Limites desde cero

epsilon

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Límites desde cero

lim

delta

f(x)

n→0⁡

¿0/0=1?

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ÍNDICE

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Teorema de compresión

Introducción

Naturaleza de los límites

• Explicación • Ejemplo del teorema • Demostración del teorema

• La idea general • ¿Que es el límite?

• ¿Cuándo los límites no existen? • Naturaleza de los límites

usos de los limtes

Infinitos

Definicion formal

• Límites de infinito potencial • Trabajar con infinitos

• Épsilon • Delta • La definición formal de límite

• Importancia • Utilidad • Extra

Introducción

La idea general

lim

x = ∞

x→∞

En el mundo existen mucho límite que encontramos al acercarnos continua mente al extremo. Esta idea de límite no es nueva y ha existido por bastante tiempo y el estudiar límite es el estudiar la tendencia de una cierta magnitud cuando se impone una situación extrema.

lim

x = ∞

x→∞

lim

x = ∞

x→∞

+info

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¿Qué es el límite?

Y+0,005

Y+0,004

En análisis real de la función el límite se puede definir como el valor que nos tiende a devolver una función al acercarnos a un valor X independientemente si X está definida en la función.

Y+0,003

Y+0,001

Y-0,001

Y-0,002

Y-0,005

Y-0,008

X+0,02

X+0,01

X-0,01

X+0,015

X-0,02

X+0,005

X-0,015

X-0,005

Naturaleza de los límites

Cuando los limites no existen?

Limites distinto

lim

lim

f(a)

f(a) ≠

x→a

x→a

>

Se dice que el límite no existe cuando al menos uno de los límite laterales no exista o si los límites laterales son distintos.

x+2 x a

f(x)

>

x x a

Limite no determinado

lim

f(a) = ∞

x→a

+info

lim

f(a) = -

x→a

lim

f(x) =

x-a

x→a

Naturaleza de los limites

1. Si existen los límites de las funciones por separado podemos calcular el límite de la suma, resta y multiplicación de las funciones.

2. Pero para la división aparte de que existan los límites de las funciones por separado también el denominador debe ser distinto a cero.

lim

lim

g(x) = L ≠ ∞

f(x) = L ≠ ±∞

x→a

x→a

lim

g(x) = L ≠ ±∞ ≠ 0

x→a

lim

lim

lim

g(x)

[f(x) + g(x)] =

f(x) +

x→a

x→a

x→a

lim

f(x) = L ≠ ±∞

lim

lim

lim

g(x)

[f(x) - g(x)] =

f(x) -

x→a

x→a

x→a

x→a

lim

lim

lim

g(x)

[f(x) × g(x)] =

f(x) ×

lim

f(x)

[ ]

f(x)

x→a

x→a

x→a

x→a

lim

x→a

g(x)

lim

g(x)

x→a

lim

f(x) = L ≠ ±∞

3. Si queremos sacar el limite del producto de una funcion con una constante es igual a la contante multiplicando al limite de la funcion.

x→a

lim

lim

f(x)

4 ×

[4 × f(x)] =

x→a

x→a

Naturaleza de los limites 2

4. El límite del producto de una misma función una cantidad N de veces es igual al límite de función elevada N veces.

5. Para sacar el límite de la raíz N de una función se tiene que considerar que si N es par la función debe ser igual o mayor a cero.

lim

f(x) = L ≠ ±∞

x→a

lim

f(x) = L ≠ ±∞

lim

lim

[f(x) × f(x) . . . × f(x)] = L

n=par

f(x) ≥ 0

x→a

x→a

x→a

1/N

( )

lim

lim

f(x)

[ √f(x) ] =

6. En el caso de que en una función donde el límite tiende a un valor A y este valor A es parte de una función continua el límite de esta función es igual a la función de A.

x→a

x→a

lim

f(x) = L ≠ ±∞

x→a

lim

f(x) = f(a)

x→a

Teorema de compresión

explicacion

clic

aqui

Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo límite en un punto, cualquier otra función que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendrá el mismo límite en el punto.

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

lim

f(x) = L

x→a

lim

g(x) = L

x→a

lim

h(x) = L

x→a

ejemplo del teorema 1

2. para sacar el límite de seno de X divido X. tenemos que encontrar dos funciones uno que su límite sea menor a nuestra función y otro que sea mayor.

1. En el siguiente ejemplo vamos a resolver el límite cuando el límite tiende a cero de seno de X divido X.

senx

senx

lim

< g(x)

f(x) <

x→0

4. Pero además el otro cateto es el coseno de X y la tangente de X es igual al valor de ordenado de la prolongación de la hipotenusa.

3. Si tenemos un ángulo X en radianes y el radio de la circunferencia vale 1 uno de los catos es el seno de x.

ejemplo del teorema 2

sen x × cos x

A =

6. El valor de A1 es igual a la base por altura dividido dos, el valor de A2 es igual pi por X divido dos pi radianes o X divididos dos y el A3 es igual a un medio por seno de X dividido coseno de X.

5. Esto nos sirve para sacar tres áreas distintas de la circunferencia cada vez mejor.

pi × x

A = =

2pi

A < A < A

1 2 3

sen x

A =

2 × cos x

7. Si tenemos en cuenta la desigualdad entre las áreas podemos a las tres multiplicar por 2 y seguiremos teniendo que: A1 < A2 < A3

sen x

8. Y de esta mis desigualdad podemos decir que: A1 < A2 A2 < A3

sen x × cos x < x <

cos x

sen x × cos x < x

sen x

x <

cos x

ejemplo del teorema 3

sen x

sen x × cos x

cos x

<

<

sen x × cos x < x

9. Ahora que tenemos dos desigualdades distintas en ambas tenemos que hallar el seno de X dividido en X en ambas desigualdades.

cos x

cos x

sen x

sen x

sen x

cos x <

1 <

x <

x × cos x

cos x

11. Si el límite de X tiende a cero el coseno de cero es igual a uno entonces coseno de cero es igual uno dividido coseno de cero.

10. Lo que sacamos es que el seno de X divido X debe ser mayor a coseno de X y menor que uno dividido X.

sen x

cos x <

<

<

<

cos 0

cos x

cos 0

Demostracion del teorema

f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)

sen x

12. Tal como muestra el teorema si estas dos funciones se acercan a el mismo valor entonces el limite de la funcion del medio tiende a el mismo valor.

cos x <

<

cos x

sen x

lim

sen 0

cos 0 <

<

cos 0

x→0

sen 0

1 <

<

sen 0

1 <

<

<

<

Infinitos

Limites de infinito potencial

Se considera que existe un límite infinito en la función cuando sus valores llegan a crecer continuamente.

Unas funciones con un límite infinito pueden crecer más rápidamente que otras, conforme la variable X se acerca al valor del límite. Decimos que hay diferentes órdenes de infinito, según su rapidez en acercarse a él.

Trabajar con infinitos

Asíntotas:

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Oblicua

Vertical

Horisontal

| |

x + 1

h(x) =

g(x) =

f(x) =

x - 1

+info

Trabajar con infinitos 2

Esto no aumenta ni reduce su valor, ya que es equivalente a multiplicar por uno.

Al tratar con una función con ecuaciones de mayor grado del cual debemos remplazar con infinito lo que debemos hacer es buscar el X con exponente mayor y dividir cada término por X elevado al mayor exponen.

1= =

n -1

4x + x + 5

n -1

5x + x + 5

lim

lim

= 4

f(x) =

f(x) =

n - 2

x→∞

x + x + 4

x→∞

n - 2

x + x + 4

Definicion formal

Épsilon

Épsilon ( ε ) es una letra griega que en cálculo suele designar a pequeñas cantidades, o cantidades que tienden hacia cero.

L +

L -

0 <

En límites épsilon es la distancia entre L y valores de una función que se pueden considerar de igual valor que L .

0 <

|f(x) - L| <

Delta

Si épsilon es la distancia entre L y sus valores cercanos delta es la distancia entre un elemento a del dominio que de L y el elemento de menor distasia del dominio quede L - entre L +

L +

L -

0 <

| x - a | <

Se elige el de la distancia menor, ya que garantiza que los valores entre ellos sean parte del épsilon.

a - δ

a + δ

La definición formal de límite

Dada f(x) definida en un intervalo abierto que contiene a α excepto posiblemente en a mismo, entonces se dice que:

lim

f(x) = L

x→a

si para todo > 0 , existe un δ > 0 tal que:

0 <

| x - a | <

0 <

|f(x) - L| <

de modo que

Importancia

Importancia

En Cálculo este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio euclídeo, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite.

+info

Utilisacio

El límite crea una situación extremas de las cuales los matemáticos aprovechan para sacar nueva información. Como en el caso de los integrales donde el área bajo la curva equivale a su integral.

Su área se acerca a la suma de los rectángulos que quepan bajo la curva mientras más rectángulo más preciso es.

El área se encontraría cuando el número de rectángulo se acerque a infinito

acertijo

1. Si tenemos un triángulo rectángulo que su base y altura sean 1.

0. Para terminar le dejo un acertijo donde necesitaran saber de derivadas.

2. Si trasladamos la mitad de la base y la altura asta tocar con la hipotenusa la suma de la líneas azules aún nos dan 2.

¿Cual es el error de este rasonamiento?

3. Si repetimos este mismo proceso una cantidad infinita de veces la línea azul quedaría encima de la roja que nos daría una errónea igualdad.

√2 = 2

Linkografía

Linkografí

1. http://limitesdjdomatematicos.blogspot.com/
2. https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n
3. https://www.matesfacil.com/BAC/funciones/asintota/asintota-horizontal-vertical-ejemplos-limites-graficas-funciones-problemas-resueltos-demostraciones.html
4. https://classroom.google.com/u/1/c/MTQ5MTIwMDU2MjQ3/a/MzI5NjgxNzk1NTEy/details
5. https://www.matesfacil.com/BAC/emparedado/teorema-emparedado-sandwich-demostracion-limites-series-convergente-ejemplos.html
6. https://www.lavanguardia.com/vida/junior-report/20190312/46968620693/pi-numero-historia-arquimedes-aproximacion-decimales.html#:~:text=El%20m%C3%A9todo%20consiste%20en%20calcular,al%20borde%20de%20la%20circunferencia.
7. https://ekuatio.com/limites-tipos-de-indeterminaciones-que-es-una-indeterminacion/