Metodo de Biseccion y Punto fijo

Autor: Kandreuska DíazC.I: 29.582.646Profesor: Carneiro Malaver, Julián Eloy

método de bisección

Y PUNTO FIJO

"Nunca consideres el estudio como una obligacion, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber."

Albert Einstein

Estos métodos son especialmente útiles para que se resuelvan los problemas que involucran un número grande en cuanto a variables, a veces tienden a ser de orden de millones.

Ya sea una ecuación o un sistema de ecuaciones, esto ocurre por medio de las aproximaciones sucesivas que parten de una estimulación inicial.

Los métodos directos tienden un coste totalmente prohibido inclusive cuando algunos tienen la mejor potencia de un computador disponible.

Es aquel que se encarga de resolver cualquier clase de problema matemático.

¿Qué es un método iterativo?

Se basa en el Teorema de Bolzano, que nos asegura la existencia de, al menos, una raíz de una función f(x) en un cierto intervalo[a,b].

Parte de un intervalo:

[x0,x1]tal que f(x0)f(x1) < 0

Es un algoritmo de búsqueda de raíces de una ecuación dada, trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.

Este se utiliza para resolver ecuaciones que posean una sola variable.

método de bisección

6.

Es útil para cualquier ecuación.

5.

4.

Poco error de rendondeo, la precisión la determina el usuario.

Suele ser un metodo lento.

3.

Converge con seguridad, cuando las condiciones se cumplen (+,-).

2.

1.

Operaciones "sencillas" y de facil intuición.

Es un método elemental y antiguo.

CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO DE BISECCIÓN

Sin embargo, si f(a) x f(b) > 0 se debe cambiar el extremo minimo.

Si f(a) x f(b) < 0 se debe cambiar el extremo máximo.

Existirá una unión entre los dos puntos.

Se mantiene la propiedad donde:f(a) x f(b) < 0

Se sustituye uno de los extremos a, b por el valor de la aproximación c.

El proceso comienza estudiando los valores de a, b y c en la función dada.

Propiedades del método de bisección

Al trazar los puntos evaluados en un plano de coordenadas cartesianas, se puede identificar facilmente el tramo en donde la gráfica atraviesa el eje 0 y determinar así la raíz de la función.

el plano cartesiano

Tambien, un excelente complemento del método gráfico.

Es la vía más práctica para encontrar su solución.

AlgebraicasDe una variable Trascendente

Para ecuaciones de tipo:

OPERACIONES DEL MÉTODO DE BISECCIÓN

Una desventaja potencial de este método es que la elección de la función iteradora g(x) no siempre es fácil.

La nueva ecuación debe ser consistente con la ecuación original.

Consiste en reescribir la ecuación f(x)=0 en la forma: x=g(x).

Consiste en un fundamento matemático para construir métodos eficientes para el cálculo de raíces reales de ecuaciones no lineales.

Es también conocido como método de iteración funcional.

Punto fijo

Si g es una función continua en [a, b] y g(x) ε[a, b] para todo x ε[a, b], entonces g tiene por lo menos un punto fijo en [a, b]. Si además, g’(x) existe para todo x ε[a, b], y |g’(x)| ≤ K < 1 para todo x ε[a, b], K constante, entonces g tiene un único punto fijo x ε[a, b]. La sucesión {xn}, con n definida, se encuentra mediante la siguiente fórmula de iteración:

Teorema de punto fijo

Si el método converge, entonces la sucesión tiende hacia un valor que satisface a la ecuación x = g(x) lo cual implica que la ecuación f(x)=0 también se satisface.

4.

Repetir los pasos 2 y 3 hasta que la sucesión converja o disverja

3.

Asignar este resultado a x, sustituyendo al valor anterior.

2.

Evaluar g(x).

1.

Asignar un valor inicial a x.

La ecuación x=g(x) se usa para construir una fórmula iterativa xi+1 = g(xi), i = 0, 1, 2, 3, . . . con la que se genera una sucesión de valores xi esperando tienda a un valor que satisfaga la ecuación x = g(x):

Algoritmo DEl punto fijo

4.

En situaciones específicas las desigualdades son complejas de resolver.

3.

Existen funciones en las que no existe ϕ.

2.

En ocasiones no es fácil determinar la función ϕ.

1.

Su sensibilidad a los errores de redondeo, por ello se debe reducir a su mínima expresión la fórmula de recurrencia y así disminuir dichos errores.

Desventajas del método de punto fijo

Ejercicios planteados para la evaluación

1.- ¿Cuántas iteraciones del método de bisección hay que realizar para aproximar la solución de la ecuación x – (A−x) = 0, partiendo del intervalo [0,B] con un error menor que una centésima? HACER UN CUADRO CON DIEZ INTERACIONES.

2.- Aproximar la raíz de hasta que .Realizar un cuadro con las interacciones.

3.- Encontrar los valores iniciales xa , xb tales que f(xa) , f( xb) tienen signos opuestos, es decir: f(xa) . f( xb) < 0 , esto se puede lograr por medio de la tabulación de ambas funciones, en la siguiente función b- f(x) =x/e^x + 1 con un error absoluto del 5%

Gracias por su atención estimado profesor, feliz dia.