Presentazione di geometria
teorema di pitagora
Fabiola Semeraro
enunciato
In ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
pitagora - vita
Nacque a Samo intorno al 580 a.C. Il suo nome significa “annunciatore del Pizio”, in altre parole del dio Apollo che parla attraverso l’oracolo di Delfi. Era un filosofo e un matematico greco ma ben poco si sa della sua vita: dopo aver viaggiato in Egitto, in Italia e Babilonia, dove raccolse informazioni matematiche e astronomiche, per sottrarsi alla tirannia di Policrate emigrò a Crotone nella Magna Grecia, uno dei tanti centri del sapere di quel tempo, e lì creò una setta filosofico – politica.Morì attorno al 496 a.C.
Pitagora, osservando il metodo degli antichi Egizi per realizzare degli angoli retti necessari per la costruzione delle piramidi, dedusse le proprietà del triangolo rettangolo.Gli Egizi facevano dei nodi equidistanti su una fune ottenendo 12 parti congruenti di corda. Dopo aver unito gli estremi della fune, la tendevano e formavano un triangolo con i lati la cui lunghezza corrispondeva a 3, 4 e 5 volte la distanza fra due nodi successivi. L'angolo formato dai due lati più corti era sempre un angolo retto.
I numeri 3, 4 e 5 erano talmente importanti per gli Egizi da essere considerati sacri; questo accadeva anche presso i Babilonesi, che conoscevano quindici diverse terne di numeri con le quali costruivano triangoli rettangoli e quindi angoli retti. Il grande merito di Pitagora fu quello di aver scoperto la proprietà aritmetica che accomuna queste terne: esse soddisfano tutte la relazione a²+b²=c² dove a, b e c rappresentano la terna sacra e c corrisponde al maggiore dei tre.
Secondo una leggenda, Pitagora trovò la dimostrazione per il suo Teorema mentre aspettava di essere ricevuto da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo del tiranno di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento. Se avesse tagliato in due una piastrella lungo una diagonale, avrebbe ottenuto due triangoli rettangoli congruenti. Inoltre l'area del quadrato EFGH costruito sull'ipotenusa di uno dei due triangoli rettangoli, in questo caso FME, risultava il doppio dell'area di una piastrella: questo quadrato risultava infatti composto da quattro mezze piastrelle, cioè due. Quindi, poichè i quadrati costruiti sui cateti del triangolo corrispondono ognuno ad una piastrella, il quadrato costruito sull'ipotenusa era equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.
Pitagora mantenne segreta la sua scoperta, la cui divulgazione si deve al suo allievo Ippaso di Metaponto che, violando la prescrizione della scuola pitagorica, svelò il Teorema e per questo fu cacciato dalla scuola.
Pierre Fermat formulò nel 1637 un Teorema il quale affermava che l'equazione a^n + b^n =c^n non ha soluzioni intere positive (se n è superiore a 2). La dimostrazione di tale Teorema (che Fermat assicurò di avere, ma non rese mai pubblica) è stata inseguita dal mondo della matematica per oltre tre secoli. Questa catturò l'attenzione di Andrew Wiles, che vi si imbattè all'età di 10 anni, e continuò a studiarlo per il resto della vita fino ad iniziare, una volta diventato professore di matematica a Princeton, una solitaria ricerca durata sette anni e da cui emerse nel 1993 con la prima dimostrazione; a soli due mesi dalla pubblicazione però venne trovato un errore nella formulazione di Wiles, il quale tornò a lavoro. Con il contributo del suo primo studente, Richard Taylor, Wiles lavorò per più di un anno sulle formule fino a trovare una soluzione corretta che venne pubblicata nel 1995.
Applicazioni del teorema di pitagora
rettangolo e quadrato
trapezio
Il rettangolo e il quadrato hanno gli angoli interni tutti di 90°, per cui, ciascuna diagonale li divide in due triangoli rettangoli.
Le altezze di un trapezio lo dividono in due triangoli rettangoli e un rettangolo o un quadrato.
rombo
altri triangoli
Le diagonali del rombo lo dividono in quattro triangoli rettangoli congruenti.
L'altezza di un triangolo lo divide in due triangoli rettangoli.
dimostrazione teorema di pitagora con equiscomponibilità
Considerando un triangolo rettangolo, costruiamo un quadrato Q che ha come lati a + b. Scomponiamo poi Q in due modi diversi:
Il primo quadrato è costituito da 4 triangoli + a² + b² mentre il secondo da 4 triangoli + c². Sottraendo ai quadrati i quattro triangoli otterremo a² + b² = c²
dimostrazione con il primo teorema di euclide
Consideriamo il triangolo ABC e i quadrati costruiti su ogni lato. Prolunghiamo l'altezza BH fino a M e divideremo il quadrato ACED in due rettangoli. Secondo il primo Teorema di Euclide, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto; quindi:ABGF = AHMD e BLIC =HCEM ABGF + BLIC = AHMD + HCEM Sommando le aree di AHMD e HCEM otterremo l'area del quadrato ACED. Perciò: ABGF + BLIC = ACED
grazie per l' attenzione
Teorema di Pitagora
Fabiola
Created on April 24, 2021
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Presentazione di geometria
teorema di pitagora
Fabiola Semeraro
enunciato
In ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
pitagora - vita
Nacque a Samo intorno al 580 a.C. Il suo nome significa “annunciatore del Pizio”, in altre parole del dio Apollo che parla attraverso l’oracolo di Delfi. Era un filosofo e un matematico greco ma ben poco si sa della sua vita: dopo aver viaggiato in Egitto, in Italia e Babilonia, dove raccolse informazioni matematiche e astronomiche, per sottrarsi alla tirannia di Policrate emigrò a Crotone nella Magna Grecia, uno dei tanti centri del sapere di quel tempo, e lì creò una setta filosofico – politica.Morì attorno al 496 a.C.
Pitagora, osservando il metodo degli antichi Egizi per realizzare degli angoli retti necessari per la costruzione delle piramidi, dedusse le proprietà del triangolo rettangolo.Gli Egizi facevano dei nodi equidistanti su una fune ottenendo 12 parti congruenti di corda. Dopo aver unito gli estremi della fune, la tendevano e formavano un triangolo con i lati la cui lunghezza corrispondeva a 3, 4 e 5 volte la distanza fra due nodi successivi. L'angolo formato dai due lati più corti era sempre un angolo retto.
I numeri 3, 4 e 5 erano talmente importanti per gli Egizi da essere considerati sacri; questo accadeva anche presso i Babilonesi, che conoscevano quindici diverse terne di numeri con le quali costruivano triangoli rettangoli e quindi angoli retti. Il grande merito di Pitagora fu quello di aver scoperto la proprietà aritmetica che accomuna queste terne: esse soddisfano tutte la relazione a²+b²=c² dove a, b e c rappresentano la terna sacra e c corrisponde al maggiore dei tre.
Secondo una leggenda, Pitagora trovò la dimostrazione per il suo Teorema mentre aspettava di essere ricevuto da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo del tiranno di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento. Se avesse tagliato in due una piastrella lungo una diagonale, avrebbe ottenuto due triangoli rettangoli congruenti. Inoltre l'area del quadrato EFGH costruito sull'ipotenusa di uno dei due triangoli rettangoli, in questo caso FME, risultava il doppio dell'area di una piastrella: questo quadrato risultava infatti composto da quattro mezze piastrelle, cioè due. Quindi, poichè i quadrati costruiti sui cateti del triangolo corrispondono ognuno ad una piastrella, il quadrato costruito sull'ipotenusa era equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.
Pitagora mantenne segreta la sua scoperta, la cui divulgazione si deve al suo allievo Ippaso di Metaponto che, violando la prescrizione della scuola pitagorica, svelò il Teorema e per questo fu cacciato dalla scuola.
Pierre Fermat formulò nel 1637 un Teorema il quale affermava che l'equazione a^n + b^n =c^n non ha soluzioni intere positive (se n è superiore a 2). La dimostrazione di tale Teorema (che Fermat assicurò di avere, ma non rese mai pubblica) è stata inseguita dal mondo della matematica per oltre tre secoli. Questa catturò l'attenzione di Andrew Wiles, che vi si imbattè all'età di 10 anni, e continuò a studiarlo per il resto della vita fino ad iniziare, una volta diventato professore di matematica a Princeton, una solitaria ricerca durata sette anni e da cui emerse nel 1993 con la prima dimostrazione; a soli due mesi dalla pubblicazione però venne trovato un errore nella formulazione di Wiles, il quale tornò a lavoro. Con il contributo del suo primo studente, Richard Taylor, Wiles lavorò per più di un anno sulle formule fino a trovare una soluzione corretta che venne pubblicata nel 1995.
Applicazioni del teorema di pitagora
rettangolo e quadrato
trapezio
Il rettangolo e il quadrato hanno gli angoli interni tutti di 90°, per cui, ciascuna diagonale li divide in due triangoli rettangoli.
Le altezze di un trapezio lo dividono in due triangoli rettangoli e un rettangolo o un quadrato.
rombo
altri triangoli
Le diagonali del rombo lo dividono in quattro triangoli rettangoli congruenti.
L'altezza di un triangolo lo divide in due triangoli rettangoli.
dimostrazione teorema di pitagora con equiscomponibilità
Considerando un triangolo rettangolo, costruiamo un quadrato Q che ha come lati a + b. Scomponiamo poi Q in due modi diversi:
Il primo quadrato è costituito da 4 triangoli + a² + b² mentre il secondo da 4 triangoli + c². Sottraendo ai quadrati i quattro triangoli otterremo a² + b² = c²
dimostrazione con il primo teorema di euclide
Consideriamo il triangolo ABC e i quadrati costruiti su ogni lato. Prolunghiamo l'altezza BH fino a M e divideremo il quadrato ACED in due rettangoli. Secondo il primo Teorema di Euclide, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto; quindi:ABGF = AHMD e BLIC =HCEM ABGF + BLIC = AHMD + HCEM Sommando le aree di AHMD e HCEM otterremo l'area del quadrato ACED. Perciò: ABGF + BLIC = ACED
grazie per l' attenzione