mcm y mcd

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor.

By ¡Muchas mates!... y más.

Índice

Qué son múltiplos y divisores

Qué es el máximo común divisor

Qué es el mínimo común múltiplo

Calcular el máximo común divisor

Calcular el mínimo común múltiplo

Usar el máximo común divisor

Usar el mínimo común múltiplo

Mínimo común múltiplo.

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Mínimo común múltiplo.

El mínimo común múltiplo (m.c.m) de varios números es el múltiplo común (es decir, es múltiplo de todos) y además es el más pequeño de todos los múltiplos comunes (sin contar el 0).

Por ejemplo:

Múltiplos de 3 m(3)= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...

Múltiplos de 4 m(4)= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 ...

Por ejemplo:

Múltiplos de 3 m(3)= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...

Fíjate en los números que aparecen repetidos en las dos listas de múltiplos.

Múltiplos de 4 m(4)= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 ...

Por ejemplo:

Múltiplos de 3 m(3)= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...

Son el 12 y el 24.

Múltiplos de 4 m(4)= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 ...

Por ejemplo:

Múltiplos de 3 m(3)= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...

El 12 es el más pequeño de los dos múltiplos que se repiten.

Múltiplos de 4 m(4)= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 ...

Por ejemplo:

Múltiplos de 3 m(3)= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...

Por eso, 12 es el mínimo común múltiplo de 3 y de 4.

Múltiplos de 4 m(4)= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 ...

Por ejemplo:

Múltiplos de 3 m(3)= 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27...

Y lo escribimos así: mcm(3,4)=12

Múltiplos de 4 m(4)= 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 ...

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Calcular el m.c.m.

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Calcular el mínimo común múltiplo

El m.c.m. se puede calcular de dos formas:

Una es la que has visto en las páginas anteriores. Calculamos los múltiplos, vemos los comunes y cogemos el más pequeño.

(si quieres ver de nuevo cómo se hace, retrocede haciendo clic en este botón )

Calcular el mínimo común múltiplo

La otra forma es usar la descomposición factorial.

Para ver cómo se hace una descomposición factorial haz clic en este botón.

Si ya sabes hacerlo, pasa a la siguiente página.

Calcular el mínimo común múltiplo

Calculamos el m.c.m. de 8 y de 36.

Para ello descomponemos 8 y 36 en factores primos.

Calcular el mínimo común múltiplo

8 = 2 x2 x2 = 2

36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 3

Ahora cogemos todos los factores primos que aparecen con el exponente que tengan. Si el factor está en los dos números, elegimos el del exponente mayor.

Calcular el mínimo común múltiplo

8 = 2 x2 x2 = 2

36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 3

Los factores que aparecen son 2 y 3. Seleccionamos los que tengan mayor exponente. El m.c.m. de 8 y 36 será el producto de esos factores.

Calcular el mínimo común múltiplo

8 = 2 x2 x2 = 2

36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 3

m.c.m. (8,36)= 2 x 3 = 8 x 9 = 72

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Usar el Mínimo común múltiplo.

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Yo voy de pesca cada 5 días.

Pues yo recojo plantas cada 4 días.

Entonces... ¿cada cuántos días coincide que vais a pescar o a recoger plantas?

Fácil, fácil... Calcula el mínimo común múltiplo de 4 y 5, que es cada cuánto tiempo salimos cada uno y habrás encontrado la solución.

Yo salgo cada 4 días, así que saldré también dentro de 8, 12, 16, 20 y 24... Lo apunto.

A por plantas dentro de 4, 8, 12, 16, 20 y 24... días.

Yo salgo a pescar cada 5 días, así que saldré también dentro de 10, 15, 20 y 25... Lo apunto.

A por plantas dentro de 4, 8, 12, 16, 20 y 24... días.

A pescar dentro de 5, 10, 15, 20 y 25... días.

Pues nos fijamos en el primer múltiplo común de 4 y 5, que es el 20.

A por plantas dentro de 4, 8, 12, 16, 20 y 24... días.

A pescar dentro de 5, 10, 15, 20 y 25... días.

El mínimo común múltiplo de 4 y 5 nos dirá cuándo coinciden los dos.

A por plantas dentro de 4, 8, 12, 16, 20 y 24... días.

A pescar dentro de 5, 10, 15, 20 y 25... días.

Así que los dos coinciden cada 20 días en la realización de sus tareas.

m.c.m. (4,5)=20

Tengo que regar el trigo cada 8 días y cambiar a los animales de pradera cada 12 días.

¿Cada cuánto tiempo tendré que realizar las dos tareas en el mismo día?

Fácil, fácil... Calcula el mínimo común múltiplo de 8 y 12 y habrás resuelto el problema.

A ver... si descompongo 8 en factores primos me queda esto...

8 = 2X2X2 = 2

Y si descompongo 12 en factores primos me queda esto...

8 = 2X2X2 = 2

12 = 2X2X3 = 2x3

Multiplico todos los factores que aparecen, que son el 2 y el 3, pero si se repiten cojo el de mayor exponente.

8 = 2X2X2 = 2

12 = 2X2X3 = 2x3

2 x 3 = 24

como el m.c.m. de 8 y 12 es 24, ya sé que cada 24 días tendré que hacer las dos tareas.

m.c.m. (8,12)=24

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Máximo común divisor

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Máximo común divisor.

El máximo común divisor de varios números es el divisor común (es decir, es divisor de todos) y además es el más grande de todos los divisores comunes.

Por ejemplo:

Divisores de 24 d(24)= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Divisores de 36 d(36)= 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Por ejemplo:

Divisores de 24 d(24)= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Fíjate en los números que aparecen repetidos en las dos listas de divisores.

Divisores de 36 d(36)= 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Por ejemplo:

Divisores de 24 d(24)= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Son el 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Divisores de 36 d(36)= 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Por ejemplo:

Divisores de 24 d(24)= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

El 12 es el más grande de todos los divisores que se repiten.

Divisores de 36 d(36)= 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Por ejemplo:

Divisores de 24 d(24)= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Por eso, 12 es el máximo común divisor de 3 y de 4.

Divisores de 36 d(36)= 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Por ejemplo:

Divisores de 24 d(24)= 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Y lo escribimos así: mcd(24,36)=12

Divisores de 36 d(36)= 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

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Calcular el m.c.d.

Calcular el máximo común denominador

El m.c.d. se puede calcular de dos formas:

Una es la que has visto en las páginas anteriores. Calculamos los divisores, vemos los comunes y cogemos el más grande.

(si quieres ver de nuevo cómo se hace, retrocede haciendo clic en este botón )

Calcular el máximo común denominador

La otra forma es usar la descomposición factorial.

Para ver cómo se hace una descomposición factorial haz clic en este botón.

Si ya sabes hacerlo, pasa a la siguiente página.

Calcular el máximo común denominador

Calculamos el m.c.d de 120 y de 36.

Para ello descomponemos 120 y 36 en factores primos.

Calcular el máximo común denominador

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5

36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 3

Ahora cogemos todos los factores primos que aparecen a la vez en los dos números. Elegimos el que tenga un exponente menor.

Calcular el máximo común denominador

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5

36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 3

Los factores que aparecen a la vez en los dos números son el 2 y el 3. Cogemos los que tienen el exponente menor.

Calcular el máximo común denominador

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5

36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 3

El máximo común divisor será el producto de esos factores.

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Calcular el máximo común denominador

120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 2 x 3 x 5

36 = 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 3

m.c.d. (120,36)= 2 x 3 = 4 x 3 = 12

Usar el Máximo común divisor

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Tengo un rebaño con 12 ovejas y una manada de 18 mamuts.

Para llevármelos a otro poblado, quiero hacerlo en grupos de la misma cantidad de animales.

Pero no puedo mezclarlos porque entre ellos no se llevan bien.

Si hago los grupos lo más grande posible, acabaré antes... pero no puedo mezclarlos y quiero que todos los grupos sean iguales... ¿Cómo lo hago?

Fácil, fácil... Calcula el máximo común divisor de las dos cantidades de animales y habrás encontrado la solución.

A ver si es verdad... Tengo que calcular el máximo común divisor de 12 ovejas y 18 mamuts.

Las 12 ovejas las puedo dividir en grupos iguales de 2, 3, 4, 6 y 12 ovejas. Me lo apunto.

OVEJAS: GRUPOS DE 2, 3, 4, 6 y 12

LOs 18 mamuts los puedo dividir en grupos iguales de 2, 3, 6, 9 y 18 mamuts. Me lo apunto.

OVEJAS: GRUPOS DE 2, 3, 4, 6 y 12

MAMUTS: GRUPOS DE 2, 3, 6, 9 y 18

Los grupos iguales que puedo hacer son de 2, 3 y 6 animales.

OVEJAS: GRUPOS DE 2, 3, 4, 6 y 12

MAMUTS: GRUPOS DE 2, 3, 6, 9 y 18

Pero como quiero el grupo más grande posible para dar menos viajes, ya lo tengo.

OVEJAS: GRUPOS DE 2, 3, 4, 6 y 12

MAMUTS: GRUPOS DE 2, 3, 6, 9 y 18

HARÉ GRUPOS DE 6 ANIMALES CADA UNO. De este modo no tengo que mezclarlos y tardaré menos.

OVEJAS: GRUPOS DE 2, 3, 4, 6 y 12

MAMUTS: GRUPOS DE 2, 3, 6, 9 y 18

M.C.D. (12, 18)= 6

Necesitamos cuerdas iguales lo más largas posible para sujetar nuestras tiendas y que no se las lleve el viento.

Yo tengo cuerdas de 18 metros.

Las mías son de 30 metros.

¿Y cómo sabemos la mayor longitud a la que podemos cortarlas para que todos los trozos sean iguales?

Fácil, fácil... calculando el máximo común divisor de 18 y 30.

Si descomponemos 18 en factores primos, tenemos esto:

18=2 x 3 x 3= 2 x 3

Y si descomponemos 30 en factores primos, tenemos esto:

18=2 x 3 x 3= 2 x 3

30 = 2 x 3 x 5

Los factores que se repiten son el 2 y el 3

18=2 x 3 x 3= 2 x 3

30 = 2 x 3 x 5

Así que cogemos los que tengan el menor exponente y los multiplicamos.

18=2 x 3 x 3= 2 x 3

30 = 2 x 3 x 5

2 x 3 = 6

El máximo común divisor de 18 y 30 es 6.

M.C.D. (18,30) = 6

Si cortamos tus cuerdas y las mías en trozos de 6 metros, tendremos la mayor longitud posible y todos los trozos serán iguales.

¡¡Pues manos a la obra!!

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