Elementos y propiedades de la Circunferencia

Estudio de los elemento de La circunferencia y sus propiedades

Prof. Teresita Méndez Olave.

La Circunferencia, como lugar geométrico

Es un conjunto de puntos (es decir el lugar geométrico de los puntos) del plano que equidistan de un punto fijo en el mismo plano.Al punto fijo se le llama el centro de la circunferencia y a la distancia de cada punto al centro se le llama radio. Notación: la circunferencia en el plano, denominado 𝜋, de centro en 𝑂 ∈ 𝜋 y de radio 𝑟 se denota por 𝐶(𝑂, 𝑟). Una notación de conjuntos de circunferencia es 𝐶(𝑂, 𝑟) = {𝑋 ∈ 𝜋/𝑂𝑋 = 𝑟,𝑂,𝑋 ∈ 𝜋} Toda circunferencia divide al plano en dos regiones disjuntas, una de ellas la llamamos el interior y la otra el exterior de la circunferencia.

Definición 2: Interior de la Circunferencia, es el conjunto de puntos del plano, tales que su distancia al centro es menor que el radio. En notación conjuntista tenemos: 𝐼𝑛𝑡 𝐶(𝑂, 𝑟) = {𝑋 ∈ 𝜋 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑂𝑋 < 𝑟,𝑋,𝑂 ∈ 𝜋} Definición 3: Exterior de la Circunferencia, es el conjunto de puntos del plano, tales que su distancia al centro es mayor que el radio. En notación conjuntista tenemos: 𝑒𝑥𝑡 𝐶(𝑂, 𝑟) = {𝑋 ∈ 𝜋 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑂𝑋 > 𝑟,𝑋,𝑂 ∈ 𝜋} aquí

En geogebra dibuja una circunferencia, junto con los elementos que conozca de ella. Colocale nombre a los elementos dibujados, con su respectiva simbología. Pega tu dibujo en una hoja de paint.

Teoremas sobre Circunferencia

Teorema 1. (Existencia y unicidad de la circunferencia). Por tres puntos distintos, no colineales pasa una y solo una circunferencia. Demostración de Existencia. Sean A, B, C tres puntos distintos y no colineales (Figura 2.); sean m y m′ las simetrales de los segmentos AC y AB respectivamente. Existe un único punto {O} =m∩m′. Por las propiedades de la simetral se tiene que, como O ∈ m entonces OA = OC y similarmente, como O ∈ m′ entonces OA = OB, por lo tanto OA = OB = OC luego, O es el centro de una circunferencia que pasa por los puntos A, B, C, llamémosla C(O, r) .

Demostración de Unicidad. Supongamos que por los puntos A, B, Cpasa otra circunferencia C(O′ , r′ ); como O′A = O′B entonces por las propiedades de la mediatriz O′ ∈ m′ y como O′A = O′C entonces O′ ∈ m, luego {O′} = m ∩ m′ y como {O} = m ∩ m′ entonces se deduce que O′ ≡ O y por tanto r ′ = r. De esta manera concluimos que C(O, r) ≡ C(O ′, r′).

Tarea: dada la siguiente circunferencia, construye con regla y compás su centro. Justifique geométricamente la construcción.

Teorema 2. Si una recta y una circunferencia son coplanares, la rectaintercepta a la circunferencia a lo sumo en dos puntos. Hipótesis: Sean l la recta y C(O, r) la circunferencia. Tesis: existen a lo sumo dos puntos distintos A y B tales que {A, B} = C(O, r) ∩ l. Demostración. Supongamos que existen tres puntos distintos que pertenecen a C(O, r) ∩ l, con el tercer punto, H pueden suceder dos casos: a.) H esté en el Int AB, b.) H esté en el Ext AB.

Caso a.) sea H ∈ Int AB y sea OM⊥ l, como entonces es mediatriz de AB y por tanto A − M − B. Con el punto H pueden suceder tres casos: 1.) M − H − B, 2.) H ≡ M, 3.) A − H − M. Caso 1.) Si M −H −B entonces MH < MB y por el teorema de las oblicuas, OH < OB y como OB es radio, entonces OH < r, luego H ∈ Int C(O, r). Absurdo! ¿Por qué? Explique. Caso 2.) Si H ≡ M entonces por el teorema de las oblicuas, OM < OB, luego OM = OH < r, es decir, H ∈ IntC(O, r). Absurdo! ¿Por qué? Explique

caso 3.) Se hace en forma similar al caso 1.) Caso b.) Sea H ∈ ExtAB, por lo tanto, MB < MH y por el teorema de las oblicuas OB < OH y por tanto r < OH, es decir que, H ∈ ExtC(O, r). Absurdo! ¿Por qué? Explique Entonces es válida la tesis: existen a los sumo dos puntos distintos A, B tales que {A, B} = C(O, r) ∩ l.

Posiciones Relativas de una recta y una circunferencia

considera una recta L y una circunferencia C, ¿qué posiciones pueden adoptar estas figuras geométricas?

Otros Teoremas

Teorema 3. Toda recta coplanar con una circunferencia y tangente a ella es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia. Teorema 4. Recíproco: Si una recta coplanar con una circunferencia es perpendicular a un radio, en el extremo del radio distinto del centro, entonces la recta es tangente a la circunferencia en dicho extremo Teorema 5. a. La mediatriz de toda cuerda de una circunferencia, pasa por el centro. b. La recta que pasa por el centro y es perpendicular a una cuerda, es mediatriz de la cuerda.

Teorema 6. Si dos circunferencias distintas y coplanares se interceptan entonces su intersección tiene a los sumo dos puntos distintos. Definición: Dos puntos son simétricos con respecto a una recta, si la recta es simetral del segmento que une los dos puntos. Teorema 7. Si dos circunferencias coplanares y distintas a.) se cortan en un punto que no pertenece a la recta que pasa por los centros, entonces el simétrico de este punto con respecto a ésta recta también pertenece a las dos circunferencias. b.) se cortan, entonces la distancia entre los centros es mayor que la diferencia entre los radios y menor que su suma.

Teorema 7: Si dos circunferencias coplanares y distintas c. Se cortan, la recta que pasa por los centros es mediatriz de la cuerda común. d. Son tangentes, entonces el punto de tangencia esta sobre la recta de los centros. e. Son tangentes entonces la recta perpendicular a la recta que pasa por los centros en el punto de tangencia, es tangente a ambas circunferencias (se le llama la tangentes común.

Posiciones relativas entre dos circunferencias

¿Qué posiciones relativas se determinan?

Se presentan los siguientes casos: • Circunferencias disjuntas, aquí la distancia entre los centros es mayor que la suma de sus radios. • Tangentes exteriores, la distancia entre los centros es igual que la suma de sus radios. • Tangentes interiores, la distancia entre los centros es igual que la diferencia de sus radios. • Secantes la distancia entre los centros es mayor que la diferencia de sus radios y menor que la suma de sus radios. •

Interiores, la distancia entre los centros es menor que la diferencia de sus radios. • Concéntricas: dos circunferencias son concéntricas, cuando sus centros coinciden, es decir, si y solo si d = OO′ = 0. Teorema 8. - En un mismo plano, por un punto exterior a una circunferencia existen dos rectas tangentes y solo dos. - Los segmentos entre el punto exterior y los puntos de tangencia son congruentes. - La semirrecta con origen en el punto exterior y que pasa por el centro es bisectriz del ángulo entre las tangentes

RELACIONES ENTRE ARCOS Y CUERDAS

En toda circunferencia se cumple que a cada arco principal corresponde uno y solo un ángulo central y una y solamente una cuerda. Definiciones: a) Circunferencias congruentes. Decimos que dos circunferencias son congruentes si y solo si tienen el mismo radio. Se denota: 𝐶(𝑂, 𝑟) ≅ 𝐶(𝑂 ′ , 𝑟) b.)Arcos principales congruentes. Decimos que dos arcos principales en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, son congruentes si sus ángulos centrales son congruentes.

c.)Arcos no principales congruentes. Decimos que dos arcos no principales en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, son congruentes si sus respectivos arcos principales asociados son congruentes. .d.) Decimos que dos arcos son adyacentes, si el único punto en común es uno de sus extremos MEDIDA DE ARCOS La unidad de medida para arcos, es el arco sub-tendido por un ángulo central de un grado, a esta unidad de medida para arcos también la llamaremos grado.

Si por el centro de una circunferencia trazamos dos rectas perpendiculares, entonces se forman cuatro ángulos al centro congruentes y por lo tanto interceptan la circunferencia, formando cuatro arcos principales congruentes y en consecuencia su medida será 90° ¯ Por lo anterior podemos concluir que la medida de la semicircunferencia es 180° ¯ y la medida de la circunferencia es 360°

Definición. La medida en grados de un arco denotada por m(𝐴𝐶𝐵 ̂)°, se define como, 1. Si 𝐴𝐶𝐵 ̂es el arco principal sub-tendido por el ángulo central < 𝐴𝑂𝐵 , entonces 𝑚(𝐴𝐶𝐵 ̂)° es numéricamente igual a la medida del ángulo central AOB [. Es decir: 𝑚(𝐴𝐶𝐵 ̂)° = 𝑚(< 𝐴𝑂𝐵) 2. Si 𝐴𝐷̂𝐵 es el arco no principal determinado por A y B entonces 𝑚(𝐴̂𝐷𝐵)° = 360° − 𝑚(𝐴𝐶𝐵 ̂)°, donde 𝐴𝐶𝐵 ̂es el arco principal.

Postulado de adición para arcos adyacentes: (𝐴𝑀̂𝐵) ∪ (𝐵̂𝑁𝐶) = (𝐴̂𝐵𝐶) 𝑦 𝑚(𝐴𝑀̂𝐵) + 𝑚(𝐵̂𝑁𝐶) = 𝑚(𝐴̂𝐵𝐶) Teoremas de arcos, cuerdas y ángulos: Teorema 9. En una misma circunferencia el diámetro es la mayor de las cuerdas. Dem: Sea AB una cuerda que no contiene al centro O y sea CD un diámetro. Por el teorema de la desigualdad triangular en el △OAB se tiene que AB < OA + OB, pero como OA, OB, OC, OD son radios, entonces OA + OB = OC + OD = CD, por tanto AB < CD, es decir, AB < CD.

Teorema 10. En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes: a. Cuerdas congruentes equidistan del centro. b. Dadas dos cuerdas, la mayor dista menos del centro. c. Cuerdas equidistantes del centro son congruentes. d. Dadas dos cuerdas, la que dista menos del centro es mayor. e. Dos ángulos al centro son congruentes si y solo si sub-tienden arcos principales congruentes. f. Si los ángulos al centro no son congruentes, el arco principal subtendido por el ángulo al centro mayor, es mayor. Recíprocamente, si el arco principal es mayor entonces el ángulo al centro es mayor.

Teorema 11. Todo radio perpendicular a una cuerda, biseca la cuerda y biseca al arco principal subtendido por la cuerda. Recíprocamente, todo radio que biseca una cuerda o al arco principal subtendido, es perpendicular a la cuerda. Teorema 12. Los arcos principales de una misma circunferencia, comprendidos entre rectas paralelas, son congruentes.

ANGULO INSCRITO Y ARCO CAPAZ DE UN ÁNGULO. Definición 6. (Angulo Inscrito en un arco). Decimos que un ángulo está inscrito en un arco si: a. Cada extremo del arco esta respectivamente sobre cada lado del ángulo. b. El vértice del ángulo es un punto del arco distinto de los extremos del arco. Definición 7. (Arco capaz). El arco que acompaña el ángulo inscrito, en la definición anterior, se le llama arco capaz.

Definición 8. (Angulo semi-inscrito). El ángulo cuyo vértice esta sobre la circunferencia, uno de los lados es tangente y el otro es secante a la circunferencia, se le llama ángulo semi-inscrito. Teorema 14 (Del ángulo semi-inscrito). La medida del ángulo semi-inscrito es igual a la mitad de la medida del arco cuyo interior está en el interior del ángulo.

Prop. de ángulos y arcos

Teorema 13. Del ángulo inscrito. La medida de un ángulo inscrito en un arco es igual a la mitad de la medida del arco interceptado. Corolario 1. (Arco capaz). Todos los ángulos inscritos en el mismo arco capaz son congruentes. Corolario 2. Todos los ángulos inscritos en una semicircunferencia son rectos.

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Represente el arco capaz de un ángulo inscrito ABC cualquiera, de un ángulo inscrito ABC recto, de un ángulo inscrito ABC agudo y de un ángulo inscrito ABC obtuso.

Teorema 15 (Ángulo con el vértice en el interior de la circunferencia). La medida de un ángulo que tiene su vértice en el interior de la circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones. Teorema 16 (Ángulo con el vértice en el exterior de la circunferencia). La medida del ángulo formado por dos semirrectas con origen común en un punto exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos que están en el interior del ángulo.

Demostración Teorema 15

Prop. de ángulos y arcos

Corolario 4. La medida del ángulo formado por dos semirrectas, una tangente y la otra secante, con origen común en un punto exterior a una circunferencia, es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos cuyos interiores están en el interior del ángulo.

Corolario 3. La medida del ángulo formado por dos semirrectas tangentes con origen común en un punto exterior a una circunferencia, es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos cuyos interiores están en el interior del ángulo.

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POLÍGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Definición 9. a. Decimos que un polígono convexo está inscrito en una circunferencia, si todos sus vértices están sobre la circunferencia; de la circunferencia decimos que está circunscrita al polígono. b. Decimos que un polígono convexo está circunscrito a una circunferencia, si todos sus lados son tangentes a la circunferencia; de la circunferencia decimos que está inscrita en el polígono.

Definición 10. (Cuadrilátero cíclico). Decimos que un cuadrilátero convexo es cíclico si está inscrito en una circunferencia. Pregunta, ¿qué cuadriláteros son cíclicos y por qué?

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Corolario 5. Todo polígono regular circunscribe una circunferencia. Nota: En un polígono regular de n lados, denotamos su lado por ln, su apotema por An y su perímetro por Pn, claramente se cumple que: Pn = n · ln

Teorema 21. Todo polígono regular es cíclico. Definición 11. (Apotema). Se llama apotema de un polígono regular, a la distancia desde el centro de la circunferencia circunscrita a cada lado del polígono.

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Teorema 19 (Recta de Simpson). Las proyecciones desde un punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo (distinto de los vértices del triángulo) a los lados o sus prolongaciones, son colineales. Teorema 20 (Teorema de Steiner-Lehmus). Si un triángulo tiene dos bisectrices congruentes entonces el triángulo es isósceles.

Teorema 17. Un cuadrilátero convexo ABCD es cíclico si y solo sí Teorema 18 (Teorema de los cuadriláteros cíclicos). Un cuadrilátero convexo es cíclico si y solo si sus ángulos opuestos son suplementarios.

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