Geometría y Trigonometría
UNIDAD 3
Sesión 3
Funciones Trigonométricas en el círculo unitario
Esto es un párrafo listo para contener creatividad, experiencias e historias geniales.
Funciones trigonométricas en el círculo unitario.
Signos de las funciones trigonométricas según cuadrante
Funciones Trigonométricas Básicas
Plano cartesiano
Cálculo de diversos ángulos especiales
Ejemplo de ángulos relacionados
Relación entre ángulos y radianes
Actividad 3.3
El plano cartesiano
En un sistema bidimensional o de dos dimensiones, las posiciones de cada uno de los puntos que son representables en el plana están dadas por un par de coordenadas P(x,y), x el eje horizontal es el eje de las abscisas y es el eje vertical o eje de las ordenadas. Se considera su centro u origen, en el cuál se utiliza como una posición de referencia y tiene la característica de que se emplea para indicar la posición en que se encuentran cantidades positivas o negativas.
Ubicación del punto en el plano en el plano cartesiano.
Localización de puntos en el plano cartesiano
Las coordenadas o puntos se escriben como pares ordenados
(X, Y). Donde se escribe primero la abscisa y segundo la ordenada
Ejemplos: a) (-3,2) b) ( 2,1 ) c) (-2,-2) d) (1, -2)
Funciones Trigonométricas Básicas
Primer Cuadrante
Funciones Trigonométricas de un ángulo en posición normal
Definiciones de ángulo:
Según el sentido de giro: Positivo: Gira en contra de las manecillas del reloj. Negativo: Gira a favor de las manecillas del reloj.
Funciones trigonométricas en el círculo unitario
El triángulo rectángulo en su posición normal en sus cuatro cuadrantes.
Cuando se localiza un punto en el plano se necesitan ubicar sus coordenadas rectangulares y trazar una línea de las coordenadas de un punto localizado al centro u origen de éste, se forma un triángulo rectángulo.
Funciones trigonométricas en el círculo unitario
Consideremos un círculo de radio (r) = 1, con centro en el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Si localizamos puntos (x,y), sobre toda la circunferencia, uno en cada cuadrante y dibujamos ángulos en posición normal, de forma que su lado inicial coincide con el semieje positivo X y el lado terminal sea la semirrecta que une el origen con cada uno de los puntos sobre la circunferencia, nos daremos cuenta de que podemos considerar ángulos desde 0 a 360 grados. Nombraremos θ al ángulo así formado. Si la dirección en que medimos el ángulo es en sentido contrario a las manecillas del reloj es positivo y si no es negativo.
¿Cómo medir las razones trigonométricas en el círculo unitario?
En la figura se muestra el triángulo rectángulo correspondiente al cuarto cuadrante. Observa que α es el ángulo que se forma entre el lado terminal del ángulo θ y el semieje x, más cercano a ese lado terminal. La hipotenusa coincide con el radio por lo que siempre tendrá el valor de 1, por ser el radio del círculo unitario. Además, los catetos medirán lo mismo que las coordenadas del punto sobre la circunferencia. El cateto adyacente siempre medirá el valor de la coordenada en X, el cateto opuesto tendrá como medida el valor de la coordenada en Y.
¿Cómo medir las razones trigonométricas en el círculo unitario?
Si calculamos las razones trigonométricas del ángulo alfa podemos relacionar los valores de estas con las razones del ángulo theta, se deben respetar los signos de las coordenadas del punto por donde pasa el lado terminal del ángulo. Para la figura mostrada, donde θ se encuentra en el cuarto cuadrante expresamos las razones para el ángulo α: en donde las coordenadas x, y se toman siempre positivas porque α en su posición normal sería un ángulo del primer cuadrante y todos los ángulos cuya medida está entre 0 y 90 grados (0 y π/2 radianes) tienen valores positivos para todas las funciones trigonométricas. Para el ángulo θ, las funciones trigonométricas serán:
Pero observa algo importante:
Pero observa algo importante, aquí se debe tomar el signo de las coordenadas x,y de acuerdo al cuadrante donde está el lado terminal del ángulo θ. De acuerdo con lo anterior; los valores del coseno y el seno del ángulo theta son los valores de las coordenadas x y y (respectivamente) del punto P, tomadas con el signo correspondiente
De esta manera, el valor absoluto de los valores de las funciones trigonométricas del ángulo α y el ángulo θ es el mismo, lo que significa que la única diferencia en esos valores puede ser el signo, de acuerdo con el signo de las coordenadas del punto que el lado terminal del ángulo θ toque en la circunferencia del círculo unitario.
En resumen
Fórmulas de las funciones trigonométricas en el círculo unitario
De lo anterior se observa que en el círculo unitario: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 y 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃
Si consideramos un círculo con radio diferente de 1, entonces las funciones trigonométricas de 𝜃 serán:
Signos de las funciones trigonométricas según cuadrantes
SE
TO
TA
CO
Calculando funciones trigonométricas en el círculo unitario.
Relación entre ángulos y radianes
Los ángulos pueden medirse en grados y/o radianes. Por lo tanto, se hace necesario el dominio de ambas unidas de medida.
Transformación de Grados a Radianes: Para transformar de grados a radianes se debe multiplicar por: Transformación de radianes a grados: Para transformar de radianes a grados se debe multiplicar por:
Funciones trigonométricas de un ángulo mayor de 90 en términos de un ángulo relacionado
Todos los ángulos mayores de 90 se pueden expresar en términos de ángulos agudos positivos. Esto se hace mediante la utilización de ángulo de referencia o relacionado que se denomina alfa.
Definición de ángulo relacionado:
El ángulo relacionado es el ángulo agudo positivo formado por su lado terminal y el eje “x”, con el cual se puede expresar cualquier ángulo, que no sea multiplo de 90 y se encuentre en posición normal.
Ejemplos de ángulos relacionados
Ejemplos de ángulos relacionados
Cálculo de ángulos en el círculo unitario.
Resuelve los ejercicios de Khan Academy
Esto es un párrafo listo para contener creatividad, experiencias e historias geniales.
Enlace
Cálculo de ángulos de 0, 90, 180 y 270 grados.
Cálculo de funciones de 0, 90, 180 y 270 grados
Tabla de función de ángulos especiales.
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Actividad 3.3
Puedes escribir un subtítulo aquí
Actividad de Apertura
Página 116
Actividad de Desarrollo
Páginas 117 y 118
Actividad de cierre
Páginas 118
tarea
retro
¡Gracias!
ednaalexandra.canto.cb95@dgeti.sems.gob.mx
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S3U3 Función en el círculo unitario (Parte 1)
Edna Canto Hernández
Created on April 27, 2021
Trigonometría
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Geometría y Trigonometría
UNIDAD 3
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Funciones Trigonométricas en el círculo unitario
Esto es un párrafo listo para contener creatividad, experiencias e historias geniales.
Funciones trigonométricas en el círculo unitario.
Signos de las funciones trigonométricas según cuadrante
Funciones Trigonométricas Básicas
Plano cartesiano
Cálculo de diversos ángulos especiales
Ejemplo de ángulos relacionados
Relación entre ángulos y radianes
Actividad 3.3
El plano cartesiano
En un sistema bidimensional o de dos dimensiones, las posiciones de cada uno de los puntos que son representables en el plana están dadas por un par de coordenadas P(x,y), x el eje horizontal es el eje de las abscisas y es el eje vertical o eje de las ordenadas. Se considera su centro u origen, en el cuál se utiliza como una posición de referencia y tiene la característica de que se emplea para indicar la posición en que se encuentran cantidades positivas o negativas.
Ubicación del punto en el plano en el plano cartesiano.
Localización de puntos en el plano cartesiano
Las coordenadas o puntos se escriben como pares ordenados (X, Y). Donde se escribe primero la abscisa y segundo la ordenada
Ejemplos: a) (-3,2) b) ( 2,1 ) c) (-2,-2) d) (1, -2)
Funciones Trigonométricas Básicas
Primer Cuadrante
Funciones Trigonométricas de un ángulo en posición normal
Definiciones de ángulo:
Según el sentido de giro: Positivo: Gira en contra de las manecillas del reloj. Negativo: Gira a favor de las manecillas del reloj.
Funciones trigonométricas en el círculo unitario
El triángulo rectángulo en su posición normal en sus cuatro cuadrantes.
Cuando se localiza un punto en el plano se necesitan ubicar sus coordenadas rectangulares y trazar una línea de las coordenadas de un punto localizado al centro u origen de éste, se forma un triángulo rectángulo.
Funciones trigonométricas en el círculo unitario
Consideremos un círculo de radio (r) = 1, con centro en el origen del sistema de coordenadas rectangulares. Si localizamos puntos (x,y), sobre toda la circunferencia, uno en cada cuadrante y dibujamos ángulos en posición normal, de forma que su lado inicial coincide con el semieje positivo X y el lado terminal sea la semirrecta que une el origen con cada uno de los puntos sobre la circunferencia, nos daremos cuenta de que podemos considerar ángulos desde 0 a 360 grados. Nombraremos θ al ángulo así formado. Si la dirección en que medimos el ángulo es en sentido contrario a las manecillas del reloj es positivo y si no es negativo.
¿Cómo medir las razones trigonométricas en el círculo unitario?
En la figura se muestra el triángulo rectángulo correspondiente al cuarto cuadrante. Observa que α es el ángulo que se forma entre el lado terminal del ángulo θ y el semieje x, más cercano a ese lado terminal. La hipotenusa coincide con el radio por lo que siempre tendrá el valor de 1, por ser el radio del círculo unitario. Además, los catetos medirán lo mismo que las coordenadas del punto sobre la circunferencia. El cateto adyacente siempre medirá el valor de la coordenada en X, el cateto opuesto tendrá como medida el valor de la coordenada en Y.
¿Cómo medir las razones trigonométricas en el círculo unitario?
Si calculamos las razones trigonométricas del ángulo alfa podemos relacionar los valores de estas con las razones del ángulo theta, se deben respetar los signos de las coordenadas del punto por donde pasa el lado terminal del ángulo. Para la figura mostrada, donde θ se encuentra en el cuarto cuadrante expresamos las razones para el ángulo α: en donde las coordenadas x, y se toman siempre positivas porque α en su posición normal sería un ángulo del primer cuadrante y todos los ángulos cuya medida está entre 0 y 90 grados (0 y π/2 radianes) tienen valores positivos para todas las funciones trigonométricas. Para el ángulo θ, las funciones trigonométricas serán:
Pero observa algo importante:
Pero observa algo importante, aquí se debe tomar el signo de las coordenadas x,y de acuerdo al cuadrante donde está el lado terminal del ángulo θ. De acuerdo con lo anterior; los valores del coseno y el seno del ángulo theta son los valores de las coordenadas x y y (respectivamente) del punto P, tomadas con el signo correspondiente
De esta manera, el valor absoluto de los valores de las funciones trigonométricas del ángulo α y el ángulo θ es el mismo, lo que significa que la única diferencia en esos valores puede ser el signo, de acuerdo con el signo de las coordenadas del punto que el lado terminal del ángulo θ toque en la circunferencia del círculo unitario.
En resumen
Fórmulas de las funciones trigonométricas en el círculo unitario
De lo anterior se observa que en el círculo unitario: 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 y 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃
Si consideramos un círculo con radio diferente de 1, entonces las funciones trigonométricas de 𝜃 serán:
Signos de las funciones trigonométricas según cuadrantes
SE
TO
TA
CO
Calculando funciones trigonométricas en el círculo unitario.
Relación entre ángulos y radianes
Los ángulos pueden medirse en grados y/o radianes. Por lo tanto, se hace necesario el dominio de ambas unidas de medida. Transformación de Grados a Radianes: Para transformar de grados a radianes se debe multiplicar por: Transformación de radianes a grados: Para transformar de radianes a grados se debe multiplicar por:
Funciones trigonométricas de un ángulo mayor de 90 en términos de un ángulo relacionado
Todos los ángulos mayores de 90 se pueden expresar en términos de ángulos agudos positivos. Esto se hace mediante la utilización de ángulo de referencia o relacionado que se denomina alfa.
Definición de ángulo relacionado:
El ángulo relacionado es el ángulo agudo positivo formado por su lado terminal y el eje “x”, con el cual se puede expresar cualquier ángulo, que no sea multiplo de 90 y se encuentre en posición normal.
Ejemplos de ángulos relacionados
Ejemplos de ángulos relacionados
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Cálculo de ángulos de 0, 90, 180 y 270 grados.
Cálculo de funciones de 0, 90, 180 y 270 grados
Tabla de función de ángulos especiales.
Esto es un párrafo listo para contener creatividad, experiencias e historias geniales.
Actividad 3.3
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Actividad de Apertura
Página 116
Actividad de Desarrollo
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