Sistema de ecuaciones por Cramer

Sistema de ecuaciones

REGLA DE CRAMER

Índice

Determinante de la matriz asociada a x

Gabriel Cramer

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Determinante de la matriz asociada a y

Regla de Cramer

Determinante de la matriz asociada a z

Sistema de ecuaciones

Determinantes

Ejemplo

Gabriel Cramer

Gabriel Cramer, nacido en Ginebra (Suiza) en 1704, fue un matemático precoz que obtuvo el doctorado a los 18 años de edad. Fue profesor y catedrático de la Universidad de Ginebra y entre sus obras destaca Introducción al Análisis de las curvas algebraicas (1750), donde clasifica las curvas según el grado de las ecuaciones. Es en esta obra donde reintroduce el concepto de determinantes de Leibniz (1646) y presenta el teorema ahora conocido, en su honor, como Regla de Cramer.

Regla de Cramer

El método Cramer es una manera de resolver un sistema lineal,solo se aplicará a sistemas que tengan solución única y que además sean sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas. El método consiste en una aplicación similar al método de los determinantes ya analizado cuando se resolvieron sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Dado el sistema general:

Al aplicar el método para el sistema debemos plantear los siguientes determinantes:

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Todos los sistemas de Cramer son compatibles determinados. El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo el determinante de la matriz asociada a dicha incógnita por la matriz del sistema.

En primer lugar debemos hallar la matriz ampliada, la cual está asociada al sistema de ecuaciones.

Matriz de los coeficientes de las incógnitas

Determinante de la matriz asociada a dicha incógnita (x, y , z)

Obviamente para que el sistema tenga solución debemos pedir que: ∆ ≠ 0. Los determinantes para utilizar son:

Determinante de z

Determinante de x

Determinante de y

Ver

Ver

Ver

Pero y cómo se encuentra los coeficientes de cada incógnita?

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Luego de realizado esto podemos proceder a calcular el determinante de A.

Título aquí

Aplicamos luego la regla de Cramer que consiste en primer lugar en ir sustituyendo la primera columna del det(A) por los términos independientes

Título aquí

Luego se dividen los resultados de dicho determinante entre el det (A) para hallar así el valor de la incógnita primera

Título aquí

Si continuamos sustituyendo los términos independientes en las diferentes columnas terminaremos hallando la segunda incógnitas.

Y por último se realiza el mismo procedimiento con la última incógnita.

Ejemplo

Completando los coeficientes de las incógnitas que faltan con ceros.

VS

Ejemplo

Se encuentra la matríz ampliada

Se calcula el determinante de A

Conjunto solución

Luego

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