Cálculo de integrales indefinidas

Calculo integral

EQUIPO V

2.3 CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Definición. Llamaremos integral indefinida de una función f(x) en un intervalo (a, b) al conjunto de todas sus funciones primitivas en dicho intervalo. Lo representaremos con la notación habitual: ∫ f(x) dx. La función f(x) recibe el nombre de integrando. Las dos propiedades anteriores implican que basta con conocer una primitiva de f(x) en (a, b), F(x), para conocer la totalidad de ellas, y así tendremos: ∫ f(x) dx = F(x) + C

Ejemplo:Sea f (x) 5x2 +12x2 -10x . Eso implica: f'( x) 15x 24x -10. La antiderivada de esta función es la función original f (x). Esto significa que: ∫ (15x2 + 24x −10 dx) = 5x3 +12x2 −10x La función f(x) tiene una antiderivada particular [a,b] que es F(x). La antiderivada general de f (x) es: F(x)+C donde C es una constante.

2.3.1 CALCULO DE INTEGRAL DIRECTA

Una integral directa es aquella que se adapta exactamente al integrando con una de las fórmulas fundamentales. Sin embargo, la gran mayoría no son directas, por tanto, antes de integrar se debe completar la diferencial du para adaptarla a una fórmula, lo que obliga a hacer intervenir una constante que multiplique y divida a la integral.

Ejemplo:Integral 1 Integral de la potencia x a la quinta: Aplicaremos la propiedad “una constante puede entrar o salir de la integral”. Sólo falta un 6 multiplicando para tener la derivada de x6. Multiplicamos y dividimos por 6 la integral para introducir un 6 en la integral:

2.3.2 Cambio de variable

Este método consiste en transformar la integral mediante un cambio de la variable independiente. tienen un método preciso, es la práctica, en general, la que proporciona la elección del cambio de variable más conveniente.El método de integración por cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Pasos para integrar por cambio de variable

1. Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos: Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2.Si la integral resultante es más sencilla, integramos: 3. Se vuelve a la variable inical:

2.3.3 Por partes.

El método de integración por partes está basado en la derivada de un producto de funciones como se muestra a continuación d(u.v) = u dv + v du por eso es que se usa para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre si. ∫d(u.v) = ∫u dv + ∫v du (se integra en ambos lados de la fórmula) (u.v) = ∫u dv + ∫v du (resolviendo la integral) ∫u dv = u v - ∫v du (despejando, queda la fórmula de la integración por partes)

1.- En la parte que corresponde a dv debe ser la función más fácil de integrar.2.- En u deben ir aquellas funciones que no tienen integral directa (funciones logarítmicas e inversas), luego se pueden considerar las funciones algebraicas puesto que la derivada es reductiva. Las funciones trigonométricas y exponenciales son más sencillas de trabajar.

¡muchas gracias!