Diseños factoriales

Ingeniería Agroindustrial

Métodos Estadísticos

Experimentos factoriales

Dr. Cristian López Palacios

Métodos estadísticos por Cristian López Palacios se distribuye bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.

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Experimentos factoriales

ÍNDICE

1. Introducción

2. Construcción del diseño factorial

3. Diseño de dos factores

4. Dos factores en DECA

5. Dos factores en DEBA

6. Ejemplos 2x3

7. Tres factores

8. SAS Studio: dos factores

9. Infostat: dos factores

10. SAS Studio: tres factores

11. Infostat: tres factores

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Clase de introducción de diseños factoriales

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Clase de diseños factoriales de tres factores

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Introducción

Los diseños factoriales planifican experimentos con dos o más factores y sus niveles. Analizan la influencia de cada factor y sus interacciones. Son útiles en Ingeniería Agroindustrial, donde procesos como secado y almacenamiento dependen de múltiples factores. Además, ahorran tiempo y recursos al obtener más datos en menos experimentos.

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En un experimento factorial se investigan simultáneamente los efectos de cierto número de diferentes factores.

ab

Factor A

(1)

Factor B

Factor

niveles

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Desventajas

Ventajas

Al obtener información sobre varios factores sin aumentar el tamaño del experimento.

Se amplía la base de la inferencia en relación con un factor, ya que se estudia en las diferentes condiciones representadas por los niveles de otros factores.

El gran número de combinaciones de tratamientos cuando se estudian muchos factores o muchos niveles.

Se puede obtener una estimación de la interacción de los efectos.

Difícil interpretación principalmente de las interacciones de orden superior (interacciones de más de tres efectos).

El conjunto de los tratamientos en el diseño factorial es óptimo para estudiar efectos principales e interacciones.

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Notación de los factores

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Los factores se acostumbran a denotar con letras mayúsculas: A, B, C, . . . Los niveles de un factor se identifican con subíndices ai , bj , ck , . . .

Los tratamientos se denotan de varias formas, la mas empleada es con letras y números, ejemplo: a1b2c3, a1b0c1, . . . , teniendo entonces a1b2c3 =T1 a1b0c1 =T2 ...

Los efectos de un factorial que se estudian se relacionan con los efectos principales y de interacción y se denotan por las letras: A, B, C, AB, ABC, etc.

Efecto principal

De interacción

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Efecto principal

El efecto principal de un factor es un cambio en la respuesta medida ocasionado por un cambio en el nivel de ese factor.

La interacción entre factores ocurre cuando los niveles de un factor no producen medias poblacionales que mantengan las mismas relaciones al considerar cada uno de los niveles del segundo factor (hay grandes cambios en la magnitud de estos). Este resultado se ilustra gráficamente.

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Construcción del diseño factorial

Info

Tratamientos

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Hay varios casos especiales del diseño factorial que son importantes debido a su uso generalizado en investigación. Se destacan los arreglos 2k porque constituyen las bases de otros diseños de gran valor práctico.

Diseño de dos factores(2K)

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El más importante de estos arreglos se presenta cuando se ensayan k factores, cada uno con dos niveles. En este caso, se habla de arreglos factoriales 2k.En el caso de k = 2, se tiene el factorial más sencillo 22

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DECA en arreglo factorial 2k

Diseño factorial

En el caso de k = 2, se tiene el factorial más sencillo 22

MODELO ESTADÍSTICO

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

TABLA DE ANDEVA

PRUEBAS DE TUKEY

EJEMPLO

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Modelo estadístico para un DECA con arreglo factorial de dos factores

Yijk = µ + Ai + Bj + ABij + εijk

Da click en el modelo para las definiciones de los elementos

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

2 FACTORES EN DECA

Interacción AxB

Factor A

Factor B

Ho: A1= A2 =…= AaHa: Al menos un nivel del factor A es diferente

Ho: B1= B2 =…= BbHa: Al menos un nivel del factor B es diferente

Ho: no existe interacción entre factores A*BHa: existe interacción entre factores A*B

Tabla de ANDEVA para 2F en DECA

Efectos principales

Efectos simples

A las dos primeras pruebas de Tukey se les llama Pruebas de Tukey para efectos principales y a las otras pruebas de Tukey se les llama Pruebas de Tukey de efectos simples.

Para niveles de A

Para combinaciones A*B

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Para niveles de B

Siempre se realiza el Tukey para la combinación.

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Ejemplo

En un experimento se compararon los efectos de cuatro tratamientos sobre le rendimiento de la variedad Gila de cártamo. Los tratamientos fueron la combinación de la humedad aprovechable (30 y 70 %) al momento del riego de auxilio (H) y dos dosis de fertilización nitrogenada (N; 0 y 100 kg ha-1). El experimento se llevo a cabo en un diseño completamente al azar con arreglo factorial de 2 x 2 y cuatro repeticiones por tratamiento.

Ejemplo

Presente la tabla de ANDEVA y realice las pruebas de hipótesis pertinentes.

Los resultados se presentan a continuación como rendimiento en ton ha-1:

Tratamiento

Play

Datos

Ejemplo 2f en deca

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DEBA en arreglo factorial 2k

Diseño factorial

En el caso de k = 2, se tiene el factorial más sencillo 22

MODELO ESTADÍSTICO

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

TABLA DE ANDEVA

PRUEBAS DE TUKEY

EJEMPLO

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Modelo estadístico para un DEBA con arreglo factorial de dos factores

Da click en el modelo para las definiciones de los elementos

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Adicional a las vistas en el DECA, se establece la correspondiente a los bloques

2 FACTORES EN DEBA

Ho: Blo1= Blo2 =…= Blor Ha: Al menos un bloque es diferente

Tabla de ANDEVA de 2 factores en DEBA

Pruebas de Tukey

Las pruebas de Tukey se calculan de la misma manera que para el DECA en 2F, adicionando la de bloques.

Ejemplo

Se realizó un experimento para evaluar el efecto del estrógeno en la ganancia de peso en ovejas. Las ovejas fueron bloqueadas por corral con cuatro tratamientos por bloque. Los tratamientos resultaron de las combinaciones del sexo de las ovejas (s1, s2) y el nivel de estrógeno (d1, d2). La dosis d1 fue un testigo (sin la aplicación de estrógeno) y d2 con estrógeno. Los resultados en libras se presentan en la siguiente tabla.

• Probar las hipotesis para bloques, efectos principales y de interacción y concluir adecuadamente.

Tabla datos

En un experimento se analizó la diferencia de consumo de alimento cuando la manteca estaba fresca y rancia en una dieta para ratas (gr) durante 40 d, para 16 ratas de 30 a 40 d al iniciar el experimento. Los factores fueron manteca (rancia y fresca) y sexo (macho y hembra); hubo cuatro repeticiones, analizadas es un diseño completamente al azar con arreglo factorial.

a) Realizar ANDEVA b) Realizar Tukey c) Gráficar d) Concluir adecuadamente

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Una compañía probó dos métodos químicos para determinar la glucosa en el suero. Se usaron tres recipientes con suero para el experimento, cada uno contenía distintos niveles de glucosa mediante la adición de glucosa al nivel de base. Se prepararon tres muestras de suero cada recipiente, independientes del nivel de glucosa, con cada uno de los dos métodos químicos. Se midió la concentración de glucosa (mg/dl) de todas las muestras en una corrida del espectrómetro. Los resultados fueron:

1. Escriba el modelo lineal para este experimento.
2. Realice el análisis de varianza.
3. Compruebe la hipótesis nula de no existencia de interacción entre método y glucosa. ¿Cuál es su conclusión? ¿Debe hacerse una prueba para los efectos principales?
4. Compruebe la diferencia entre medias de los métodos para cada nivel de glucosa e interprete los resultados.

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Arreglo factorial de 3 factores

Diseño factorial

MODELO ESTADÍSTICO

PRUEBAS DE HIPÓTESIS

TABLA DE ANDEVA

PRUEBAS DE TUKEY

EJEMPLO

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Modelo para un DECA de 3 factores

Modelo para un DEBA de 3 factores

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Pruebas de hipótesis

Factor A

Factor B

Factor C

Interacciones

Pruebas de Tukey

Para efectos principales

01

• Niveles de Factor A: Permite identificar el o los mejores niveles de A
• Niveles de Factor B: Permite identificar el o los mejores niveles de B
• Niveles de Factor C: Permite identificar el o los mejores niveles de C

Info

DHS = Syq

Para combinaciones

02

• A*B: Permite determinar la o las mejores combinaciones de AB.
• A*C: Permite determinar la o las mejores combinaciones de AC.
• B*C: Permite determinar la o las mejores combinaciones de BC.
• A*B*C: Permite determinar la o las mejores combinaciones de ABC.

Info

Se llevó a cabo un experimento para medir el rendimiento del pasto Remolino con fertilización nitrogenada (N) y fosfórica (P) en kilogramos de materia seca por hectárea y en tres épocas (E): lluvias (LL), nortes (N) y sequía (S). El diseño experimental empleado fue un completamente al azar con arreglo factorial 2 x 2 x 3 y tres repeticiones.

a) Calcule el ANDEVA y pruebe la hipótesis de tratamientosb) Compare las medias de tratamiento de efecto principal y simple c) Concluya adecuadamente

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Un científico de suelos realizó un experimento para evaluar una red de resistencias de cuatro electrodos y calcular la electroconductividad (EC) del suelo en celdas conductivas de acrílico especiales. El objetivo del estudio era evaluar la relación entre la EC medida y la salinidad del agua en el suelo con diferentes cantidades de agua. Se incluyeron tres texturas básicas del suelo, ya que la EC es específica de la textura; se usaron dos celdas para cada combinación de tratamiento, los tres tipos de suelo fueron arena arcillosa, arcilla y barro. El agua salina, en tres niveles, se basó en la EC del agua a 2, 8, y 16 dS/m (decisiemens/metro) y se establecieron tres niveles de contenido de agua en el suelo, 0, 5 y 15 %. Los siguientes son los valores de EC del suelo determinados con base en las lecturas de la red de cuatro electrodos.

Escriba el modelo lineal para este experimento.Efectúe el análisis de varianza e interprete los resultados. Haga un análisis gráfico de las interacciones y concluya. Realice las pruebas de Tukey necesarias.

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H0: Todos los niveles del Factor C tienen el mismo efecto Ha: Al menos un nivel del factor C tiene efecto diferente

El diseño de tratamientos es independiente del diseño experimental, el cual hace referencia a la manera en que los tratamientos se aleatorizan con las diferentes unidades experimentales y a la forma en que se controla la variabilidad natural de las mismas. Así, el diseño experimental puede ser:

• Completamente al azar
• Bloques completamente al azar
• Cuadrado latino
• Etc.

Para cada uno de estos diseños se puede tener un arreglo factorial específico. Los diseños con arreglo factorial se nombran en función del número de niveles que existe en cada factor.

Ejemplo

TukeY PARA NIVELES DE a

Nos permite dererminar el o los mejores niveles de A

En un experimento factorial se investigan simultáneamente los efectos de cierto número de diferentes factores. Estos arreglos buscan: a. Encontrar un modelo que describa el comportamiento general del fenómeno en estudio. Esto se restringe al rango de variación de los niveles de los factores. b. Optimizar la respuesta o variable independiente, es decir, encontrar la combinación de niveles de los factores que optimizan esa respuesta.

para combinaciones a*b

Esta prueba nos permite determinar la o las mejores combinaciones A*B.

H0: Todos los niveles del Factor A tienen el mismo efecto Ha: Al menos un nivel del factor A tiene efecto diferente

tukey para niveles de B

Nos permite determinar el o los mejores niveles de B.

H0: Todos los niveles del Factor B tienen el mismo efecto Ha: Al menos un nivel del factor B tiene efecto diferente

Para las interacciones, se tiene un modelo de hipótesis para cada una de ellas. Para A*B H0: No existe interacción A*B Ha: Existe interacción Para A*C H0: No existe interacción A*C Ha: Existe interacción Para B*C H0: No existe interacción B*C Ha: Existe interacción Para A*B*C H0: No existe interacción A*B*C Ha: Existe interacción

Factor

Es la variables, o variable, que el investigador decide estudiar para ver cómo afectan a un proceso o producto. Cada factor representa una característica que se puede controlar o modificar. Ejemplo: En el secado de frutas, un factor podría ser la temperatura del secado.

Niveles

Son las diferentes condiciones o valores que se asignan a cada factor. Es decir, son las "variantes" que se prueban de un mismo factor. Ejemplo: si el factor es la temperatura, sus niveles podrían ser 50°C, 60°C y 70°C.