4.5 RADIO DE CONVERGENCIA Y 4.6 SERIE DE TAYLOR

Ingenieria quimica

Calculo integral

2IQ21

• CHICO ELIZALDE BRANDOM JESUS
• JIMENEZ LOPEZ FRANCISCO
• PACHECO FLORES LIZBETH

Equipo 11

4.5 RADIO DE CONVERGENCIA

4.6 SERIE DE TAYLOR

4.5

RADIO DE CONVERGENCIA

El radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del círculo de convergencia al cual la serie converge. Dicho círculo se extiende desde el valor que anula la base de las potencias hasta la singularidad más cercana de la función asociada a la serie.

Toda función analítica f(z) tiene asociada una serie de potencias en torno un punto no singular, denominada serie de Taylor

La gráfica muestra la serie de potencias en torno al valor a=1 para la función f(x). Su radio de convergencia es r=2

Fuera de esa región la serie diverge, es decir toma valores infinitos. Cuando el radio de convergencia es infinito, entonces la serie converge en todo el plano complejo.

Donde a es el centro del círculo de convergencia, z la variable independiente de la función y los cn son coeficientes relacionados con las derivadas de la función f en el punto z=a. El radio de convergencia r es un número real positivo que define la región: |z – a| < r Donde la serie converge.

¿Cómo se determina el radio de convergencia?

En forma matemática se expresaría:

Para que una serie sea convergente es necesario que el valor absoluto de los términos sucesivos vaya en disminución cuando el número de términos sea muy grande.

Usando las propiedades de los límites en la expresión anterior se obtiene:

r es el radio de convergencia y |z – a| < r es el círculo de frontera abierta en el plano complejo donde la serie converge. En caso que el valor a y la variable z sean números reales, entonces el intervalo abierto de convergencia sobre el eje real será: (a – r, a+r).

4.6

SERIE DE TAYLOR

definicion de serie de taylor

Suponga que f ( x ) es una función, y que todas las derivadas f ' , f' ' , f' '' , etc. existen en x = a . Entonces la serie de Taylor de f ( x ) es la serie de potencias

en notación sumatoria

Las sumas parciales de la serie de Taylor son llamadas polinomios de Taylor . Estas pueden ser usadas para aproximar la función en la vecindad de x = a .

¿Para qué sirve?

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto. Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.

En matemáticas, la serie de Taylor de una función f(x) infinitamente derivable (real o compleja) definida en un intervalo abierto (a-r, a+r) se define con la siguiente suma

sin(x) y aproximaciones de Taylor centradas en 0, con polinomios de grado 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.

Aquí, n! es el factorial n y f (n) (a) indica la n-ésima derivada de f en el punto a.

Analitica

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r) y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica.

Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la fórmula de la serie de Taylor.

serie de maclaurin

Si a = 0, a la serie se le llama serie de Maclaurin.

• Esta representación tiene tres ventajas importantes: La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales.
• Se puede utilizar para calcular valores aproximados de la función.
• Es posible demostrar que, si es viable la transformación de una función a una serie de Taylor, es la óptima aproximación posible.

¡GRACIAS!