Matematica ,Lucia Cunto

Funzioni

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DEFINIZIONE

01

Dati due sottoinsiemi A e B(non vuoti)di R,una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B. Scriviamo: f : A→B Se a x ∈ A la funzione f associa y ∈ B, si dice che y è immagine di x mediante f.La legge che definisce la funzione f molto spesso viene indicata con l'equazione y=f(x), detta espressione analitica della funzione. In una funzione y=f(x), (è detta forma esplicita),x è detta controimmagine di y. x è detta variabile indipendente e y è detta variabile dipendente.Una funzione può essere anche indicata con un'espressione del tipo f(x;y)=0,detta forma implicita. A viene detto dominio della funzione, e si indica anche con la D,mentre il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio o immagine di A e si indica con C o con f(A) o con I. Di una funzione f possiamo disegnare i grafico, cioè l'insieme dei punti P(x;y) del piano cartesiano tali che y è immagine di x mediante f,ossia l'insieme dei punti P(x;f(x)).Del grafico possiamo cercare le intersezioni con gli assi , che si detrminano mettendo a sistema l'equazione della funzione con y=0(equazione dell'asse z) o con x=0( equazione dell'asse y). Alcune funzioni ,dette funzioni definite a tratti,date da espressioni analitiche diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente. Un esempio è e

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la funzione valore assoluto

la funzione parte intera.

Classificazione delle funzioni

Se l'espressione analitica che descrive una funzione contiene soltanto operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione , divisione, elevamento a potenza o estrazione di radice,la funzione è algebrica. Una funzione algebrica può essere:

• razionale intera o polinomiale,se è espressa mediante un polinomio nella variabile indipendente. In particolare se il polinomio è di primo grado rispetto alla variabile x ,la funzione è lineare, se il polinomio in x è di secondo grado,la funzione è quadratica;

• razionale fratta ,se è espressa mediante quozienti di polinomi in x;

• irrazionale,se la variabile indipendente compare sotto il segno di radice.

Se una funzione y=f(x) non è algebrica,si dice trascendente.

Dominio di una funzione

Il dominio naturale (o campo di esistenza) della funzione y=f(x) è l'insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinchè esista il corrispondente valore reale y.Chiamiamo il dominio naturale anche soltanto dominio e lo indichiamo con D.

Funzioni razionali intere:

Funzioni razionali fratte:

Funzioni irrazionali indice pari:

Funzioni irrazionali indice dispari:

Dominio di una funzione (2)

Funzioni logaritmiche:

Funzioni esponenziali 1:

Funzioni esponenziali 2:

Funzioni esponenziali 3:

Funzioni goniometriche 1:

Funzioni goniometriche 2:

Funzioni goniometriche 3:

Funzioni goniometriche 4:

Funzioni goniometriche 5:

Funzioni uguali

y=f(x) e y=g(x) sono funzioni uguali se hanno lo stesso dominio D e f(x)=g(x) per ogni x ∈ D

Zeri e

segno di una funzione

Un numero reale a è uno zero della funzione y=f(x) se f(a)=0Nel grafico di f(x) gli zeri sono le ascisse dei punti di intersezione con l'asse x. Gi evetuali punti di intersezione con l'asse y si ottengono calcolando y=f(0),se x=0 appartiene al dominio di f. E' possibile anche studiare il segno di una funzione y=f(x),cioè cercare per quali valori di x appartenenti al dominio il corrispondente valore di y è positivo , e per quali è negativo.

Grafici delle funzioni e trasformazioni geometriche

Traslazioni

Dilatazioni

Grafici delle funzioni e trasformazioni geometriche

Simmetrie

Proprietà delle funzioni

Una funzione da A a B è:

• iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A;
• suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A;
• biunivoca( o biiettiva) se è sia iniettiva sia suriettiva.

y=f(x) di dominio D C R è una funzione crescente in senso stretto in un intervallo I , sottoinsieme di D,se,comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I,con x1<x2 risulta f(x1)<f(x2). y=f(x) di dominio D C R è una funzione decrescente in senso stretto in un intervallo I , sottoinsieme di D,se,comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I,con x1<x2 risulta f(x1)>f(x2). Una funzione di dominio D C R è monotòna in senso stretto in un intervallo I,sottoinsieme di D,se in quell'intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto.Analoga definizione può essere data per una funzione monotòna in senso lato. y=f(x) è una funzione periodica di periodo T,con T>0,se,per qualsiasi numero k intero,si ha : f(x)=f(x+kT). Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che,se x ∈ D,allora -x ∈ D. y=f(x) è una funzione pari in D se f(-x)=f(x) per qualunque x appartenente a D. Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che,se x ∈ D,allora -x ∈ D. y=f(x) è una funzione dispari in D se f(-x)=-f(x) per qualunque x appartenente a D.

Proprietà delle principali funzioni trascendenti

Funzione inversa

GRAFICI

Data la funzione biunivoca y=f(x) da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biunivoca x=f (y) da B ad A che associa a ogni y di b il valore x di A tale che y=f(x). Se una funzione ammette inversa,si dice che è invertibile. Se una funzione f(x)non è biunivoca in A,è possibile effettuare una restrizione D' del dominio in cui sia biunivoca .Per l'invertibilità è sufficiente scegliere in A un sottoinsieme D' in modo che f(x)sia inniettiva in D',perchè f(x)è surriettiva se come insieme B di arrivo vi è l'immagine di f(x). Il grafico di una funzione e quello della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

-1

Funzione composta

Date le funzioni f e g,la funzione composta g f associa a ogni x del dominio di f che ha immagine f(x) nel dominio di g il valore y=g[f(x)]. In generale ,g f ≠ f g

LIMITI Di Funzioni

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Intervalli

Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta ( intervallo illimitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale. Un intervallo può essere chiuso o aparto ,a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo.

Intervalli illimitati , corrispondono a semirette di origine a;uno degli estremi dell'intervallo è a ,mentre l'altro estremo lo indichiamo con i simboli +∞ o -∞. L'insieme dei numeri reali "R" corrisponde all'intervallo ]-∞,+∞[.

Intervalli limitati , corrispondo a segmenti della retta reale aventi estremi a e b e lunghezza b-a, che viene detta ampiezza dell'intervallo.I valori b-a/2 e b+a/2 sono rispettivamente il raggio e il centro dell'intervallo.

Intorni di un punto

Dato un numero reale xo , un intorno completo di xo è un qualunque intervallo aperto I(xo) contenente xo: I(xo)=]xo-δ1;xo+d2[, con δ1,δ2 numeri reali positivi.

Dati un numero reale xo e un numero reale positivo δ,un intorno circolare di xo,di raggio δ,è l'intervallo aperto Iδ(xo) di centro xo e raggio δ: Iδ(xo)=] xo-δ; xo+δ[.

L'intersezione e l'unione di due o più intorni completi, e in particolare circolari,di xo sono ancora degli intorni completi,e in particolare circolari,di xo.

Intorno destro o intorno sinistro di un punto

Dato un numero δ ∈ R+,chiamiamo:

• intorno destro di xo,l'intervallo I+δ(xo)=]xo;xo+δ[;
• intorno sinistro di xo,l'intervallo I-δ(xo)=]xo-δ;xo[.

Intorni di infinito

Dati a,b ∈ R, con a < b, chiamiamo: intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente:I(-∞)=]-∞,a[={ x ∈ R:x <a}; intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente: I(+∞)=]b;+∞[={ x ∈ R:x >b} Si definisce inoltre intorno di infinito l'unione tra un intorno di -∞ e un intorno di +∞,cioè: I(∞)=I(-∞) U I(+∞)={ x ∈ R:x <a V x >b}. Analogamente al caso di un numero reale xo,possiamo parlare di intorno circolare di infinito: Ic(∞)=]-∞;-c[U]c;+∞[, con c ∈ R+

Insiemi limitati e illimitati

• Un insieme numerico F c R è detto:
• superiormente limitato se è possibile determinare un numero reale α,non necessariamente appartenente a F,tale che x ≤ α F ;il numero α è detto un maggiorante di F;
• inferiormente limitato se è possibile determinare un numero reale β , non necessariamente appartenente a F,tale che x ≥ β F; il numero β è detto un minorante di F;
• limitato se è limitato sia superiormente sia inferiormente , cioè se esiste un intervallo limitato che lo contiene.Cioè F è limitato se esiste un numero reale positivo k tale |x|≤ k F.

Un insieme numerico F c R è detto:

• illimitato superiormente se,scelto ad arbitrio un numero reale m,è possibile trovare qualche elemento di F maggiore di m,ossia m ∈ R x ∈ F tale che x>m,(l'insiemi dei numeri pari);
• illimitato inferiormente se ,scelto ad arbitrio un numero reale m,è possibile trovare qualche elemento di F minore di m,ossia m ∈ R x ∈ F tale che x < m,(l'insieme dei numeri razionali minori di 3);
• illimitato se è illimitato superiormente e inferiormente.

Estremi di un insieme

Dato un insieme E c R superiormente limitato, l'estremo superiore di E è quel numero reale M tale che :

• x ≤ M , E ;

• ε > 0 x ∈ E tale che x > (M-ε).

Dove , M è un maggiorante di E;e qulunque sia ε(ε< 0),è possibile trovare almeno un elemento di E maggiore di (M- ε):M è il più piccolo maggiorante di E. L'estremo superiore può appartenere o non appartenere all'insieme;nel primo caso è detto anche "massimo". L'estremo superiore di un insieme E c R non vuoto e superiormente limitato esiste sempre ed è unico.

Dato un insieme E c R non vuoto e inferiormente limitato,l'estremo inferiore di E è quel numero reale L tale che:

• x ≥ L, E ;

• ε > 0 x ∈ E tale che x < (L-ε).

Dove ,L è un minorante di E; e qualunque sia ε(ε > 0),è possibile trovare un elemento di E minore di (L+ ε):L è il più grande minorante di E. L'estremo inferiore può appartenere o non appartenere all'insieme;nel primo caso è detto anche "minimo". L'estremo inferiore di un insieme E c R non vuoto e inferiormente limitato esiste sempre ed è unico.

PUNTI ISOLATI

Sia xo appartenente a un sottoinsieme A di R.xo è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I di xo che non contiene altri elementi di A diversi da xo. Per verificare che un punto di un insieme è isolato basta determinare un solo intorno di quel punto che non contenga altri punti dell'insieme stesso.

PUNTI DI ACCUMULAZIONE

Il numero reale xo è un punto di accumulazione di A,sottoinsieme di R, se ogni intorno completo di xo contiene infiniti punti di A.

Significato di limite di funzione

Consideriamo la funzione y=f(x),definita nell'insieme D,e studiamo il suo comportamento quando x assume valori prossimi a xo,punto di accumulazione per D. In base al grafico ,se x si avvicina a xo,f(x) si avvicina ad l,ma in questo caso l non coincide con f(xo),perchè xo non appartiene a D. Più scegliamo x vicino al valore xo e più la sua immagine f(x)si avvicina a un certo valore l.

Studiamo il comportamento della funzione vicino al punto xo=3.Poichè f(x) non è definita in 3,non ha senso considerare f(3).Cerchiamo a quale valore di l si avvicina la funzione quando x si approssima al valore .

Vediamo che quanto più x si avvicina a 3;tanto più f(x) si avvicina al valore 6. Considerato un qualunque intorno circolare di 6 di ampiezza ε, che indichiamo con I (6),esiste sempre

un intorno di 3 i cui punti x (con x ≠ 3) hanno immagine f(x) contenuta in I (6).

Infatti i punti di tale intorno sono quei valori di x che soddisfano la disequazione | f(x)-6| < ε.

Cliccando sulla freccia vediamo dei grafici e da questi osserviamo che i valori di f(x) si trovano sempre più vicini a 6. Diciamo allora che "per x che tende a 3,f(x) ha limite 6" e scriviamo :

01

DEFINIZIONE

Limite finito per x che tende a xo

La funzione f(x) ha per limite il numero reale l, per x che tende a xo,quando,comunque si scelga un numero reale positivo ε, si può determinare un intorno (circolare) completo I di xo tale che |f(x) - l |< ε per ogni x appartenente a I , diverso (al più) da xo.Si scrive :

La validità di |f(x) - l |< ε presuppone che f(x) sia definita in tutti i punti dell'intorno I(xo) (escluso al più xo).IL punto xo è di accumulazione per il dominio della funzione.Non interessa il valore che la funzione f(x) assume eventualmente in xo.

Funzioni continue

Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e xo un punto interno all'intervallo.La funzione f(x) è continua nel puto xo quando esiste il limite di f(x) per x →xo e tale limite è uguale al valore f(xo) della funzione calcolata in xo:

F è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni punto di D. (funzioni che hanno come grafico una curva senza interruzioni,per esempio la retta e la parabola. Le seguenti sono funzioni continue in R:

• Funzione costante ;

• Funzione polinomiale;

• Funzione radice quadrata;

• Funzioni goniometriche;

• Funzione esponenziale ;

• Funzione logaritmica;

Limite per eccesso e limite per difetto

Limite per eccesso

Diciamo che f(x) tende a l per eccesso e scriviamo lim f(x)=l+ se f(x) è una funzione con limite finito l per x che tende a xo e assume sempre valori maggiori di l in un intorno di xo,con al più x≠xo

x→xo

Limite per difetto

Diciamo che f(x) tende a l per difetto e scriviamo lim f(x)=l- se f(x) è una funzione con limite finito l per x che tende a xo e assume sempre valori minori di l in un intorno di xo,con al più x≠xo

x→xo

Limite destro e limite sinistro

Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo :

"x tende a xo da destra". Significa che x si avvicina a xo restando però sempre maggiore di xo.

La definizione di limite destro è analoga aquella già data di limite,con la sola differenza che la disuguaglianza |f(x)-l|< ε deve essere verificata per ogni x appartenente a un intorno destro di xo,ossia del tipo ]xo; xo + δ[.

Il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simbolo :

"x tende a xo da sinistra". Significa che x si avvicina a xo restando però sempre minore di xo.

La definizione di limite destro è analoga aquella già data di limite destro,con la sola differenza che la disuguaglianza |f(x)-l|< ε deve essere verificata per ogni x appartenente a un intorno sinistro di xo,ossia del tipo ]xo -δ;xo[.

Il limite di x che tende a xo di f(x)= l ,esiste solo se esistono entrambi i limiti destro e sinistro e coincidono:

Limite infinito di una funzione per x che tende ad un valore finito

Vediamo adesso cosa significa dire che una funzione ha un limite infinito quando tende ad un valore finito.Andiamo quindi a definire la seguente scrittura:

Il limite è +∞ per x che tende a xo

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e non definita in xo interno ad [a;b].f(x) tende a +∞ per x che tende a xo quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di xo tale che f(x) > M per ogni x appartenente a I e diverso da xo. Si scrive :

Grafici

Il limite è -∞ per x che tende a xo

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e non definita in xo interno ad [a;b].f(x) tende a -∞ per x che tende a xo quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di xo tale che f(x) < -M per ogni x appartenente a I e diverso da xo. Si scrive :

Grafici

Limiti destro e sinistro infiniti

Se scelto M > 0 le seguenti disequazioni saranno soddisfatte per x ≠xo :

Limiti destro e sinistro infiniti con segno opposto

Se lim f(x)=∞, allora per ogni M > 0 è possibile trovare un intorno I di xo tale che |f(x)|>M,per ogni x ∈ I nel dominio di f(x),con x ≠xo.

Asintoti verticali

Data la funzione y=f(x) ,se si verifica che la retta x=c è asintoto verticale per il grafico della funzione. La definizione di asintoto verticale è ancora valida se consideriamo il limite destro o il limite sinistro.In questo caso parleremo di asintoto verticale destro o sinistro. La distanza di un generico punto del grafico di una funzione da un suo asintoto verticale,di equazione x=c,tende a 0 quando x→ c Infatti ,essendo P(x;y) il generico punto del grafico,si ha:

per x → c il grafico della funzione si avvicina sempre più a quello della retta.

Limite finito di una funzione per x che tende a ∞

x tende a + ∞

Una funzione f(x),definita in un intervallo illimitato a destra ,tende al numero reale l per x che tende a + ∞ quando, per ogni ε > 0 fissato,si può determinare un intorno I di + ∞ tale che : |f(x)- l| < ε per ogni x ∈ I. Si scrive : avremo →

x tende a - ∞

Una funzione f(x),definita in un intervallo illimitato a sinistra ,tende al numero reale l per x che tende a - ∞ quando, per ogni ε > 0 fissato,si può determinare un intorno I di - ∞ tale che : |f(x)- l| < ε per ogni x ∈ I. Si scrive : avremo →

x tende a ∞

quando per ogni ε > 0 è possibile trovare un intorno I di ∞ tale che per ogni x ∈ I.

Asintoti orizzontali

Data la funzione y=f(x) ,se si verifica una delle condizioni la retta x=c è asintoto verticale per il grafico della funzione. Se il limite esiste finito soltanto per x→+∞ o x→-∞,abbiamo un asintoto orizzontale destro o sinistro. La distanza di un generico punto P(x;f(x)) del grafico di una funzione da un suo asintoto orizzontale, di equazione y=q,tende a 0 quando x tende a + ∞:

Il grafico di una funzione f(x) può ammettere anche due asintoti orizzontali ,quando i limiti della funzione per x→+∞ o x→-∞ sono entrambi finiti,ma diversi fra loro :

Limite +∞ di una funzione per x che tende a +∞

Una funzione f(x),definita in un intervallo illimitato a destra, ha per limite +∞ per x che tende a +∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di +∞ tale che : f(x) > M per ogni x ∈ I. Si scrive : In simboli :

Limite +∞ di una funzione per x che tende a -∞

Una funzione f(x),definita in un intervallo illimitato a sinistra, ha per limite +∞ per x che tende a -∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di - ∞ tale che : f(x) > M per ogni x∈ I. Si scrive : In simboli:

Limite -∞ di una funzione per x che tende a +∞

Una funzione f(x) ha per limite -∞ per x che tende a +∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di +∞ tale che f(x)< -M per ogni x ∈ I. Si scrive : In simboli :

Limite -∞ di una funzione per x che tende a -∞

Una funzione f(x) ha per limite -∞ per x che tende a -∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di -∞ tale che f(x)< -M per ogni x ∈ I. Si scrive : In simboli :

Primi teoremi dei limiti

Se f(x) ha limite finito l per x→xo , allora tale limite è unico.

Teorema di unicità del limite →

Teorema della permanenza del segno ↓

• Se il limite di una funzione per x che tende a xo è un numero l diverso da 0 , allora esiste un intorno I di xo(scluso al più xo)in cui f(x) e l sono entrambi positivi oppure esntrambi negativi .

• Se una funzione f(x) ammette limite finito l per x che tende a xo e in un intorno I(xo) di x0,escluso al più xo,è:

- positiva o nulla , allora l ≥ 0; - negativa o nulla,allora l ≤ 0.

Teorema del confronto →

Siano h(x),f(x) e g(x) tre funzioni definite in uno stesso intorno H di xo,escluso al più

il punto xo. Se in ogni punto di H diverso da xo risulta h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) e il limite delle due funzioni h(x) e g(x), per x che tende a xo,è uno stesso numero l , allora anche il limite di f(x) per x che tende a xo è uguale a l.

Casi particolari

OPERAZIONI SUI LIMITI

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Tabella di calcolo con ∞

Limiti di funzioni elementari

Limite della somma :

Limite di una funzione composta:

Limite del prodotto :

Limite della potenza del tipo [f(x)] :

Limite del quoziente :

g(x)

Forma indeterminata +∞ -∞

Forma indeterminata 0 ∞

Forma indeterminata ∞/∞

Forma indeterminata 0/0

Forma indeterminata 0 ,∞ , 1

Limiti notevoli

Limiti di funzioni goniometriche:

Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche:

Funzioni continue

Una funzione f(x),definita in un intorno di un punto xo,è continua in xo se : una funzione f(x) è quindi continua in xo se:

Se consideriamo solo il limite destro o sinistro di una funzione f(x):

• f(x) è continua a destra in xo,se f(xo) coincide con il limite destro di f(x) per x che tende a xo;
• f(x) è continua a sinistra in xo se f(xo) coincide con il limite sinistro di f(x) per x che tende a xo;

Una funzione definita in [a;b] si dice continua nell'intervallo [a;b] se è continua in ogni punto dell'intervallo.Se y=f(x) è una funzione biettiva e continua in D,allora la funzione inversa f è continua nell'insieme immagine di f.

-1

Data la funzione y=f(x) definita nell'intervallo I,chiamiamo: massimo assoluto di f(x),se esiste, il massimo M dei valori assunti dalla funzione in I; minimo assoluto di f(x),se esiste;il minimo m dei valori assunti dalla funzione in I.

Grafico probabile di una funzione

Data una funzione y=f(x),poichè siamo in grado di determinare molte sue caratteristiche , possiamo tracciare il suo grafico anche se solo in modo approssimato.Lo chiameremo grafico probabile.Per rappresentare il grafico probabile di una funzione occorre:

• determinare il dominio;
• studiare eventuali simmetrie rispetto all'asse y o rispetto all'origine;
• determinare le intersezioni con gli assi cartesiani;
• studiare il segno;
• calcolare i limiti agli estremi del dominio e studiare i punti di discontinuità;
• determinare gli asintoti.

Esempio di un grafico probabile

Derivate

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DEFINIZIONE

01

(coefficiente angolare della tangente e derivata prima )

CURIOSITA'

La derivata prima è il limite del rapporto incrementale .

Le funzioni potrebbero essere non derivabili e calcoliamo la derivata sinistra e destra .

1.

2.

Se una funzione è derivabile in un punto x0, f sarà continua in x0 (derivabilità forte). Se una funzione è derivabile nel punto c,la derivata destra e la derivata sinistra sono uguali: DERIVATA PRIMA. Se una funzione non è derivabile nel punto c,la derivata destra e sinistra sono diverse .(PUNTI DI NON DERIVABILITA')

DERIVATE FONDAMENTALI

DERIVATA DI UNA COSTANTE

f(x)=x f'(x)=1

DERIVATA POTENZA DI X

DERIVATA SENO E COSENO

DERIVATA FUNZIONI ESPONENZIALI E LOGARITMICHE

DERIVATE FONDAMENTALI

DERIVATA DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE PER UNA FUNZIONE

DERIVATA DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI

DERIVATA DEL PRODOTTO DI DUE FUNZIONI

DERIVATA DEL QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI

DERIVATA DELL'INVERSO DI UNA FUNZIONE

DERIVATA DELLA TANGENTE

DERIVATA DELLA COTANGENTE

DERIVATA DI FUNZIONE COMPOSTA

RETTA TANGENTE

RETTA NORMALE

PUNTI DI NON DERIVABILITA'

FLESSO A TANGENTE VERTICALE, derivata prima sinistra e destra coincidono ,n.∞ stessa tendenza sia da destra sia da sinistra .

CUSPIDI A TANGENTE VERTICALE , derivata prima sinistra e destra sono diverse

PUNTI DI NON DERIVABILITA'

Se una funzione è continua per x=xo ma non derivabile in xo e f'(x) cambia segno nell'intorno di xo ,allora, x=xo sarà un estremo relativo (max o min)

PUNTO ANGOLOSO, derivata prima destra e sinistra sono diverse (diverso m)

Teorema di Rolle

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo limitato e chiuso [a,b] e sia :-f(x) continua in [a,b] -f(x) derivabile in ]a,b[ -f(x)= f(b)

Teorema di Lagrange

Sia f(x) una funzione :-continua nell'intervallo chiuso e limitato [a,b] -derivabile in ogni punto interno ad esso cioè in ]a,b[

Conseguenze teorema di Lagrange

Funzioni crescenti ,decrescenti e derivate

Sia f(x): -continua nell'intervallo [a,b] -derivabile nell'intervallo ]a,b[ -f(x)=0 ]a,b[

Sia y=f(x) continua in un intervallo I e derivabile nei punti interni di I:-Se f'(x) > 0 per ogni punto interno ad I -> f(x) è crescente in I - Se f'(x) < 0 per ogni punto interno ad I -> f(x) è decrescente in I

Siano f(x) e g(x) due funzioni: -continue in [a,b] -derivabili in ]a,b[ -f'(x) = g'(x) ]a,b[

Teorema di De L'Hospital

FORME INDETERMINATE 0/0 e ∞/∞

Siano f(x) e g(x) due funzioni definite in un introno I di un punto xo se: -f(x) e g(x) continua in xo e f(x) = g(xo)=0 -f(x) e g(x) derivabile in I tranne al più xo -g'(x)≠0 I - { xo } -esiste lim f'(x)/g'(x) x→xo

MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI E RELATIVI

Sia y=f(x) una funzione e D il suo dominio:-xo è un PUNTO DI MASSIMO ASSOLUTO se f(x) ≤ f(xo) D e il valore f(xo)=M si chiama MASSIMO ASSOLUTO -x1 è un PUNTO DI MINIMO ASSOLUTO se f(x) ≥ f(x1) D e il valore f(x1)=m si chiama MINIMO ASSOLUTO

-xo è un PUNTO DI MASSIMO RELATIVO se ∃I di xo : f(x) ≤ f(xo) I f(xo)=M si chiama MASSIMO RELATIVO - x1 è un PUNTO DI MINIMO RELATIVO se ∃I di x1: f(x) ≥ f(x1) I f(x1)=m si chima MINIMO RELATIVO

Concavità

In xo,f(x) ha la concavità rivolta verso l'alto (verso il semiasse positivo della y) se I( xo): I(xo)- {xo } ➝ f(x)>t(x)

In xo,f(x) ha la concavità rivolta verso il basso (verso il semiasse negativo della y) se I (xo): I( xo)- {xo } ➝ f(x)<t(x)

La tangente può essere orizzontale ,obliqua,verticale e vi sono due casi:

FLESSO ASCENDENTE

dal basso verso l'alto

FLESSO DISCENDENTE

dall'alto verso il basso

Punti stazionari di flesso orizzontale

Sia y=f(x) definita e continua in un introno I del punto xo e derivabile in tale intorno : xo è un punto di flesso orizzontale se: f'(xo)=0 e il segno della derivata prima è lo stesso ≠ xo

Data la funzione f(x) continua , per la ricerca dei massimi e dei minimi relativi e dei flessi orizzontali con lo studio del segno della derivata prima:

• calcoliamo f'(x) e determiniamo il suo dominio per trovare gli eventuali punti in cui la funzione non è derivabile (cuspidi,flessi verticali,punti angolosi;
• risolviamo l'equazione f'(x)=0 per trovare i punti stazionari;
• studiamo il segno di f'(x) per trovare i punti di massimo e minimo relativo (anche non stazionari) e i punti di flesso a tangente orizzontale.

Flessi e derivata seconda

Subtitle

• si calcola la derivata seconda f''(x) ;
• si determinano i punti in cui f''(x)=0 ;
• si studia il segno di f''(x).

xo è un punto di flesso ascendente x1 è un punto di flesso discendente

Se xo è un punto di flesso: f'(xo)=0 → il flesso è ORIZZONTALE f'(xo)≠0 → il flesso è OBLIQUO

Se la funzione non è derivabile in xo e il lim f'(x)=+/-∞ → in xo c'è un flesso verticale. x→xo

studio di una funzione

Per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) procediamo esaminando i seguenti punti.

• Il dominio della funzione.
• Eventuali simmetrie e periodicità.
• Le coordinate degli eventuali punti di intersezione del grafico della funzione con gli assi cartesiani.
• Il segno della funzione :stabiliamo gli intervalli in cui essa è positiva,ponendo f(x)>0 e trovando ,di conseguenza,anche gli intervalli in cui è negativa.
• Il comportamento della funzione agli estremi del dominio:calcoliamo i relativi limiti e cerchiamo poi gli eventuali asintoti della funzione.Classifichiamo inoltre gli eventuali punti di discontinuità,specificando se sono di prima,di seconda o di terza specie.
• La derivata prima e il suo dominio.Dallo studio del segno dell derivata prima: determiniamo gli intervalli in cui la funzione è crescente (f'(x )>0) e,di conseguenza,quelli in cui è decrescente (f'(x)<0); cerchiamo gli eventuali punti di massimo o di minimo relativo e di flesso orizzontale e i punti di non derivabilità per f(x) (flessi verticali,cuspidi e punti angolosi).
• La derivata seconda e il suo dominio . Dallo studio del segno della derivata seconda: determiniamo gli intervalli in cui il grafico volge la concavità verso l'alto (f''(x)>0) o verso il basso (f''(x)<0); cerchiamo i punti di flesso a tangente obliqua ed eventualmente la tangente inflessionale.

Funzioni polinomiali

Funzioni razionali fratte

Funzionali irrazionali

Funzioni esponenziali

Funzioni logaritmiche

INTEGRALI INDEFINITI

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PRIMITIVE

01

Sia f(x) una funzione definita in [a,b] e sia f(x) una funzione derivabile in [a,b] tale che : F'(x)=f(x) F(x) si dice PRIMITIVA della funzione f(x)

Se f(x) è una primitiva di f(x) allora le funzioni F(x) + c, con c ∈ R sono tutte e sole le primitive di f(x)

A ogni valore di "c" corrisponde una curva.Tutte le funzioni hanno la stessa derivata - nei punti con la stessa ascissa hanno tangenti parallele.

DEFINIZIONE

Si definisce INTEGRALE INDEFINITO di una funzione f(x) l'insieme di tutte le primitive F(x) + c di f(x) con ∈ R e si indica con :

Si legge : "integrale indefinito di f(x) in dx : x - variabile di integrazione f(x)- funzione integranda

Per c=0 :F(x) che si chiama PRIMITIVA FONDAMENTALE

La funzione si dice integrabile se ammette una primitiva (e quindi infinite).

CONDIZIONE SUFFICIENTE DI INTEGRABILITA'Se una funzione è continua in[a,b], allora ammette infinite primitive nello stesso intervallo. L'integrale è un operatore lineare:

Integrazione per sostituzione

Per calcolare l'integrale :

-1

• si pone x=g(t),e qui t=g (x) ,dove g(t) è invertibile ,con g'(t) continua e diversa da 0;
• si calcola il differenziale dx,oppure dt;
• si sostituisce nell'integrale dato,in modo da ottenere un integrale nella variabile t;
• si calcola ,se possibile ,l'integrale rispetto a t;
• ritornando alla variabile x, si ha il risultato cercato.

INTEGRAZIONI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

Il numeratore è la derivata del denominatore.

Il denominatore è di primo grado :

• Il numeratore è un numero

• Il numeratore è di primo grado

• Il numeratore ha grado maggiore di 1

Il denominatore è di secondo grado e Δ > 0

Il denominatore è di secondo grado e Δ = 0

Il denominatore è di secondo grado e Δ < 0

Il denominatore ha gardo superiore di 2

The end

programma di matematica svolto nell'anno 2020/21Progetto di Lucia cunto