Le funzioni
Lavoro svolto dall'alunna: Tirelli Anna VA
Che cos'è una funzione?
Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti) di R, una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B.
f: A --> B A viene detto dominio della funzione, e lo indicheremo anche con D, mentre il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio o immagine di A ed è indicato con C o con f(A) o con I.
Esempio
- x= variabile indipendente
- y= variabile dipendente
Una funzione può essere anche indicata con un'espressione del tipo: f(x;y)=0
Esempio
Di una funzione f possiamo disegnare il grafico, cioè l'insieme dei punti P(x;y) del piano cartesiano tali che y è immagine di x mediante f, ossia l'insieme dei punti P(x;f(x)). Del grafico possiamo cercare le intersezioni con gli assi, che si determinano mettendo a sistema l'equazione della funzione con y=0 (equazione dell'asse x) o con x=0 (equazione dell'asse y). Esistono funzioni, dette funzioni definite a tratti, date da espressioni analitiche diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente.
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Classificazione delle funzioni
La funzione è algebrica se l'espressione analitica y=f(x) che la descrive contiene solo, per la variabile x, operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elemento a potenza o estrazione di radice. Una funzione algebrica può essere:
Razionale intera o polinomiale
Razionale fratta
Irrazionale
Dominio di una funzione
Il dominio naturale (o campo di esistenza) della funzione y=f(x) è l'insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinchè esista il corrispondente volore reale di y. Possiamo chiamare il dominio naturale anche soltanto dominio e lo indichiamo con D.
Funzioni uguali
y=f(x) e y=g(x) sono funzioni uguali se hanno lo stesso dominio D e f(x)=g(x) per ogni x appartiene al dominio
Zeri e segno di una funzione
Un numero reale a è uno zero della funzione y=f(x) se f(a)=0 Nel grafico f(x) gli zeri sono le ascisse dei punti di intersezione con l'asse x. Gli eventuali punti di intersezione con l'asse y si ottengono calcolando y=f(0), se x=0 appartiene al dominio di f. È possibile anche studiare il segno di una funzione y=f(x), cioè cercare per quali valori di x appartenenti al dominio il corrispondente valore di y è positivo, e per quali è negativo. Per esempio, la funzione y=2x-6 risulta positiva per x > 3, nulla per x=3, negativa per x < 3.
Grafici delle funzioni e trasformazioni geometriche
Simmetrie
Traslazioni
Dilatazioni
Proprietà delle funzioni
Una funzione da A a B può essere:
IniettIva
SuriettivA
Biunivoca
Le funzioni possono essere anche:
Decrescenti
Crescenti
Monotòna
Funzioni periodiche
y=f(x) è una funzione periodica di periodo T, con T>0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x)=f(x+kT) In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo. Se f(x) è periodica di periodo T, allora non è iniettiva, perché x e x+kT hanno la stessa immagine. Se una funzione è periodica di periodo T, essa lo è anche di periodo 2T, 3T... Le dilatazioni modifica oil periodo delle funzioni. Se f(x) è una funzione di periodo atm allora f(kx) è periodica di tipo T=T1/k.
Funzioni pari
Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se x appartiene al dominio, allora -x appartiene al dominio. y=f(x) è una funzione pari in D se f(-x)=f(x) per qualunque x appartenente al dominio. Se una funzione è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y.
Funzioni dispari
Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se x appartiene al dominio, anche - x appartiene al dominio. y=f(x) è una funzione dispari in D se f(-x)=-f(x) per qualunque x appartenente al dominio. Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.
Funzione inversa
Data la funzione biunivoca y=f(x) da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biunivoca x=f (y) da B a A che associa à ogni valore di B il valore x di A tale che y=f(x). Se una funzione ammette l'inversa, si dice che è invertibile. Se una funzione f(x) non è biunivoca in A, è possibile effettuare una restrizione D' del dominio in cui sia biunivoca. Infatti, per l'invertibilità è sufficiente scegliere in A un sottoinsieme D' in modo che f(x) sia iniettiva in D', perché f(x) è senz'altro suriettiva se come insieme B di arrivo consideriamo l'immagine di f(x).
-1
Funzione composta
Date due funzioni f:A-->B e g:B-->C, con f*g o y=g[f(x)] indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni x di A immagine mediante g dell'immagine di x mediante f.
Grafici elementari
y=(lnx)+1
y=lnx
y=ln(x-1)
y=ln(x+1)
y=x
y=|lnx|
y=ln|x|
Grafici elementari
y=arctanx
y=senx
y=arccos x
y=cotx
y=2senx
y=tanx
y=cosx
y=arccotx
Limiti di funzione
Cosa sono gli intervalli?
Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo illimitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale. Un intervallo può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo.
IntervalLI limitati
IntervallI illImitatI
Intorni di un punto
Dato un numero reale x0, un intorno completo x0 è un qualunque intervallo aperto I (x0) contenente x0:
Intorni di un punto
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Intorno destro e sinistro di un punto
Intorno di infinito
Dati a,b ∈ R, con a<b, chiamiamo:intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente; I (-∞) = ]-∞;a[ = {x∈R| x<a} intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente; I (+∞) = ]b; +∞[ ={x∈R| x>b} Si definisce inoltre intorno di infinito l’unione tra un intorno di -∞ e un intorno di +∞, cioè: I (∞) = I (-∞) U I (+∞) = {x∈R| x<a U x>b}
Insieme limitati e illimitati
Esistono insiemi numerici che non sono intervalli. Le proprietà di essere limitato o illimitato non è attribuibile solo agli intervalli, ma anche a un qualunque insieme numerico.
InsiEmi illimitatI
InSiemi Limitati
Estremi di un insieme
EstremO superiore
EsTremo inferiore
Proprietà
Punti isolati
Sia x0 appartenente a un sottoinsieme A di R. x0 è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I di x0 che non contiene altri elementi di A diversi da x0.
Per verificare che un punto di un insieme isolato basta determinare un solo intorno di quel punto che non contenga altri punti dell'insieme.
Punti di accumulazione
Il numero reale x0 è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di R, ogni intorno completo di x0 contiene infiniti punti di A. Si dimostra che è equivalente alla definizione data dire che x0 è un punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x0 contiene almeno un elemento di A distinto da x0.
La funzione f(x) ha per limite il numero reale l, per x che tende a x0, quando, comunque si scelta un numero reale positivo દ, si può determinare un intorno completo I di x0 tale che: |f(x) - l| < દ Per ogni x appartenente a I, diverso da x0. Si scrive:
Funzioni continue
Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e x0 un punto interno all'intervallo. La funzione f(x) è continua nel punto x0 quando esiste il limite di f(x) per x--> x0 e tale limite è uguale al valore f(x0) della funzione calcolata in x0:
La funzione è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni punto di D. Sono funzioni continue nel loro dominio qu'elle il cui grafico è una curva senza interruzioni; è il caso, per esempio, di una retta o di una parabola.
Limite per eccesso
Diciamo che f(x) tende a "l" per eccesso e scriviamo:
se f(x) è una funzione con limite finito "l" per x che tende a x0 e assume sempre valori maggiori di "l" in un intorno di x0, con x≠x0. Pertanto, la definizione di limite per eccesso si ottiene da quella più generale di limite aggiungendo la condizione f(x) > l in un intorno di x0. Poiché |f(x)-l|<દ∧f(x) > l → f(x)-l < દ, per verificare che , , basta provare che per ogni દ > 0 esiste un intorno I di x0 tale che per ogni x∈I, con al più x≠x0, si ha 0 < f(x)-l < દ, ossia l < f(x) < l+દ.
Limite per difetto
Diciamo che f(x) tende a "l" per difetto e scriviamo:
La definizione di limite per difetto si ottiene, quindi, aggiungendo alla definizione generale di limite la condizione f(x) < l in un intorno di x0, ossia ponendo: -દ< f(x)-l < 0. Allora, per verificare che , basta provare che ogni દ>0 esiste un intorno I di x0 tale che per ogni x∈I, con al più x≠x0, si ha -દ< f(x)-l < 0, ossia l-દ < f(x) < l
Limite destro
Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo:
x --> x0 si legge "x che tende a x0". Ciò significa che x si avvicina a x0 restando però sempre maggiore di x0.
Limite sinistro
Il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simb9lo:
x --> x0 si legge "x che tende a x0 da sinistra". Significa che x si avvicina a x0 restando però sempre minore di x0.
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e non definita in x0 interno ad [a;b]. F(x) tende a + ∞ per x che tende à x0 quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di x0 tale che f(x) > M per ogni x appartenente a I e diverso da x0. Si scrive: Sinteticamente possiamo dire che:
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e non definita in x0 interno ad [a;b]. F(x) tende a + ∞ per x che tende à x0 quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di x0 tale che f(x) < -M per ogni x appartenente a I e diverso da x0. Si scrive: In simboli:
Asintoti verticali
Data la funzione y=f(x), se si verifica che la retta x=c è asintoto verticale per il grafico della funzione. - La definizione di asintoto verticale è ancora valida se consideriamo il limite destro o il limite sinistro In questo caso parleremo di asintoto verticale destro o sinisro - La distanza di un generico punto del grafico di una funzione da un asintoto verticale, di equazione x=c, tende a 0 quando x-->c.
Una funzione f(x), definita in un intervallo illimitato a destra, tende al numero reale "l" per x che tende a +∞ quando, per ogni દ>0 fissato, si può determinare un intorno I di +∞ tale che |f(x)-l|<દ per ogni x∈I. Si scrive: Considerato che un intorno di +∞ è costituito da tutti gli x maggiori di un numero c, possiamo dire che
Una funzione f(x), definita in un intervallo illimitato a sinistra, ha limite reale "l" per x che tende a -∞ se, per ogni દ>0 fissato, è possibile trovare un intorno I di -∞ tale che |f(x)-l|>દ per ogni x∈I. Si scrive: In simboli:
Asintoti orizzontali
Data la funzione y=f(x), se si verifica una delle condizioni la retta y=q è asintoto orizzontale per il grafico della funzione. - se il limite esiste finito soltanto per x--> +∞ (o x--> -∞), abbiamo un asintoto orizzontale destro (o sinistro)
Una funzione f(x), definita in un intervallo illimitato a destra, ha per limite +∞ per x che tende à +∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di +∞ tale che f(x)>M per ogni x∈I. Si scrive: In simboli:
Una funzione f(x), definita in un intervallo illimitato a sinistra, ha per limite +∞ per x che tende à -∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di -∞ tale che f(x)>M per ogni x∈I. Si scrive: In simboli:
Una funzione f(x) ha per limite -∞ per x che tende a +∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di +∞ tale che f(x)<-M per ogni x∈I. Si scrive: In simboli:
Una funzione f(x) ha per limite -∞ per x che tende à -∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di -∞ tale che f(x)<-M per ogni x∈I. Si scrive: In simboli:
Aintoti obliqui
La retta di equazione y=mx + q, con m≠0, è asintoto obliquo per il grafico di una funzione f(x) se: Se il grafico della funzione y=f(x) ha un asintoto obliquo di equazione y=mx+q, con m≠0, allora m e q sono dati dai seguenti limiti:
Teoremi sui limiti
Teorema di uniCità del limite
Teorema della permane del segno
Teorema del confronto
Limiti di funzioni elementari
Funzioni potenza
Funzioni esponenziali
Funzioni logaRitmiche
Funzioni radice
Limite della somma
Le funzioni hanno un limite finito
Le funzioni non hanno entrambe limite finitO
Limite del prodotto
Le funzioni hanno limite finIto
Le funzionI non hanno entrambe limite finito
Limite del quoziente
Le funzioni Hanno un limite
Le funzioni non hanno entrambe un limite finito
Limite delle funzioni composte
Consideriamo due funzioni, y=f(z) e z=g(x), per le quali possiamo fare la composizione f(g(x)), cioè tali che g(x) appartiene al dominio di f per ogni x appartenente al dominio di g. In particolare, se g(x) è continua in x0 e f(z) è continua in z0=g(z0), allora:
Forme indeterminate
∞/∞
Next
+∞ -∞
0^0
0/0
Next
∞^0
∞*0
1^∞
Limiti notevoli
Funzioni esponenziali e logaritmiche
Funzioni continue
Una funzione f(x), definità in un intorno di un intorno in un punto x0, è continua in x0 se: Una funzione f(x) è continua se: - è definita in x0, cioè esiste f(x0) - esiste finito - il valore del limite è uguale e a f(x0)
Continuità di una funzione inversa
Se y=f(x) è una funzione vietati a in un intervallo D, allora esiste la funzione inversa è definita nell'insieme immagine di f. Per essa vale il seguente teorema: Se y=f(x) è una funzione biettiva e continua in D, allora la funzione inversa è continua nell'insieme immagine di f.
Punti di Discontinuita Di prima specie
Punti di discontinuità di una funzione
PUNTI DI DISCONTINUITA DI seconda SPECIE
PUNTI DI DISCONTINUITA DI terza SPECIE
Funzioni e limiti
tirellianna2003
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Le funzioni
Lavoro svolto dall'alunna: Tirelli Anna VA
Che cos'è una funzione?
Dati due sottoinsiemi A e B (non vuoti) di R, una funzione f da A a B è una relazione che associa a ogni numero reale di A uno e un solo numero reale di B.
f: A --> B A viene detto dominio della funzione, e lo indicheremo anche con D, mentre il sottoinsieme di B formato dalle immagini degli elementi di A è detto codominio o immagine di A ed è indicato con C o con f(A) o con I.
Esempio
- x= variabile indipendente
- y= variabile dipendente
Una funzione può essere anche indicata con un'espressione del tipo: f(x;y)=0Esempio
Di una funzione f possiamo disegnare il grafico, cioè l'insieme dei punti P(x;y) del piano cartesiano tali che y è immagine di x mediante f, ossia l'insieme dei punti P(x;f(x)). Del grafico possiamo cercare le intersezioni con gli assi, che si determinano mettendo a sistema l'equazione della funzione con y=0 (equazione dell'asse x) o con x=0 (equazione dell'asse y). Esistono funzioni, dette funzioni definite a tratti, date da espressioni analitiche diverse a seconda dei valori attribuiti alla variabile indipendente.
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Classificazione delle funzioni
La funzione è algebrica se l'espressione analitica y=f(x) che la descrive contiene solo, per la variabile x, operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elemento a potenza o estrazione di radice. Una funzione algebrica può essere:
Razionale intera o polinomiale
Razionale fratta
Irrazionale
Dominio di una funzione
Il dominio naturale (o campo di esistenza) della funzione y=f(x) è l'insieme più ampio dei valori reali che si possono assegnare alla variabile indipendente x affinchè esista il corrispondente volore reale di y. Possiamo chiamare il dominio naturale anche soltanto dominio e lo indichiamo con D.
Funzioni uguali
y=f(x) e y=g(x) sono funzioni uguali se hanno lo stesso dominio D e f(x)=g(x) per ogni x appartiene al dominio
Zeri e segno di una funzione
Un numero reale a è uno zero della funzione y=f(x) se f(a)=0 Nel grafico f(x) gli zeri sono le ascisse dei punti di intersezione con l'asse x. Gli eventuali punti di intersezione con l'asse y si ottengono calcolando y=f(0), se x=0 appartiene al dominio di f. È possibile anche studiare il segno di una funzione y=f(x), cioè cercare per quali valori di x appartenenti al dominio il corrispondente valore di y è positivo, e per quali è negativo. Per esempio, la funzione y=2x-6 risulta positiva per x > 3, nulla per x=3, negativa per x < 3.
Grafici delle funzioni e trasformazioni geometriche
Simmetrie
Traslazioni
Dilatazioni
Proprietà delle funzioni
Una funzione da A a B può essere:
IniettIva
SuriettivA
Biunivoca
Le funzioni possono essere anche:
Decrescenti
Crescenti
Monotòna
Funzioni periodiche
y=f(x) è una funzione periodica di periodo T, con T>0, se, per qualsiasi numero k intero, si ha: f(x)=f(x+kT) In una funzione periodica il grafico si ripete di periodo in periodo. Se f(x) è periodica di periodo T, allora non è iniettiva, perché x e x+kT hanno la stessa immagine. Se una funzione è periodica di periodo T, essa lo è anche di periodo 2T, 3T... Le dilatazioni modifica oil periodo delle funzioni. Se f(x) è una funzione di periodo atm allora f(kx) è periodica di tipo T=T1/k.
Funzioni pari
Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se x appartiene al dominio, allora -x appartiene al dominio. y=f(x) è una funzione pari in D se f(-x)=f(x) per qualunque x appartenente al dominio. Se una funzione è pari, il suo grafico è simmetrico rispetto all'asse y.
Funzioni dispari
Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se x appartiene al dominio, anche - x appartiene al dominio. y=f(x) è una funzione dispari in D se f(-x)=-f(x) per qualunque x appartenente al dominio. Se una funzione è dispari, il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.
Funzione inversa
Data la funzione biunivoca y=f(x) da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biunivoca x=f (y) da B a A che associa à ogni valore di B il valore x di A tale che y=f(x). Se una funzione ammette l'inversa, si dice che è invertibile. Se una funzione f(x) non è biunivoca in A, è possibile effettuare una restrizione D' del dominio in cui sia biunivoca. Infatti, per l'invertibilità è sufficiente scegliere in A un sottoinsieme D' in modo che f(x) sia iniettiva in D', perché f(x) è senz'altro suriettiva se come insieme B di arrivo consideriamo l'immagine di f(x).
-1
Funzione composta
Date due funzioni f:A-->B e g:B-->C, con f*g o y=g[f(x)] indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni x di A immagine mediante g dell'immagine di x mediante f.
Grafici elementari
y=(lnx)+1
y=lnx
y=ln(x-1)
y=ln(x+1)
y=x
y=|lnx|
y=ln|x|
Grafici elementari
y=arctanx
y=senx
y=arccos x
y=cotx
y=2senx
y=tanx
y=cosx
y=arccotx
Limiti di funzione
Cosa sono gli intervalli?
Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali che corrisponde a una semiretta (intervallo illimitato) o a un segmento (intervallo limitato) della retta reale. Un intervallo può essere chiuso o aperto, a seconda che gli estremi appartengano o meno all'intervallo.
IntervalLI limitati
IntervallI illImitatI
Intorni di un punto
Dato un numero reale x0, un intorno completo x0 è un qualunque intervallo aperto I (x0) contenente x0:
Intorni di un punto
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Intorno destro e sinistro di un punto
Intorno di infinito
Dati a,b ∈ R, con a<b, chiamiamo:intorno di meno infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato inferiormente; I (-∞) = ]-∞;a[ = {x∈R| x<a} intorno di più infinito un qualsiasi intervallo aperto illimitato superiormente; I (+∞) = ]b; +∞[ ={x∈R| x>b} Si definisce inoltre intorno di infinito l’unione tra un intorno di -∞ e un intorno di +∞, cioè: I (∞) = I (-∞) U I (+∞) = {x∈R| x<a U x>b}
Insieme limitati e illimitati
Esistono insiemi numerici che non sono intervalli. Le proprietà di essere limitato o illimitato non è attribuibile solo agli intervalli, ma anche a un qualunque insieme numerico.
InsiEmi illimitatI
InSiemi Limitati
Estremi di un insieme
EstremO superiore
EsTremo inferiore
Proprietà
Punti isolati
Sia x0 appartenente a un sottoinsieme A di R. x0 è un punto isolato di A se esiste almeno un intorno I di x0 che non contiene altri elementi di A diversi da x0.
Per verificare che un punto di un insieme isolato basta determinare un solo intorno di quel punto che non contenga altri punti dell'insieme.
Punti di accumulazione
Il numero reale x0 è un punto di accumulazione di A, sottoinsieme di R, ogni intorno completo di x0 contiene infiniti punti di A. Si dimostra che è equivalente alla definizione data dire che x0 è un punto di accumulazione di A se ogni intorno completo di x0 contiene almeno un elemento di A distinto da x0.
La funzione f(x) ha per limite il numero reale l, per x che tende a x0, quando, comunque si scelta un numero reale positivo દ, si può determinare un intorno completo I di x0 tale che: |f(x) - l| < દ Per ogni x appartenente a I, diverso da x0. Si scrive:
Funzioni continue
Siano f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e x0 un punto interno all'intervallo. La funzione f(x) è continua nel punto x0 quando esiste il limite di f(x) per x--> x0 e tale limite è uguale al valore f(x0) della funzione calcolata in x0:
La funzione è continua nel suo dominio D quando risulta continua in ogni punto di D. Sono funzioni continue nel loro dominio qu'elle il cui grafico è una curva senza interruzioni; è il caso, per esempio, di una retta o di una parabola.
Limite per eccesso
Diciamo che f(x) tende a "l" per eccesso e scriviamo:
se f(x) è una funzione con limite finito "l" per x che tende a x0 e assume sempre valori maggiori di "l" in un intorno di x0, con x≠x0. Pertanto, la definizione di limite per eccesso si ottiene da quella più generale di limite aggiungendo la condizione f(x) > l in un intorno di x0. Poiché |f(x)-l|<દ∧f(x) > l → f(x)-l < દ, per verificare che , , basta provare che per ogni દ > 0 esiste un intorno I di x0 tale che per ogni x∈I, con al più x≠x0, si ha 0 < f(x)-l < દ, ossia l < f(x) < l+દ.
Limite per difetto
Diciamo che f(x) tende a "l" per difetto e scriviamo:
La definizione di limite per difetto si ottiene, quindi, aggiungendo alla definizione generale di limite la condizione f(x) < l in un intorno di x0, ossia ponendo: -દ< f(x)-l < 0. Allora, per verificare che , basta provare che ogni દ>0 esiste un intorno I di x0 tale che per ogni x∈I, con al più x≠x0, si ha -દ< f(x)-l < 0, ossia l-દ < f(x) < l
Limite destro
Il limite destro di una funzione viene indicato con il simbolo:
x --> x0 si legge "x che tende a x0". Ciò significa che x si avvicina a x0 restando però sempre maggiore di x0.
Limite sinistro
Il limite sinistro di una funzione viene indicato con il simb9lo:
x --> x0 si legge "x che tende a x0 da sinistra". Significa che x si avvicina a x0 restando però sempre minore di x0.
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e non definita in x0 interno ad [a;b]. F(x) tende a + ∞ per x che tende à x0 quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di x0 tale che f(x) > M per ogni x appartenente a I e diverso da x0. Si scrive: Sinteticamente possiamo dire che:
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo [a;b] e non definita in x0 interno ad [a;b]. F(x) tende a + ∞ per x che tende à x0 quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno completo I di x0 tale che f(x) < -M per ogni x appartenente a I e diverso da x0. Si scrive: In simboli:
Asintoti verticali
Data la funzione y=f(x), se si verifica che la retta x=c è asintoto verticale per il grafico della funzione. - La definizione di asintoto verticale è ancora valida se consideriamo il limite destro o il limite sinistro In questo caso parleremo di asintoto verticale destro o sinisro - La distanza di un generico punto del grafico di una funzione da un asintoto verticale, di equazione x=c, tende a 0 quando x-->c.
Una funzione f(x), definita in un intervallo illimitato a destra, tende al numero reale "l" per x che tende a +∞ quando, per ogni દ>0 fissato, si può determinare un intorno I di +∞ tale che |f(x)-l|<દ per ogni x∈I. Si scrive: Considerato che un intorno di +∞ è costituito da tutti gli x maggiori di un numero c, possiamo dire che
Una funzione f(x), definita in un intervallo illimitato a sinistra, ha limite reale "l" per x che tende a -∞ se, per ogni દ>0 fissato, è possibile trovare un intorno I di -∞ tale che |f(x)-l|>દ per ogni x∈I. Si scrive: In simboli:
Asintoti orizzontali
Data la funzione y=f(x), se si verifica una delle condizioni la retta y=q è asintoto orizzontale per il grafico della funzione. - se il limite esiste finito soltanto per x--> +∞ (o x--> -∞), abbiamo un asintoto orizzontale destro (o sinistro)
Una funzione f(x), definita in un intervallo illimitato a destra, ha per limite +∞ per x che tende à +∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di +∞ tale che f(x)>M per ogni x∈I. Si scrive: In simboli:
Una funzione f(x), definita in un intervallo illimitato a sinistra, ha per limite +∞ per x che tende à -∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di -∞ tale che f(x)>M per ogni x∈I. Si scrive: In simboli:
Una funzione f(x) ha per limite -∞ per x che tende a +∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di +∞ tale che f(x)<-M per ogni x∈I. Si scrive: In simboli:
Una funzione f(x) ha per limite -∞ per x che tende à -∞ quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di -∞ tale che f(x)<-M per ogni x∈I. Si scrive: In simboli:
Aintoti obliqui
La retta di equazione y=mx + q, con m≠0, è asintoto obliquo per il grafico di una funzione f(x) se: Se il grafico della funzione y=f(x) ha un asintoto obliquo di equazione y=mx+q, con m≠0, allora m e q sono dati dai seguenti limiti:
Teoremi sui limiti
Teorema di uniCità del limite
Teorema della permane del segno
Teorema del confronto
Limiti di funzioni elementari
Funzioni potenza
Funzioni esponenziali
Funzioni logaRitmiche
Funzioni radice
Limite della somma
Le funzioni hanno un limite finito
Le funzioni non hanno entrambe limite finitO
Limite del prodotto
Le funzioni hanno limite finIto
Le funzionI non hanno entrambe limite finito
Limite del quoziente
Le funzioni Hanno un limite
Le funzioni non hanno entrambe un limite finito
Limite delle funzioni composte
Consideriamo due funzioni, y=f(z) e z=g(x), per le quali possiamo fare la composizione f(g(x)), cioè tali che g(x) appartiene al dominio di f per ogni x appartenente al dominio di g. In particolare, se g(x) è continua in x0 e f(z) è continua in z0=g(z0), allora:
Forme indeterminate
∞/∞
Next
+∞ -∞
0^0
0/0
Next
∞^0
∞*0
1^∞
Limiti notevoli
Funzioni esponenziali e logaritmiche
Funzioni continue
Una funzione f(x), definità in un intorno di un intorno in un punto x0, è continua in x0 se: Una funzione f(x) è continua se: - è definita in x0, cioè esiste f(x0) - esiste finito - il valore del limite è uguale e a f(x0)
Continuità di una funzione inversa
Se y=f(x) è una funzione vietati a in un intervallo D, allora esiste la funzione inversa è definita nell'insieme immagine di f. Per essa vale il seguente teorema: Se y=f(x) è una funzione biettiva e continua in D, allora la funzione inversa è continua nell'insieme immagine di f.
Punti di Discontinuita Di prima specie
Punti di discontinuità di una funzione
PUNTI DI DISCONTINUITA DI seconda SPECIE
PUNTI DI DISCONTINUITA DI terza SPECIE