ŚWiat frkatali
PREZENTACJA MARII O. Z KLASY 8C
01 Czym są fraktale?
02 Historia
SPIS TREŚCI
03 Najczęstrze sposoby generowania fraktali
04 Występowanie fraktali
05 Polski twórca fraktali
06 Znane fraktale w matematyce
07 Znane fraktale w grafice komputerowej
08 Podsumowanie
01
Co to Są fraktale ?
FRaktal - Definicja
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo „nieskończenie złożony” (ukazujący coraz bardziej złożone detale w dowolnie wielkim powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie wyznaczone charakterystyki albo przynajmniej ich większość.
CHARAKTERYSTYKA FRAKTALA
-ma nietrywialną strukturę w każdej skali -struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej -jest samopodobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym - jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny - ma względnie prostą definicję rekurencyjną - ma naturalny („poszarpany”, „kłębiasty” itp.) wygląd.
02
hISTORIA
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez Benoît Mandelbrota w latach 70. XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Carathéodory’ego i Felixa Hausdorffa.
Zbiór Mandelbrota (żuk Mandelbrota, żuczek Mandelbrota) - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali. Nazwa tego obiektu została wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, francuskiego matematyka Benoit Mandelbrota.
Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lévy, a także Donald Knuth. Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abraham Bezikowicz, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłego wieku. Mandelbrot, używając komputera do wizualizacji, uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności tego zagadnienia zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach, zwłaszcza poza matematyką, np. obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta z wbudowanej anteny fraktalnej.
PRZYKŁAD ZBIORU JULII
03
Najczęstsze sposoby generowania fraktali
W praktyce aby wygenerować fraktal stosuje się algorytm iteracji losowej zwany grą w chaos. Polega on na tym, że wybieramy dowolny punktx i transformujemy go wiele razy, za każdym razem losując odpowiednio przekształcenie F1.
Procedurę tę powtarzamy np. kilka tysięcy razy. W szczególnych przypadkach dla efektu wizualnego może być istotny sposób losowania przekształceń. Fi, i=1,...,4 Np. dla paproci Barnsleya przekształcenia losuje się z częstościami 85%, 7%, 7%, 1% odpowiednio.
Atraktory IFS
Najprostszą metodą tworzenia fraktali jest wykorzystanie zbioru przekształceń afinicznych będących przekształceniami zwężającymi (kontrakcjami). Transformując dowolny, niepusty zbiór S zgodnie z regułą (tworząc ciąg zbiorów):
W granicy otrzymujemy:
atraktor układu, który w szczególności może być fraktalem.
Zbiór nazywamy w tym przypadku systemem przekształceń literowanych (IFS), zaś otrzymany w powyższej granicy fraktal jest atraktorem tego systemu. Jego istnienie wynika z twierdzenia Banacha o punkcie stałym odwzorowania zwężającego.
04
Występowanie Fraktali
Fraktale w Przyrodzie
Wielu badaczy twierdzi, że geometria fraktali jest geometrią przyrody. W chmurach, liniach brzegowych lądów, łańcuchach górskich, płatkach śniegu, drzewach, pianie
mydlanej można odkryć kształty fraktali. Nie po raz pierwszy okazuje się, że natura od dawna wykorzystuje to, co człowiek dopiero odkrył. Kalafiory i brokuły może nie są klasycznymi matematycznymi fraktalami; jednak ich budowa, jak w klasycznych figurach fraktalnych, tworzy arcydzieło samopodobieństwa: główki tych roślin składają się z różyczek, które po oddzieleniu od reszty przypominają w pomniejszeniu całą główkę. Części te mogą być znów podzielone na mniejsze jeszcze części, też podobne do poprzednich. Proces ten kończymy, kiedy różyczki kalafiora i brokuły stają się za małe by je dzielić. Na każdym etapie występuje podobieństwo do pierwszej struktury.
Liście paproci
Aloes
Amonity
Góry
Płateki śniegu
Delty rzek
Faraktale w nauce
Teorią fraktali zajmują się dziś nie tylko matematycy ale również fizycy, mechanicy, ekonomiści i specjaliści z innych dziedzin.
Oto przykład fraktala matematyka:
Płatek śniegu W 1904 roku szwedzki matematyk Helge von Koch skonstruował dziwna figurę, która z wyglądu przypomina płatek śniegu. Konstrukcja ta powstała z trójkąta równobocznego, którego każdy bok dzielimy na trzy równe części, doklejając do części środkowej trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym niż bok trójkąta wyjściowego . Każdy bok małego trójkąta znów dzielimy na trzy równe części, do części środkowych doklejając trójkąty równoboczne o boku trzy razy krótszym niż poprzednio. Kontynuując to postępowanie otrzymujemy figurę podobną do płatka śniegu. Jej brzeg nazwano „krzywą Kocha
Fraktale w szkolnictwie
Już w szkole podstwaowej uczniowe poznają konstrukcje najprostszych fraktali.
Najpopularniejszym programem, używanym w szkole, jest prosty w obsłudze "scrath"
05
Polski twórca fraktali
Wacław Sierpiński
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoît Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana właśnie przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915r.
Dywan Sierpińskiego – fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.
06
znane fraktale w matematyce
Płatek Kocha
Krzywe smocze
Kostka Mengera
Paproć Barnsleya
4 etap konstrukcji krzywej Sierpińskiego
Krzywa C Lévy’ego
07
Znane fraktale w Grafice komputerowej
08
Podsumowanie
Fraktal z języka łacińskiego oznacza coś „złamanego” i „cząstkowego”. Najważniejszą cechą fraktali jest samo podobieństwo – są to obiekty, które mogą być nieskończenie złożone i składające się z identycznych struktur. Fraktale występują w wielu dziedzinach życia np. matematyce, przyrodzie, informatyce. Polak, Włacław Sierpiński stworzył fraktale znane na całym świecie.
Linki
źródła wiedzy:
http://sp236gim61.neostrada.pl/publikacje/BBogucka.htm
https://ciekawe.org/2015/11/02/fraktalne-wzory-w-przyrodzie/
https://fiboteamschool.pl/fraktal-co-to-jest/
https://pl.wikipedia.org/wiki/Fraktal
dziękuję za uwagę
FRAKTAL
Maria Oluszcz
Created on May 6, 2021
Start designing with a free template
Discover more than 1500 professional designs like these:
View
Visual Presentation
View
Vintage Photo Album
View
Animated Chalkboard Presentation
View
Genial Storytale Presentation
View
Higher Education Presentation
View
Blackboard Presentation
View
Psychedelic Presentation
Explore all templates
Transcript
ŚWiat frkatali
PREZENTACJA MARII O. Z KLASY 8C
01 Czym są fraktale?
02 Historia
SPIS TREŚCI
03 Najczęstrze sposoby generowania fraktali
04 Występowanie fraktali
05 Polski twórca fraktali
06 Znane fraktale w matematyce
07 Znane fraktale w grafice komputerowej
08 Podsumowanie
01
Co to Są fraktale ?
FRaktal - Definicja
Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo „nieskończenie złożony” (ukazujący coraz bardziej złożone detale w dowolnie wielkim powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie wyznaczone charakterystyki albo przynajmniej ich większość.
CHARAKTERYSTYKA FRAKTALA
-ma nietrywialną strukturę w każdej skali -struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej -jest samopodobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym - jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny - ma względnie prostą definicję rekurencyjną - ma naturalny („poszarpany”, „kłębiasty” itp.) wygląd.
02
hISTORIA
Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez Benoît Mandelbrota w latach 70. XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. Bardziej systematycznie fraktalami zajmowała się geometryczna teoria miary, mająca swoje początki w pracach Constantina Carathéodory’ego i Felixa Hausdorffa.
Zbiór Mandelbrota (żuk Mandelbrota, żuczek Mandelbrota) - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali. Nazwa tego obiektu została wprowadzona dla uhonorowania jego odkrywcy, francuskiego matematyka Benoit Mandelbrota.
Szczególnymi fraktalami – nie nazywając ich po imieniu – zajmowali się Georg Cantor, Giuseppe Peano, Wacław Sierpiński, Paul Lévy, a także Donald Knuth. Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abraham Bezikowicz, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20. zeszłego wieku. Mandelbrot, używając komputera do wizualizacji, uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności tego zagadnienia zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach, zwłaszcza poza matematyką, np. obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta z wbudowanej anteny fraktalnej.
PRZYKŁAD ZBIORU JULII
03
Najczęstsze sposoby generowania fraktali
W praktyce aby wygenerować fraktal stosuje się algorytm iteracji losowej zwany grą w chaos. Polega on na tym, że wybieramy dowolny punktx i transformujemy go wiele razy, za każdym razem losując odpowiednio przekształcenie F1.
Procedurę tę powtarzamy np. kilka tysięcy razy. W szczególnych przypadkach dla efektu wizualnego może być istotny sposób losowania przekształceń. Fi, i=1,...,4 Np. dla paproci Barnsleya przekształcenia losuje się z częstościami 85%, 7%, 7%, 1% odpowiednio.
Atraktory IFS
Najprostszą metodą tworzenia fraktali jest wykorzystanie zbioru przekształceń afinicznych będących przekształceniami zwężającymi (kontrakcjami). Transformując dowolny, niepusty zbiór S zgodnie z regułą (tworząc ciąg zbiorów):
W granicy otrzymujemy:
atraktor układu, który w szczególności może być fraktalem.
Zbiór nazywamy w tym przypadku systemem przekształceń literowanych (IFS), zaś otrzymany w powyższej granicy fraktal jest atraktorem tego systemu. Jego istnienie wynika z twierdzenia Banacha o punkcie stałym odwzorowania zwężającego.
04
Występowanie Fraktali
Fraktale w Przyrodzie
Wielu badaczy twierdzi, że geometria fraktali jest geometrią przyrody. W chmurach, liniach brzegowych lądów, łańcuchach górskich, płatkach śniegu, drzewach, pianie mydlanej można odkryć kształty fraktali. Nie po raz pierwszy okazuje się, że natura od dawna wykorzystuje to, co człowiek dopiero odkrył. Kalafiory i brokuły może nie są klasycznymi matematycznymi fraktalami; jednak ich budowa, jak w klasycznych figurach fraktalnych, tworzy arcydzieło samopodobieństwa: główki tych roślin składają się z różyczek, które po oddzieleniu od reszty przypominają w pomniejszeniu całą główkę. Części te mogą być znów podzielone na mniejsze jeszcze części, też podobne do poprzednich. Proces ten kończymy, kiedy różyczki kalafiora i brokuły stają się za małe by je dzielić. Na każdym etapie występuje podobieństwo do pierwszej struktury.
Liście paproci
Aloes
Amonity
Góry
Płateki śniegu
Delty rzek
Faraktale w nauce
Teorią fraktali zajmują się dziś nie tylko matematycy ale również fizycy, mechanicy, ekonomiści i specjaliści z innych dziedzin.
Oto przykład fraktala matematyka:
Płatek śniegu W 1904 roku szwedzki matematyk Helge von Koch skonstruował dziwna figurę, która z wyglądu przypomina płatek śniegu. Konstrukcja ta powstała z trójkąta równobocznego, którego każdy bok dzielimy na trzy równe części, doklejając do części środkowej trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym niż bok trójkąta wyjściowego . Każdy bok małego trójkąta znów dzielimy na trzy równe części, do części środkowych doklejając trójkąty równoboczne o boku trzy razy krótszym niż poprzednio. Kontynuując to postępowanie otrzymujemy figurę podobną do płatka śniegu. Jej brzeg nazwano „krzywą Kocha
Fraktale w szkolnictwie
Już w szkole podstwaowej uczniowe poznają konstrukcje najprostszych fraktali.
Najpopularniejszym programem, używanym w szkole, jest prosty w obsłudze "scrath"
05
Polski twórca fraktali
Wacław Sierpiński
Trójkąt Sierpińskiego (znany też jako uszczelka Sierpińskiego) – jeden z najprostszych fraktali. Znany był na długo przed powstaniem tego pojęcia (patrz Benoît Mandelbrot). Konstrukcja tego zbioru była podana właśnie przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego w 1915r.
Dywan Sierpińskiego – fraktal otrzymany z kwadratu za pomocą podzielenia go na dziewięć (3x3) mniejszych kwadratów, usunięcia środkowego kwadratu i ponownego rekurencyjnego zastosowania tej samej procedury do każdego z pozostałych ośmiu kwadratów.
06
znane fraktale w matematyce
Płatek Kocha
Krzywe smocze
Kostka Mengera
Paproć Barnsleya
4 etap konstrukcji krzywej Sierpińskiego
Krzywa C Lévy’ego
07
Znane fraktale w Grafice komputerowej
08
Podsumowanie
Fraktal z języka łacińskiego oznacza coś „złamanego” i „cząstkowego”. Najważniejszą cechą fraktali jest samo podobieństwo – są to obiekty, które mogą być nieskończenie złożone i składające się z identycznych struktur. Fraktale występują w wielu dziedzinach życia np. matematyce, przyrodzie, informatyce. Polak, Włacław Sierpiński stworzył fraktale znane na całym świecie.
Linki
źródła wiedzy:
http://sp236gim61.neostrada.pl/publikacje/BBogucka.htm
https://ciekawe.org/2015/11/02/fraktalne-wzory-w-przyrodzie/
https://fiboteamschool.pl/fraktal-co-to-jest/
https://pl.wikipedia.org/wiki/Fraktal
dziękuję za uwagę