11.76% de interés anual compuesto por quincena?

Solución:

Ejemplo 2

Precio de equipo de cómputo, anualidad diferida

La Facultad de Ingeniería adquiere un equipo de cómputo con un pago inicial de $70,000 y 7 mensualidades de $25,000 cada una, pagando la primera 4 meses después de la compra. ¿Cuál es el precio del equipo, si se están cobrando intereses del 13.08% anual compuesto por mes?

Solución:

Ejemplo 3

Mensualidades en la compra de un departamento (Tasa variable de interés)

Se compra un departamento de $460,000, con un anticipo del 30% pagadero en 6 mensualidades que incluye un “apartado” de $30,000. El 70% restante se pagará con 114 abonos mensuales, luego de pagar el anticipo. Obtenga el valor de los abonos, suponiendo que el interés es del 10.08% nominal mensual en el anticipo y del 8.16% en los restantes.

Solución:

Ejemplo 4

Anualidad general

La mueblería Hernández ofrece un minicomponente con reproductor de discos MP3 con 30 abonos semanales de $198 e intereses del 14.75% nominal mensual, y el atractivo de hacer el primero hasta 4 meses después de la compra. ¿Cuál es el precio de contado del aparato?

Solución:

Perpetuidades

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Una perpetuidad es, se dijo, una anualidad donde la renta se mantiene fija, o variable, pero por tiempo ilimitado, y esto crea la necesidad de que el capital que la produce nunca se agote, a diferencia de las otras anualidades donde el capital al final del plazo queda siempre en ceros. La renta periódica, por lo tanto, deberá ser menor o igual a los intereses que genera el capital correspondiente; y por esto nunca debe estar por arriba del resultado que se obtiene al multiplicar el capital C por i, la tasa de interés por periodo. Como esta tasa puede variar, la renta también, pero para efectos prácticos, desde el punto de vista operativo, se considera fija durante por lo menos un periodo anual. Puede probarse, además, que si la renta es menor que los intereses del periodo, los resultados varían muy poco y por eso no se considera el caso.

También es cierto que en este tipo de anualidades, no se da tiempo a que los intereses se capitalicen, y por eso es indiferente que la tasa de intereses sea simple o compuesta, aunque para facilitar las operaciones se considera simple, tomando en cuenta que la frecuencia de conversión o de capitalización de intereses coincide con la frecuencia de pagos.

Ejemplo 1

Inversión para una beca trimestral

Con el producto de sus ventas, la Lotería Nacional instituye una beca trimestral de $20,500. ¿De cuánto debe ser el capital a invertir a la tasa de interés del 12% compuesto por trimestre?

Solución:

Ejemplo 2

Capital necesario para una renta perpetua

¿Cuál es el capital que debe depositarse en un banco que bonifica el 10.02% nominal mensual, para disponer de $15,000 mensuales por tiempo ilimitado?

Solución:

Ejemplo 4

Anualidad general

¿Cuánto debe depositar ahora el señor Paredes, para disponer de $9,000 cada quincena, comenzando dentro de tres años y suponiendo que para entonces la tasa de interés seguirá siendo del 13% efectivo?

Solución:

Videos

Referencias Bibliográficas

José Luis Villalobos, 2012. Matemáticas financieras.

VS

Héctor M. Vidaurri Aguirre, 2012. Matemáticas financieras.

Alfredo Díaz Mata, 2013. Matemáticas financieras.

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