Ricerca operativa e problemi di scelta

Ricerca operativa e problemi di scelta

Hanane Es Sobhy 5^A

INDEX

1. Introduzione

2. Esempio introduttivo

3. Fasi della ricerca operativa

4. Classificazione dei problemi di scelta

5. Problemi di scelta nel caso continuo

6. Problemi con effetti differiti

Che cos’è la Ricerca Operativa

In campo aziendale, i dirigenti non si affidano soltanto al buon senso e all’esperienza personale, ma si avvalgono di équipe di specialisti di ogni genere, ingegneri, matematici, economisti, medici, fisici e psicologi, che li aiutano a operare scelte. Gli studi dedicati a trovare i metodi migliori per operare scelte hanno fatto nascere la Ricerca Operativa. La Ricerca Operativa fornisce gli elementi quantitativi di base necessari per le decisioni, relative alle operazioni controllate dal personale dirigente. Essa utilizza strumenti matematici per controllare nel modo più efficiente un sistema reale, cercando di studiarlo nel suo complesso. La ricerca operativa è nata durante la seconda guerra mondiale per obiettivi militari, è ormai diventata parte integrante delle metodologie adottate dalle varie organizzazioni al fine di ottimizzare i risultati.

esempio introduttivo

Un autotrasportatore possiede un camion la cui portata massima è di 10 t e deve trasportare tre diversi tipi di merce confezionata in contenitori. Un contenitore del primo tipo di merce pesa 4 t, uno del secondo tipo pesa 3 t e uno del terzo tipo 5 t. Il guadagno per il trasporto di un contenitore è di € 35 per il primo tipo, € 30 per il secondo tipo, € 50 per il terzo tipo. Con quale trasporto si ottiene il massimo guadagno? Per meglio capire la situazione compiliamo la seguente tabella.

Indichiamo con x 1, x 2, x 3 il numero di contenitori trasportati, rispettivamente del primo, secondo e terzo tipo. Esprimiamo il guadagno G in funzione di x 1, x 2, x 3: G = 35 x1 + 30 x2 + 50 x3.

Le variabili sono soggette al vincolo dovuto alla portata massima del camion:4x 1 + 3 x2 + 5 x3 ≤ 10. Le variabili non possono assumere valori negativi (perché nella realtà non avrebbero senso), quindi devono essere inseriti anche i seguenti vincoli: x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3≥0;

esempio introduttivo

Il problema può essere riassunto mediante il seguente schema, che chiamiamo modello.

Risolvere il modello significa determinare i valori di x 1, x 2 e x 3 che permettono di massimizzare la funzione G.

Le fasi della ricerca operativa

La Ricerca Operativa si attua attraverso le seguenti fasi:

1. la formulazione del problema;
2. la raccolta delle informazioni;
3. la costruzione del modello matematico;
4. la risoluzione del modello;
5. il controllo del modello e delle soluzioni ottenute.

1. La formulazione del problema: La squadra di lavoro riceve informazioni generali, dati disomogenei. Deve quindi elaborarli, determinare con precisione gli obiettivi da raggiungere, i vincoli che li limitano, le eventuali correlazioni con altre parti dell’insieme per cui si lavora. 2. La raccolta delle informazioni: deve essere la più ampia e dettagliata possibile. Le informazioni vanno poi esaminate ed elaborate in modo da individuare le variabili del problema, i valori che possono assumere e le eventuali relazioni esistenti fra esse. esempio: Nel problema precedente le variabili corrispondono al numero dei contenitori trasportati di ciascun tipo; i valori che esse assumono sono interi positivi o nulli e la relazione è che il peso complessivo non deve superare 10 tonnellate.

Le fasi della ricerca operativa

3. La costruzione del modello matematico: un modello matematico è un insieme di simboli ed espressioni matematiche che debbono rappresentare il problema in maniera chiara e precisa, possibilmente semplice.Di solito un modello contiene:

• una funzione y = f (x 1; x 2; …) detta funzione obiettivo, dove con x 1, x 2, … indicano le variabili presenti, dette anche variabili d’azione o variabili ammissibili; l’insieme dei valori che possono essere assunti dalle variabili viene detto regione o area ammissibile o campo di scelta;
• relazioni fra variabili che chiamiamo vincoli tecnici;
• vincoli di segno, come x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,....

4. La risoluzione del modello: In questa fase si usano i metodi tradizionali della matematica, da quelli classici all’analisi numerica, da tecniche di iterazione a simulazioni al computer. La soluzione ottima è un elemento della regione ammissibile che rende minima o massima la funzione obiettivo prefissata. 5. Il controllo del modello e delle soluzioni ottenute: Bisogna poi verificare se il modello teorico rappresenta abbastanza bene la realtà e valutare se la soluzione ottimale ottenuta produce veramente i benefici aspettati.

La classificazione dei problemi di scelta

I problemi di natura economica che prendiamo di solito in esame si traducono in problemi di scelta.Problemi discreti e continuiI problemi possono essere:• discreti quando le variabili d’azione possono assumere solo valori interi all’interno dell’area ammissibile;• continui quando le variabili possono assumere tutti i valori reali dell’area ammissibile. esempio: Si ha un problema discreto se le variabili rappresentano il numero di pezzi prodotti, articoli venduti o scatole confezionate, mentre si ha un problema continuo se le variabili rappresentano misure come le quantità di un prodotto liquido, in polvere o di un miscuglio. In questi casi, qualsiasi valore reale, o sua approssimazione con un numero razionale, è ammesso. Problemi in una o più variabili Un’altra suddivisione dei problemi dipende dal numero delle variabili. Distinguiamo problemi: • in una variabile; • in più variabili.

La classificazione dei problemi di scelta

Problemi in condizioni di certezza o di incertezzaPossiamo poi avere problemi di scelta: • in condizioni di certezza, in cui i dati sono sicuri e frutto di indagini precise; • in condizioni di incertezza, in cui i dati sono legati a eventi casuali, che hanno una certa probabilità di verificarsi. Problemi con effetti immediati o differiti Abbiamo inoltre problemi di scelta con: • effetti immediati, se il tempo fra la decisione e la realizzazione non influisce sulle grandezze economiche in questione; • effetti differiti, se invece è rilevante il tempo fra una scelta e i suoi effetti, come per esempio negli investimenti finanziari o industriali.

I Problemi di scelta in caso continuo

Un commerciante acquista prodotti al costo di € 0,7 al kilogrammo e li rivende a € 1,2 al kilogrammo. Per il trasporto deve sostenere costi fissi giornalieri di € 6 e al massimo può trasportare giornalmente 20 kg di prodotti.Calcoliamo la quantità di prodotti da vendere per avere il massimo utile. La variabile di scelta in questo caso è la quantità di prodotti acquistati e venduti giornalmente, che indichiamo con x. Poiché tale quantità può assumere qualsiasi valore, purché positivo o nullo e inferiore a 20, il problema è continuo. Il ricavo giornaliero è R(x) = 1,2 x Il costo giornaliero è C(x) = 0,7x + 6 indichiamo con y la funzione utile, y = U(x) = R(x) - C(x) y = 1,2x - (0,7x + 6) -> y = 0,5x - 6 Vincoli: x ≥ 0; x ≤ 20; Il modello matematico è il seguente:

I Problemi di scelta in caso continuo

La funzione obiettivo è una retta il cui grafico è rappresentato nella seguente figura y = 0,5x - 6

Come si vede dalla figura, per i quantitativi di prodotto inferiori a 12 kg, cioè per 0 ≤ x < 12, il commerciante è in perdita in quanto la funzione per tali valori ha ordinate negative. Per x = 12 il commerciante non ha né utile né perdita, infatti l’ordinata è y = 0.

Per tutti i valori superiori a 12 fino al massimo trasportabile 20, cioè per 12 < x ≤ 20, il commerciante ha un utile positivo. L’utile è crescente e raggiunge il massimo in corrispondenza del quantitativo massimo trasportabile, cioè per x = 20 ed è y(20) = 0,5 *20 - 6 = 4.

I Problemi di scelta in caso continuo

In generale, il modello matematico è di questo tipo:

Lo risolviamo con la rappresentazione grafica che pone in evidenza: • il valore della funzione agli estremi dell’intervallo; • il punto di intersezione con l’asse delle x che separa la zona di perdita e quella di utile; • il punto di massimo assoluto.

I Problemi di scelta in caso continuo

Il problema può essere risolto in altro modo costruendo il diagramma di redditività.

La figura mostra che fino a 12 kg di prodotti acquistati e venduti il costo totale è superiore al ricavo totale e il commerciante è in perdita.Per x = 12 il costo è uguale al ricavo e si ha il cosiddetto punto di rottura o di equilibrio economico o break-even point. Per x > 12 fino al massimo consentito il ricavo totale è superiore al costo totale. Per x = 20 abbiamo il massimo utile, rappresentato dalla differenza fra R(x) e C(x), ossia R(20) - C(20) = 1,2 * 20 - (0,7 * 20 + 6) = 24 - (14 + 6) = 4.

Problemi con effetti differiti

Per risolvere i problemi con effetti differiti si adotta spesso il criterio dell'attualizzazione.Il criterio dell'attualizzazione si basa sul confronto alla stessa epoca di tutti i valori attuali dei costi e ricavi che intervengono nell'operazione. In pratica, si calcola il risultato economico attualizzato o r.e.a. che è la differenza fra il valore attuale dei ricavi ed il valore attuale dei costi. Problema: Anna ha a disposizione un capitale da investire di € 24000 di conseguenza valuta alcune alternative: A. investire in una forma assicurativa che restituisce € 26500 dopo 4 anni. B. prestare il capitale ricevendo in cambio € 13000 fra 1 anno e € 13500 fra 5 anni. C. prestare la somma accordando un rimborso con ammortamento progressivo al tasso del 5% annuo con 80 rate mensili. D. acquistare Titoli di Stato della durata di 6 anni che fruttano il 3% semestrale e che vengono resitituiti alla pari con spese di gestione complessive di € 25 da pagare anticipatamente. Qual è l'investimento migliore per Anna ad un tasso di valutazione del 2%? A. Vr= 26500(1+0,02)^-4= 24481,91 r.e.a = 24481,91 - 24000 = € 481,91 B. bisogna calcolare il V.A dei due ricavi: Vc= 13000(1+0,02)^-1 + 13500(1+0,02)^-5 = 24972,47 r.e.a= 24972,47-24000 = € 972,47

Problemi con effetti differiti

C. prestare la somma accordando un rimborso con ammortamento progressivo al tasso del 5% annuo con 80 rate mensili.Bisogna calcolare l'importo della rata costante da restituire, bisogna prima di tutto trasformare il tasso auuo al 5% in tasso mensile:

• formula dei tassi -> (1+0,05) = (1+i 12 )^12 -> i 12 = 0,00407

• importo della rata -> R= 24000*0,00407/1-(1+0,00407)^-80 = 352,09 €

Successivamente bisogna calcolare il V.A di questa rendita, trasformando anche il tasso del 2% annuo in tasso mensile:

• formula dei tassi -> (1+0,02) = (1+ i 12 )^12 -> i 12= 0,00165
• calcolo del V.A -> Vr= 352,09*[ (1-(1+0,00165)^-80) /0,00165]= 26366,99 €
• determinazione r.e.a -> r.e.a = 26366,99-24000 = € 2366,99

Problemi con effetti differiti

D. acquistare Titoli di Stato della durata di 6 anni che fruttano il 3% semestrale e che vengono resitituiti alla pari con spese di gestione complessive di € 25 da pagare anticipatamente. Procediamo al calcolo semestrale : I = 24000*0,03 = 720 €

• Trasformo il tasso del 2% annuo in tasso semestrale: ( 1+0,02) = (1+i2)^2 -> i2= 0,00995
• Calcolo il V.A della rendita : V = 720*[(1-( 1+0,00995)^-12)/0,00995] = 8106,23 €

Dopo 6 anni i titoli vengono rimborsati alla pari, quindi viene restituito il capitale investito di € 24000: V.A del capitale -> V= 24000(1+0,02)^-6 -> 21311,33 Calcoliamo il r.e.a : Vr= 8106,23+21311,33 - 25 = 29392,56 € r.e.a = 29392,56-24000= 5392,56 € Il r.e.a piu' alto è quello dell'opzione D, di conseguenza è la scelta ottimale!

Thanks!

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