Demostración de la fórmula resolvente (3er año)

Demostración

Fórmula REsolvente

¿Cómo se obtiene?

¿Cómo hacemos?

¿Cómo calculamos las raíces si la función está dada de forma polinómica?

f(x) = ax² + bx + c

Es decir, ¿cómo resolvemos una ecuación de tipo ax² + bx + c = 0 ?

Vimos que todas las funciones cuadráticas tienen vértice, tengan o no raíces reales. Es decir, todas las funciones cuadráticas se pueden expresar de forma canónica:

f(x) = a(x - xv)² + yv

Tomando esto en cuenta, podemos afirmar que la forma polinómica de cualquier función es equivalente a su forma canónica. Es decir:

f(x) = ax² + bx + c

= f(x) = a(x - xv)² + yv

Sigamos...

Si desarrollamos la forma canónica (es decir, aplicamos propiedad distributiva doble) obtenemos:

f(x) = ax² + bx + c

= f(x) = a(x - xv)² + yv

= f(x) = a(x - xv)(x - xv) + yv

= f(x) = a(x² - 2.xv .x+ xv²) + yv

f(x) = ax² + bx + c

= f(x) = ax² - 2a.xv .x+ a.xv² + yv

Como ambas formas son iguales, si igualamos los coeficientes, también deben ser iguales.

Los términos cuadráticos (ax²) son exactamente iguales, así que los coeficientes lineales también deben serlo:

b = - 2a.xv

Si despejamos xv, obtenemos una fórmula muy conocida para calcular el eje de simetría sin depender de las raíces:

-b

xv =

2a

Un poco más...

En el paso anterior, obtuvimos:

f(x) = ax² + bx + c

= f(x) = ax² - 2a.xv .x + a.xv² + yv

xv =

-b

2a

Ahora, igualemos los términos independientes, como hicimos con los coeficientes lineales:

c = a.xv ² + yv

Si reemplazamos por la expresión que obtuvimos para xv , nos queda:

Deduzcamos la expresión de yv , despejando:

¡Juntamos todo!

Recordemos la forma canónica, y las expresiones para las coordenadas del vértice que obtuvimos en los pasos anteriores:

xv =

-b

2a

f(x) = a(x - xv)² + yv

Si reemplazamos las expresiones que obtuvimos para xv e yv en la forma canónica, obtenemos:

Ahora sí, después de haber hecho este trabajo algebraico, podemos plantear f(x) = 0, y resolver la ecuación, despejando x:

¡Listo!

Si acomodamos los términos, nos queda:

A esta fórmula se la conoce como fórmula resolvente de la ecuación de segundo grado. También como "fórmula de Bhaskara"

La superposición de los signos ± de la fórmula indica la posibilidad de obtener dos soluciones: una, usando el signo +, y otra, usando el signo -.

¡Seguimos aprendiendo!