DAWNE SPOSOBY LICZENIA

Pierwsze urządzenia liczące

Jaśmina Wenta

Początkowo ludzie do liczenia używali palców. Wraz z rozwojem handlu (handlarze potrzebowali sposobu określania zarówno liczby sprzedanych/zakupionych dóbr, jak też ich kosztu) pojawiła się potrzeba korzystania z większych liczb i zaczęto używać kamyków i patyczków do ich oznaczania. Najpierw korzystano z systemu jedynkowego (jeden kamyk oznaczający jeden obiekt), z czasem zaczęto różnicować kształty używanych przedmiotów na oznaczenie różnych rodzajów obiektów lub różnych liczności (początki systemów pozycyjnych) – kamyki w jednym kształcie oznaczające cyfrę jedności, w innym – cyfrę dziesiątek itd. Pierwsze abakusy były bardzo nietrwałe – często rysowane w piasku lub na drewnie. Najstarszym odnalezionym przykładem abakusa jest tabliczka znaleziona w 1846 roku na wyspie Salaminie (Grecja), którą datuje się na III wiek p.n.e. Jest to marmurowa tabliczka o wysokości 149cm, szerokości 75cm i grubości 4,5cm, składająca się z dwóch grup poziomych linii (pięć w górnej części tabliczki, jedenaście w dolnej), przedzielonych pionową linią oraz trzech zestawów greckich symboli umieszczonych wzdłuż lewej, prawej oraz dolnej krawędzi płytki[3]. Abakusy nadal są powszechnie wykorzystywane przez kupców, przedsiębiorców i urzędników w Azji oraz zamiast pisemnych działań w przypadku nauczania osób niewidomych[4].

TAK BYŁO...czyli jak liczono na początku

Początkowo ludzie do liczenia używali palców. Wraz z rozwojem handlu (handlarze potrzebowali sposobu określania zarówno liczby sprzedanych/zakupionych dóbr, jak też ich kosztu) pojawiła się potrzeba korzystania z większych liczb i zaczęto używać kamyków i patyczków do ich oznaczania. Najpierw korzystano z systemu jedynkowego (jeden kamyk oznaczający jeden obiekt), z czasem zaczęto różnicować kształty używanych przedmiotów na oznaczenie różnych rodzajów obiektów lub różnych liczności (początki systemów pozycyjnych) – kamyki w jednym kształcie oznaczające cyfrę jedności, w innym – cyfrę dziesiątek itd.

ABAKUS

Pierwsze abakusy były bardzo nietrwałe – często rysowane w piasku lub na drewnie. Najstarszym odnalezionym przykładem abakusa jest tabliczka znaleziona w 1846 roku na wyspie Salaminie (Grecja), którą datuje się na III wiek p.n.e. Jest to marmurowa tabliczka o wysokości 149cm, szerokości 75cm i grubości 4,5cm, składająca się z dwóch grup poziomych linii (pięć w górnej części tabliczki, jedenaście w dolnej), przedzielonych pionową linią oraz trzech zestawów greckich symboli umieszczonych wzdłuż lewej, prawej oraz dolnej krawędzi płytki. Abakusy nadal są powszechnie wykorzystywane przez kupców, przedsiębiorców i urzędników w Azji oraz zamiast pisemnych działań w przypadku nauczania osób niewidomych. Istnieją badania wskazujące, że nawet wizualizowanie układu abakusa (szczególnie w japońskim układzie) pozwala na wykonywanie szybszych obliczeń (m.in. dlatego, że obliczenia na abakusie angażują obie półkule mózgowe, zaś pisemne – tylko lewą).

Dodawanie Aby dodać do siebie dwie liczby, odkłada się jedną z nich na abakusie, po czym rozsuwa na boki i na środku układa drugą z nich. Dodawanie polega na połączeniu i normalizacji „zapisu”, tak aby korzystać z możliwie małej liczby kamyków: jeśli na jednej wysokości po obu stronach znajduje się kamyk, oba zdejmujemy (np.: -5 + 5 = 0 lub ogólnie: - x + x = 0 = zdjęcie obu kamyków z abakusa ), z dwóch kamyków po jednej stronie pomiędzy dwiema liniami jeden zdejmujemy, drugi kładziemy na linii nad nimi ( np.: -5 + (- 5)=2*(-5)=-10 lub=ogólnie x + x = 2x = linia nad iksami ), jeśli na linii znajdą się trzy kamyki po jednej stronie, jeden kładziemy nad tą linią, a dwa przenosimy na drugą stronę (3 = 5 – 2), mając jeden kamyk na linii i drugi pod linią po drugiej stronie, dolny przekładamy na drugą stronę, górny zdejmujemy (10 – 5 = 5). Odejmowanie Ponieważ liczba ujemna jest symetrycznym odbiciem względem pionowej linii, aby uzyskać liczbę ujemną, wystarczy przemieścić kamyki na drugą stronę. Zatem aby odjąć liczbę, wystarczy dodać liczbę przeciwną

Mnożenie. Liczby mnożone układamy na dwóch abakusach (lub jednym, rozdzielając je jak w przypadku innych działań), wynik zaś budujemy na kolejnym. Zaczynamy od kamyków składających się na mnożnik ułożonych na liniach abakusa. Dla każdej pozycji: kopiujemy mnożną na abakus wynikowy, za linię jednostek przyjmując linię, na której znajduje się kamyk mnożnika przez który mnożymy. Zdejmujemy kamyk z mnożnika i normalizujemy dotychczasowy wynik. Gdy wyczerpiemy kamyki znajdujące się na liniach wyznaczających potęgi 10, pozostaje pomnożyć przez kamyki w pozycjach pomiędzy liniami. W tym celu mnożymy mnożnik przez 2 (przesuwając pozostałe kamyki na linie znajdujące się bezpośrednio nad nimi), mnożną zaś dzielimy przez 2: jeśli na danej wysokości były dwa kamyki, zdejmujemy jeden z nich, kamyk z linii zastępujemy jednym położonym w przestrzeni poniżej (o dwukrotnie mniejszej wartości), kamyk z przestrzeni pomiędzy liniami zastępujemy dwoma położonymi na linii poniżej i jednym położonym na przestrzeni poniżej (np. 50 zastępujemy poprzez 2*10 + 5). Dzielenie na abakusie bazuje na mnożeniu. W miejscu wyniku mnożenia pojawia się dzielna, w miejscu mnożnej – dzielnik. Obliczenie polega na dobieraniu możliwie najwyższej pozycji kamyka w wyniku (miejsce mnożnika przy mnożeniu) i odejmowaniu wartości uzyskanej z pomnożenia tej pozycji przez dzielnik od dzielnej. Jeśli dzielna w trakcie obliczeń stanie się ujemna, następny kamyk ustawiamy po ujemnej stronie wyniku i postępujemy analogicznie

SOROBAN

Soroban, liczydło będące odpowiednikiem europejskiego abakusa, dotarł do Japonii z Chin w XV wieku. Liczydło to składa się z 23 lub 27 linii przeciętych poprzeczną belką. Szkolny soroban ma 13 rzędów dziesiętnych, które podobnie jak w tradycyjnym liczydle oznaczają (patrząc od prawej) jedności, dziesiątki, setki itd. Koraliki nad belką nazywa się koralikami nieba, a te poniżej - koralikami ziemi. Polscy nauczyciele pracujący z sorobanem używają terminów palce (koraliki ziemi) i piąstka (koraliki nieba). Żeby wyzerować soroban trzeba koraliki ziemi i nieba rozsunąć jak najdalej od siebie. Obliczeń na sorobanie dokonuje się poprzez przesuwanie koralików do lub od belki poprzecznej. Każdy z koralików poniżej belki poprzecznej ma wartość równą 1, a powyżej niej wartość równą 5. Każda pionowa linia koralików przedstawia jedną cyfrę w liczbie. Dziesięć kombinacji położeń koralików na jednej linii odpowiada dziesięciu cyfrom: od 0 do 9. Soroban umożliwia nie tylko dodawanie i odejmowanie, ale także mnożenie i dzielenie.

Im większe liczby występują w obliczeniu, tym szybsza jest metoda liczenia na sorobanie. Wyobraźmy sobie: 1 milion wymaga przesunięcia na sorobanie 1 koralika, podczas gdy w kalkulatorze należy wcisnąć 7 cyfr.

Składa się z 23 lub 27 linii przeciętych poprzeczną belką. W jednej linii znajdują się 4 koraliki poniżej belki i 1 koralik powyżej niej. Obliczeń dokonuje się poprzez przesuwanie koralików do lub od belki poprzecznej. Każda pionowa linia przedstawia 1 cyfrę w liczbie. Każdy z koralików poniżej belki poprzecznej ma wartość równą 1, a powyżej niej wartość równą 5. Dziesięć kombinacji położeń koralików na jednej linii odpowiada dziesięciu cyfrom:

LICZBY OD 0 DO 9 NA SOROBANIE

LICZYDŁO

Liczydło – przyrząd wspomagający obliczenia w dawnych czasach. Zwykle w postaci deski z wyżłobieniami, w których umieszczano kamyki, czy też pręciki z koralikami. Każdy z rowków lub pręcików oznaczał pewną potęgę dziesięciu. Zasada liczenia opierała się na przesuwaniu kamyków bądź koralików. Liczydło zostało wyparte przez kalkulator.

Po zakończeniu każdej operacji dodawania lub odejmowania, ciąg koralików po lewej stronie może maksymalnie liczyć dziewięć koralików. Dosunięcie kolejnego koralika do tej grupy może być tylko przejściowe i pociągną za sobą zmianę całej grupy na koralik o jeden rząd wyżej. Podobnie się dzieje kiedy odsuwamy koraliki w prawo i zabraknie ich po lewej stronie, wtedy zmieniamy jeden koralik z sąsiedniego rzędu wyżej na grupę 10 koralików w rzędzie niżej, od której zaraz odejmujemy brakujące do zakończenia operacji koraliki. Również w tej sytuacji nie pozostawiamy po zakończeniu operacji 10 koralików.