Presentazione ellisse

ELLISSE

ἔλλειψις, 'mancanza'

Definizione: luogo geometrico dei punti del piano tali per cui è costante la somma delle distanze da due punti fissi F(1), F(2) detti fuochi.

L'ELLISSE NELLA STORIA

ARTE:

L’ellisse è una figura geometrica che storicamente è stata utilizzata per pochi tipi di costruzione, che però riguardano edifici di grande importanza

Stadio Bentegodi, Verona

FISICA:

L’ellisse è una curva geometrica molto importante nella fisica, in particolare nell’astrofisica: le orbite dei pianeti intorno al sole hanno una forma ellittica, come specificato da Keplero

Colosseo, Roma

Equazione dell'ellisse con fuochi sull'asse x

Premesse

• 2c: la distanza tra F1 e F2 detta distanza focale
• 2a: la somma costante dei punti dell'ellisse dai fuochi
• a e c sono valori costanti e positivi
• P appartiene all'ellisse se PF1+PF2=2a

Per arrivare all'equazione canonica dell'ellisse consideriamo un'ellisse con centro sull'origine e i fuochi sull'asse x

F1=(-c;0) F2 (c;0)

PF1+PF2=2a

Equazione dell'ellisse con fuochi sull'asse Y

Ora consideriamo un'ellisse con centro nell'origine degli assi e fuochi F1 e F2 sull'asse y

F1=(0;-c) F2 (0;c)

Con calcoli analoghi ai precedenti arriviamo alla stessa equazione canonica

PF1+PF2=2b

vertici e assi

Per trovare le coordinate dei vertici dell'ellisse, si utilizza un sistema, all'interno del quale si pongono: - l'equazione dell'ellisse - l'equazione dell'asse x o y Si ottengono dunque i vertici: A1( -a; 0) A2( a; 0) B1 ( 0; -b) B2 (0; b) I segmenti A1A2, B1B2 sono gli assi dell'ellisse.

vertici e assi

Fuochi sull'asse delle Y: - b > a - B1B2 > A1A2 - B1B2 è l'asse maggiore - A1A2 è l'asse minore

Fuochi sull'asse delle X: - a > b - A1A2 > B1B2 - A1A2 è l'asse maggiore - B1B2 è l'asse minore

vertici e assi

Fuochi sull'asse delle X: - OB è il cateto minore - OF2 è il cateto maggiore - B2F2 è l'ipotenusa

Fuochi sull'asse delle Y: - OA2 è il cateto minore - OF2 è il cateto maggiore - F2A2 è l'ipotenusa

Rappresentazione di un'ellisse

Rettangolo con: - lati paralleli agli assi cartesiani - ogni lato si interseca con uno dei vertici Tutti i punti dell'ellisse si trovano contenute all'interno di questo rettangolo.

I lati del rettangolo hanno equazione: - x = ± a - y= ± b

Eccentricita'

Definizione: rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell'asse maggiore di un'elisse, indica la forma più o meno schiacciata dell'ellisse

Formula: e = c/a se i fuochi sono sull'asse x oppure e = c/b se i fuochi sono sull'asse y

Posizione di una retta rispetto all'ellisse

1. retta esterna: la retta non interseca l’ellisse (r1)2. retta secante: la retta interseca l’ellisse in due punti distinti (r2)3. retta tangente: la retta interseca l’ellisse in un punto solo (r3)

retta Tangente l'ellisse

Metodo generale per trovare la tangente ad un dato ellisse in un dato punto:

1. Mettere a sistema l’equazione dell’ellisse con l’equazione della generica retta passante per il punto ( y-y0 = m(x - x0) )
2. Trovare l’equazione risolvente
3. Imporre che l’equazione risolvente abbia una sola soluzione, ponendo Δ=0

Oppure:

Formula di sdoppiamento: xx0/a^2+ yy0/b^2= 1 .

Esempio: scrivere l'equazione della retta tangente all'ellisse di equazione 9x^2 + 2y^2 = 54 e passante per il punto P (-2; 3).

Ellisse traslata:

i suoi assi di simmetria sono paralleli rispetto agli assi cartesiani

Area dell'ellisse:

prodotto tra pi greco e il prodotto dei semiassi dell’ellisse

Lunghezza dell'ellisse:

si calcola solo come sviluppo in serie di un integrale curvilineo

L'ELLISSE in fisica

GIOVANNI KEPLERO:

• Astronomo e matematico
• "Mysterium Cosmographicum" (1596)
• Le tre leggi: ORBITE ELLITTICHE

1. “L’orbita di un pianeta è un’ellisse di cui il Sole occupa uno dei due fuochi”

2. «Il segmento (raggio vettore) che unisce il centro del Sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi uguali.»

3. «I quadrati dei tempi che i pianeti impiegano a percorrere le loro orbite sono proporzionali al cubo del semiasse maggiore.»

grazie per l'attenzione!