IL PIANO CARTESIANO
Giorgia Cannoniero
Il piano cartesiano è un sistema di riferimento in due dimensioni formato da due rette perpendicolari orientate e graduate secondo un'unità di misura u, una orizzontale, detta asse delle ascisse e indicata con x, e l'altra verticale, detta asse delle ordinate indicata con y. Il punto di intersezione delle rette si chiama origine e si indica con la lettera maiuscola O.
1° quadrante(+; +)
2° quadrante (-; +)
4° quadrante(+; -)
3° quadrante (-; -)
ESEMPIO: P(4; 5)
Ogni punto nel piano cartesiano è individuato da una coppia ordinata di numeri reali, detti coordinate del punto. La scrittura P(x; y) indica il punto di ascissa x e di ordinata y.
La distanza tra due punti
Determinare la distanza tra due punti A e B nel piano cartesiano significa determinare la lunghezza del segmento AB, cioè calcolare la misura di AB.
Punti con la stessa ordinata o la stessa ascissa
Se due punti A e B hanno la stessa ordinata, il segmento AB è parallelo all'asse delle ascisse. Se due punti C e D hanno la stessa ascissa, il segmento CD è parallelo all'asse delle ordinate.
Per determinare la distanza tra due punti che hanno:
- la stessa ordinata si calcola il valore assoluto della differenza delle loro ascisse;
- la stessa ascissa si calcola il valore assoluto della differenza delle loro ordinate.
Punti con ascisse diverse e ordinate diverse
Se il segmento AB non è parallelo ad alcun asse, può essere considerato l'ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC con i cateti paralleli agli assi. Il punto C, vertice dell'angolo retto, ha la stessa ascissa del punto A e la stessa ordinata del punto B. Per calcolare la misura del segmento AB possiamo applicare il teorema di Pitagora.
Formula
LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO
In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Un'equazione del tipo y = mx + q rappresenta una funzione lineare che ha come grafico una retta. Il termine noto q è detto intercetta e rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y. Il coefficiente m della variabile indipendente è detto coefficiente angolare e caratterizza la sua inclinazione rispetto all'asse x.
Table
You can write a description here
ESEMPIO
y = -2x + 1
-2 5
-1 3
0 1
2 -3
RETTE PARTICOLARI
Rette passanti per l'origine. Se nell'equazione y = mx + q si ha q = 0, la retta passa per l'origine. Se una retta y = mx + q passa per l'origine, la sua equazione è verificata per x = 0 e y = 0.
Assi cartesiani. Tutti e soli i punti che appartengono all'asse x hanno l'ordinata uguale a zero: l'equazione dell'asse x è quindi y = 0. tutti e soli i unti che appartengono all'asse delle y hanno l'ascissa uguale a zero: l'equazione dell'asse y è quindi x = 0.
Rette parallele agli assi. Una retta parallela all'asse x è formata da tutti e soli i punti con una stessa ordinata. L'equazione, perciò, è y = q. Una retta parallela all'asse y è formata da tutti e soli i punti con una stessa ascissa x = k.
y = 3
x = -2
INTERSEZIONE TRA RETTE
Due rette nel piano sono o incidenti o parallele. Le rette incidenti hanno un punto di intersezione. Il punto di intersezione tra due rette, se esiste, appartiene a entrambe le rette, perciò le sue coordinate devono verificare entrambe le equazioni. Esistono due metodi per determinare il punto di intersezione di due rette: metodo grafico e metodo algebrico.
METODO GRAFICO
Consideriamo le rette r: y = -x +2 s: y = 1 e tracciamole in uno stesso piano cartesiano: troviamo graficamente che r e s si intersecano. Il disegno però potrebbe essere impreciso: per controllare la correttezza del risultato dobbiamo comunque verificare algebricamente l'appartenenza di del punto P a entrambe le rette. Quello che dobbiamo fare é sostituire le coordinate di P a entrambe le rette.
r: y = -x + 2
s: y = 1
METODO ALGEBRICO
Consideriamo le rette a: y = 5x - 3 e b: y = 8x + 3 Se esse si intersecano in un punto P, le equazioni di a e b devono essere entrambe verificate dalle sue coordinate, cioè da uno stesso valore della x e uno stesso valore della y. Poiché al primo membro di entrambe le equazioni compare solo y, dobbiamo cercare il valore della x che rende uguali le due y. Poniamo quindi 5x - 3 = 8x + 3 Risolvendo l'equazione otteniamo la coordinata x. Sostituendo il valore trovato per la x otteniamo il valore della y.
RETTE PARALLELE
Due rette nel piano cartesiano sono parallele se i rispettivi coefficienti angolari sono uguali.
RETTE PERPENDICOLARI
Due rette nel piano cartesiano sono perpendicolari se il prodotto dei rispettivi coefficienti angolari è -1.
LE CONICHE
Le coniche sono le linee curve che si ottengono sezionando con un piano la superfice di un cono a due falde ( pensa a due coni gelato infiniti e uniti per il vertice). Le coniche sono classificate in base all'inclinazione con cui questo piano taglia la superfice conica.
La circonferenza
L'ellisse
Si ottiene sezionando la superfice conica con un piano perpendicolare all'asse del cono; può quindi essere considerata un caso particolare di elisse.
Si ottiene sezionando la superfice conica con un piano che interseca l'asse e tutte le generatrici del cono.
La parabola
L'iperbole
Si ottiene sezionandola superfice conica con un piano parallelo a una retta generatrice del cono.
Si ottiene sezionando la superfice conica co un piano parallelo all'asse del cono.
LE FUNZIONI DI PROPORZIONALITà
La funzione della proporzionalità diretta
Due variabili x e y che assumono valori corrispondenti sono direttamente proporzionali se il rapporto tra y e x rimane costante. Il grafico di una funzione di proporzionalità diretta è una retta che passa per l'origine.
y = 2x
x y
-2 -4
-1 -2
1 2
2 4
La funzione di proporzionalità inversa
Due variabili x e y che assumono valori corrispondenti sono inversamente proporzionali se il prodotto tra x e y rimane costante. Il grafico di una funzione di proporzionalità inversa è un'iperbole equilatera.
La funzione di proporzionalità quadratica
Due variabili x e y che assumono valori corrispondenti sono legate da proporzionalità quadratica se il rapporto tra y e il quadrato di x rimane costante. Il grafico di una funzione di proporzionalità quadratica è una parabola che ha il vertice nell'origine ed è simmetrica rispetto all'asse y.
FINE...
Il piano cartesiano
Giorgia Cannoniero
Created on May 13, 2021
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IL PIANO CARTESIANO
Giorgia Cannoniero
Il piano cartesiano è un sistema di riferimento in due dimensioni formato da due rette perpendicolari orientate e graduate secondo un'unità di misura u, una orizzontale, detta asse delle ascisse e indicata con x, e l'altra verticale, detta asse delle ordinate indicata con y. Il punto di intersezione delle rette si chiama origine e si indica con la lettera maiuscola O.
1° quadrante(+; +)
2° quadrante (-; +)
4° quadrante(+; -)
3° quadrante (-; -)
ESEMPIO: P(4; 5)
Ogni punto nel piano cartesiano è individuato da una coppia ordinata di numeri reali, detti coordinate del punto. La scrittura P(x; y) indica il punto di ascissa x e di ordinata y.
La distanza tra due punti
Determinare la distanza tra due punti A e B nel piano cartesiano significa determinare la lunghezza del segmento AB, cioè calcolare la misura di AB.
Punti con la stessa ordinata o la stessa ascissa
Se due punti A e B hanno la stessa ordinata, il segmento AB è parallelo all'asse delle ascisse. Se due punti C e D hanno la stessa ascissa, il segmento CD è parallelo all'asse delle ordinate.
Per determinare la distanza tra due punti che hanno:
Punti con ascisse diverse e ordinate diverse
Se il segmento AB non è parallelo ad alcun asse, può essere considerato l'ipotenusa di un triangolo rettangolo ABC con i cateti paralleli agli assi. Il punto C, vertice dell'angolo retto, ha la stessa ascissa del punto A e la stessa ordinata del punto B. Per calcolare la misura del segmento AB possiamo applicare il teorema di Pitagora.
Formula
LA RETTA NEL PIANO CARTESIANO
In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio. Un'equazione del tipo y = mx + q rappresenta una funzione lineare che ha come grafico una retta. Il termine noto q è detto intercetta e rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y. Il coefficiente m della variabile indipendente è detto coefficiente angolare e caratterizza la sua inclinazione rispetto all'asse x.
Table
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ESEMPIO
y = -2x + 1
-2 5
-1 3
0 1
2 -3
RETTE PARTICOLARI
Rette passanti per l'origine. Se nell'equazione y = mx + q si ha q = 0, la retta passa per l'origine. Se una retta y = mx + q passa per l'origine, la sua equazione è verificata per x = 0 e y = 0.
Assi cartesiani. Tutti e soli i punti che appartengono all'asse x hanno l'ordinata uguale a zero: l'equazione dell'asse x è quindi y = 0. tutti e soli i unti che appartengono all'asse delle y hanno l'ascissa uguale a zero: l'equazione dell'asse y è quindi x = 0.
Rette parallele agli assi. Una retta parallela all'asse x è formata da tutti e soli i punti con una stessa ordinata. L'equazione, perciò, è y = q. Una retta parallela all'asse y è formata da tutti e soli i punti con una stessa ascissa x = k.
y = 3
x = -2
INTERSEZIONE TRA RETTE
Due rette nel piano sono o incidenti o parallele. Le rette incidenti hanno un punto di intersezione. Il punto di intersezione tra due rette, se esiste, appartiene a entrambe le rette, perciò le sue coordinate devono verificare entrambe le equazioni. Esistono due metodi per determinare il punto di intersezione di due rette: metodo grafico e metodo algebrico.
METODO GRAFICO
Consideriamo le rette r: y = -x +2 s: y = 1 e tracciamole in uno stesso piano cartesiano: troviamo graficamente che r e s si intersecano. Il disegno però potrebbe essere impreciso: per controllare la correttezza del risultato dobbiamo comunque verificare algebricamente l'appartenenza di del punto P a entrambe le rette. Quello che dobbiamo fare é sostituire le coordinate di P a entrambe le rette.
r: y = -x + 2
s: y = 1
METODO ALGEBRICO
Consideriamo le rette a: y = 5x - 3 e b: y = 8x + 3 Se esse si intersecano in un punto P, le equazioni di a e b devono essere entrambe verificate dalle sue coordinate, cioè da uno stesso valore della x e uno stesso valore della y. Poiché al primo membro di entrambe le equazioni compare solo y, dobbiamo cercare il valore della x che rende uguali le due y. Poniamo quindi 5x - 3 = 8x + 3 Risolvendo l'equazione otteniamo la coordinata x. Sostituendo il valore trovato per la x otteniamo il valore della y.
RETTE PARALLELE
Due rette nel piano cartesiano sono parallele se i rispettivi coefficienti angolari sono uguali.
RETTE PERPENDICOLARI
Due rette nel piano cartesiano sono perpendicolari se il prodotto dei rispettivi coefficienti angolari è -1.
LE CONICHE
Le coniche sono le linee curve che si ottengono sezionando con un piano la superfice di un cono a due falde ( pensa a due coni gelato infiniti e uniti per il vertice). Le coniche sono classificate in base all'inclinazione con cui questo piano taglia la superfice conica.
La circonferenza
L'ellisse
Si ottiene sezionando la superfice conica con un piano perpendicolare all'asse del cono; può quindi essere considerata un caso particolare di elisse.
Si ottiene sezionando la superfice conica con un piano che interseca l'asse e tutte le generatrici del cono.
La parabola
L'iperbole
Si ottiene sezionandola superfice conica con un piano parallelo a una retta generatrice del cono.
Si ottiene sezionando la superfice conica co un piano parallelo all'asse del cono.
LE FUNZIONI DI PROPORZIONALITà
La funzione della proporzionalità diretta
Due variabili x e y che assumono valori corrispondenti sono direttamente proporzionali se il rapporto tra y e x rimane costante. Il grafico di una funzione di proporzionalità diretta è una retta che passa per l'origine.
y = 2x
x y
-2 -4
-1 -2
1 2
2 4
La funzione di proporzionalità inversa
Due variabili x e y che assumono valori corrispondenti sono inversamente proporzionali se il prodotto tra x e y rimane costante. Il grafico di una funzione di proporzionalità inversa è un'iperbole equilatera.
La funzione di proporzionalità quadratica
Due variabili x e y che assumono valori corrispondenti sono legate da proporzionalità quadratica se il rapporto tra y e il quadrato di x rimane costante. Il grafico di una funzione di proporzionalità quadratica è una parabola che ha il vertice nell'origine ed è simmetrica rispetto all'asse y.
FINE...