Funzioni

Presentation by Giulia Terranova

funzioni e limiti

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LE FUNZIONI

CHE COS'É UNA FUNZIONE

Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti) di R, una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B.

f: A -> B

Il dominio naturale (o campo di esistenza) della funzione y = f(x) è l’insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinché esista il corrispondente valore reale y.

Un numero reale a è uno zero della funzione y=f(x) se f(a)=0 Nel grafico f(x) gli zeri sono le ascisse dei punti di intersezione con l'asse x. Gli eventuali punti di intersezione con l'asse y si ottengono calcolando y=f(0), se x=0 appartiene al dominio di f. È possibile anche studiare il segno di una funzione y=f(x), cioè cercare per quali valori di x appartenenti al dominio il corrispondente valore di y è positivo, e per quali è negativo. Per esempio, la funzione y=2x-6 risulta positiva per x > 3, nulla per x=3, negativa per x < 3.

Grafici delle funzioni

+ traslazioni

+ DIlatazioni

+ Simmetrie

Funzioni

Una funzione da A a B è: • iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A; • suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A; • biunivoca (o biiettiva) se è sia iniettiva sia suriettiva.

FUNZIONI

+ decrescenti

+ monotone

+ periodicche

+ crescenti

+ dispari

+ PAri

Proprietà principali funzioni trascendenti

+ esponenziale

+ logaritmica

+ seno

+ cotangente

+ tangente

+ coseno

Funzione inversa

Data la funzione biunivoca y = f(x) da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biunivoca x = f-1(y) da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f(x).

Section

I LIMITI

Intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo illimitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale. Un intervallo può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo.

Intorni di un punto

Dato un numero reale x0, un intorno completo x0 è un qualunque intervallo aperto I (x0) contenente x0:

Intorni di un punto

Dato un numero reale x0, un intorno completo x0 è un qualunque intervallo aperto I (x0) contenente x0:

Intorni circolari

Dati un numero reale x 0 e un numero reale positivo delta, un intorno circolare di x0, di raggio delta, è l’intervallo aperto Id(x0) di centro x0 e raggio d:

Intorno destro e intorno sinistro

Dato un numero d appartenente a R+, chiamiamo: • intorno destro di x0 l’intervallo Idelta+(x0) = ]x0;x0 + d[; • intorno sinistro di x0 l’intervallo Idelta-(x0) = ]x0 - d; x0[.

Intorni d'infinito

Dati a,b ∈ R, con a<b, chiamiamo: intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente; I (-∞) = ]-∞;a[ = {x∈R| x<a} intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente; I (+∞) = ]b; +∞[ ={x∈R| x>b} Si definisce inoltre intorno di infinito l’unione tra un intorno di -∞ e un intorno di +∞, cioè: I (∞) = I (-∞) U I (+∞) = {x∈R| x<a U x>b}

Comparison

Esistono insiemi numerici che non sono intervalli. Le proprietà di essere limitato o illimitato non è attribuibile solo agli intervalli, ma anche a un qualunque insieme numerico.

INSIEMI ILLIMITATI

INSIEMI LIMITATI

Estremi di un insieme

ESTREMO SUPERIORE

ESTREMO INFERIORE

LE LORO PROPRIETÁ

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Sia x0 appartenente a un sottoinsieme A di R. x0 è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I di x0 che non contiene altri elementi di A diversi da x0.Per verificare che un punto di un insieme isolato basta determinare un solo intorno di quel punto che non contenga altri punti dell'insieme.

Punti di accumulazione

Il numero reale x0 è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di R, ogni intorno completo di x0 contiene infiniti punti di A. Si dimostra che è equivalente alla definizione data dire che x0 è un punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x0 contiene almeno un elemento di A distinto da x0.

imite finito di x tendente ad x0

(lim)┬(x→x_0 ) f(x)=l se ∀ε>0,∃I(X0)>0: |f(x)–l|<ϵ, ∀X∈I(X0),X≠X0

FUNZIONI CONTINUE

Una funzione è continua in un punto X0 del suo dominio se:

Una funzione è continua nel suo dominio quando è continua in ogni punto del suo dominio.

CALCOLO DEI LIMITI E CONTINUITA’ DELLE FUNZIONI

LIMITI DI FUNZIONI ELEMENTARI

operazioni dei limiti

LIMITE DEL PRODOTTO

LIMITE DELLA POTENZA

LIMITE DELLA SOMMA

LIMITE DELLA QUOZIENTE

LIMITE DELLA POTENZA

Forme indeterminate

Limiti notevoli

Infinitesimi ed infiniti

Si dice che f/x) é infinitesima se per X-> +∞ o X-> -∞ è uguale a 0. Si dice che f(x) é infinita, se per X-> +∞ o X-> -∞ è uguale a -∞; +∞; ∞.

Punti di discontinuità in una funzione

I punti di discontinuità sono i punti in cui la funzione non è continua. Vi sono essenzialmente tre tipi di punti di discontinuità: • I SPECIE o discontinuità a salto: se il limite destro e il limite sinistro sono finiti ma non uguali. La differenza di l1 e l2 è il salto della funzione. • II SPECIE: se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, è infinito oppure non esiste. • III SPECIE: se i due limiti sinistro e destro esistono finiti e sono uguali tra loro, ma non coincidono con la valutazione della funzione nel punto.

Asintoti

Una retta è un asintoto se la distanza di un punto del grafico tende a 0 quando l’ascissa o l’ordinata del punto tendono a ∞.

ASINTOTO VERTICALE

ASINTOTO ORIZZONTALE

ASINTOTO OBLIQUO

GRAFICO DI UNA PROBABILE FUNZIONE 1. DETERMINARE IL DOMINIO 2. SIMMETRIE 3. INTERSEZIONI CON GLI ASSI 4. POSITIVITA’ 5. LIMITI AGLI ESTREMI DEL DOMINIO E PUNTI DI DISCONTINUITA’ 6. ASINTOTI

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Derivate

Derivata sinistra e destra

Funzione derivabile

Derivate fondamentali

Derivate composte

Derivata di ordine superiore al primo

Indichiamo la derivata di ordine n di una funzione y=f(x) con y^n. La derivata seconda è la derivata della derivata prima e così via…

Retta tangente

L’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (x0; f(x0)) è

Punto stazionario

Si dice punto stazionario per la funzione f(x) un punto x0 in cui la derivata della funzione è nulla.

Retta normale

E’ la retta perpendicolare alla tangente per il punto. L’equazione è:

Punti di non derivabilità

Applicazioni alla fisica

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teorema di rolle

teorema di de l'hospital

teorema di lagrange

Massimi, minimi e flessi

PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO

PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO

PUNTO DI MASSIMO RELATIVO

PUNTO DI MINIMO RELATIVO

Concavità

• In x0 f(x) ha la concavità rivolta verso l’alto (verso il semiasse positivo delle y) se ∃I(x0):∀x∈I(x0)-{x0}->f(x)> t(x).

• In x0 f(x) ha la concavità rivolta verso il basso (verso il semiasse negativo delle y) se ∃I(x0):∀x∈I(x0)-{x0}-> f(x)< t(x).

Flessi

Una funzione presenta un flesso in x0 se in tale punto il grafico di f(x) cambia concavità. Se in un punto flesso esiste la retta tangente, il flesso viene detto: • Orizzontale se la tangente è parallela all’asse x • Verticale se la tangente è parallela all’asse y • Obliquo se la tangente non è parallela a uno degli assi Se il grafico della funzione ha la concavità verso il basso a sinistra del punto flesso e verso l’alto a destra, il flesso è ascendente. Se il grafico della funzione ha la concavità verso l’alto a sinistra del punto flesso e verso il basso a destra, il flesso è discendente

Calcolo

Studio delle funzioni

1. DETERMINARE IL DOMINIO 2. SIMMETRIE 3. INTERSEZIONI CON GLI ASSI 4. POSITIVITA’ 5. ASINTOTI 6. DERIVATA PRIMA 7. DERIVATA SECONDA

Integrali

A ogni valore di c corrisponde una curva. Tutte le funzioni hanno la stessa derivata  nei punti con la stessa ascissa hanno tangenti parallele

Integrale indefinito

Si legge: “integrale indefinito di f(x) in dx” x-> variabile di integrazione f(x) -> funzione integranda

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Per c=0 si ottiene F(X) che si chiama Primitiva Fondamentale. Una funzione si dice integrabile se ammette una primitiva (e quindi infinite).

L’integrale è un OPERATORE LINEARE cioè: