Equations de droite

Chapitre 18 : Equations de droites:

Cours

Exercices

I. Equations de droites 1. Equation réduite

• Toute droite (d) non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx+p.
• Toute droite (d) parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme x = k.
• Réciproquement, toute équation de la forme y = mx+p ou x = k est une équation de droite.

Propriété :

Définition : L'équation y = mx+p ou x = k est appelée équation réduite de la droite (d). Le nombre m est appelé coefficient directeur de la droite (d).

Exemple : Dans l'activité, la droite (AB) a pour équation réduite : y = 2x + 1. De plus, comme elle n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle peut être associée à une fonction affine f(x) = 2x + 1.

Remarque : On peut associer une équation réduite de la forme y = mx+p (non parallèle à l'axe des ordonnées) à une fonction affine.

2. Equation cartésienne

Définition : On appelle vecteur directeur d'une droite (d) tout représentant du vecteur où A et B sont deux points distincts quelconques de la droite (d).

Exemple : Dans l'activité, si on considère la droite (AC), un vecteur directeur de la droite est .

Remarque : Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs.

Le vecteur de coordonnées est un vecteur directeur de la droite d'équation ax+by+c = 0. Réciproquement, si le vecteur de coordonnées est un vecteur directeur de la droite (d), alors une équation de (d) est ax+by+c = 0.

Propriété :

Définition : L'équation ax+by+c = 0 est appelée équation cartésienne de la droite (d).

Exemple : On considère à nouveau la droite (AC) de vecteur directeur . Alors l'équation cartésienne de la droite est : 4x - 3y + c = 0. Il reste à déterminer c. On sait que A(1 ; 3) est sur la droite (AC) donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de la droite. Ainsi : Cela nous donne : c = 5. Donc, l'équation cartésienne de la droite (AC) est : 4x - 3y + 5 = 0.

Si a=0 et b est non nul, alors et la droite est parallèle à l'axe des ordonnées.

Remarque :

3. Liens et différences

Remarque : Une droite (d) possède une infinité d'équations cartésiennes mais possède une unique équation réduite.

Propriété : Une droite (d) d'équation cartésienne ax+by+c = 0 avec b non nul possède un vecteur directeur de coordonnées avec . m est alors le coefficient directeur de la droite (d). Il existe alors un unique p tel que l'équation réduite de (d) soit y = mx+p.

Exemple : On a vu que l'équation cartésienne de la droite (AC) est : 4x - 3y + 5 = 0. Le coefficient directeur de la droite est donc donc l'équation réduite de la droite est Il reste à déterminer p. Pour cela, considérons x = 0. Alors l'équation réduite nous donne y = p et l'équation cartésienne nous donne : -3y + 5 = 0 soit . Donc l'équation réduite de la droite (AC) est :

Remarque : Avec l'équation cartésienne d'une droite, il n'est pas nécessaire de séparer les cas où la droite est parallèle ou non à l'axe des ordonnées.

II. Applications 1. Droite passant par deux points

Equation cartésienne : Pour obtenir l'équation cartesienne de la droite, il suffit de calculer les coordonnées du vecteur à l'aide de la formule puis d'utiliser la définition d'une équation cartésienne de droite.

Equation réduite : Si les deux points ont la même abscisse, alors l'équation réduite de la droite passant par ces deux points est x = k avec k l'abscisse des deux points. Sinon, et .

Exemple : On considère la droite (CD) de l'activité. donc comme D est sur la droite, on a : donc et

2. Droites parallèles

Propriétés :

Equation réduite : Deux droites distinctes d'équations réduites y = mx+p et y = m'x+p' sont parallèles si et seulement si m = m'.

Equation cartésienne : Deux droites distinctes d'équations cartésiennes ax+by+c = 0 et a'x+b'y+c' = 0 sont parallèles si et seulement si ab' - ba' = 0.

Remarque : Cela revient à faire un calcul de déterminant entre les deux vecteurs directeurs.

Remarque : Deux droites confondues sont parallèles.

Exemple : Les droites ayant pour équations réduites y = 5x + 2 et y = 5x - 10 sont parallèles. Exemple : Les droites ayant pour équations cartésiennes 5x - 2y + 10 = 0 et 10x - 4y - 3 = 0 sont parallèles car 5×(-4) - (-2)×10 = -20 + 20 = 0.

Rappel : Deux droites non parallèles sont par conséquent sécantes.

3. Résolution graphique d'un système

Théorème : Lorsque deux droites sont sécantes, les coordonnées (x ; y) du point d'intersection sont solutions du système :

Propriété : Soient (d) et (d') d'équations cartésiennes ax+by+c=0 et a'x+b'y+c' = 0.

• Si (d) et (d') sont sécantes en (x ; y), alors (x ; y) est l'unique solution du système ;
• Si (d) et (d') sont parallèles, alors le système n'admet pas de solution ;
• Si (d) et (d') sont confondues, alors le système admet une infinité de solutions.

Exemple : On cherche à calculer les coordonnées du point d'intersection des droites (AC) et (BL) de l'activité. On sait qu'une équation cartésienne de (AC) est 4x - 3y + 5 = 0 et qu'une équation cartésienne de (BL) est x - y + 4 = 0. Chercher les coordonnées du point d'intersection correspond donc à résoudre le système suivant : Après calculs, on trouve : L'unique solution du système est donc (7 ; 11) et le point d'intersection des deux droites est donc le point ayant ce couple pour coordonnées.

Exercices

Pour chacun des cas, il y avait deux moyens de justifier l'alignement des points : - avec la colinéarité des vecteurs (on choisit deux vecteurs passant par ces points et on regarde s'ils sont colinéaires) - avec le calcul d'une équation de droite (on choisit deux points, on cherche l'équation de droite associée - réduite ou cartésienne - et on regarde si le dernier point vérifie l'équation de la droite que l'on a trouvé). 1) OUI 2) NON 3) OUI 4) NON