Il teorema di Pitagora

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Il teorema

di Pitagora

Vita di Pitagora

Pitagora,filosofo e matematico greco, nacque a Samo nel 580 a.C. circa. Dopo aver viaggiato in Egitto e in Babilonia, si stabilì a Crotone , dove, oltre a far nascere qui, nel 530 a.C. la sua scuola, diede impulso alla nascita di una setta filosofica-politica, che sviluppò uno studio della filosofia inteso come ricerca di leggi generali e di giustificazione a tutto e che ebbe notevole successo. L’attività politica, suscitò una violenta reazione popolare; la scuola fu incendiata e i pitagorici massacrati. E’ incerto se anche Pitagora sia morto in quella circostanza o se, riuscito a fuggire,si sia rifugiato a Metaponto morendovi poco dopo.

Vita di Pitagora

Gli si attribuisce il merito del riconoscimento della validità generale del teorema omonimo (peraltro già noto agli antichi babilonesi), dimostrò quelli di Talete, scoprì la teoria delle figure cosmiche, il teorema dei triangoli rettangoli che porta il suo nome.Una delle più ambigue voci sul matematico greco è il presunto assassinio di un suo allievo,Ipasso, che applicando il teorema di Pitagora al triangolo isoscele, scoprì l'irrazionalità della radice di 2,scatenando il caos in una società nella quale ancora non erano stati scoperti i numeri irrazionali.

IL TEOREMA DI PITAGORA

Pitagora è noto soprattutto per il suo teorema, il teorema di Pitagora, ma in realtà, l’enunciato del teorema (non la sua dimostrazione, però) era già noto in Egitto da più di un millennio. Secondo alcuni studiosi si può addirittura pensare che i Babilonesi di 4.000 anni fa conoscessero già la regola generale del teorema. Alcuni scritti cinesi antecedenti almeno mille anni la nascita di Pitagora, rivelano che il teorema era conosciuto anche da quelle parti. Situazione analoga in India.

Le origini del Teorema

Pitagora imparò i segreti del triangolo osservando il metodo che i “tenditori egizi di funi” mettevano in pratica per realizzare degli angoli retti necessari per la costruzione delle piramidi. Gli egiziani prendevano una fune di una certa lunghezza, chiusa come fosse una collana e divisa in dodici parti uguali segnate da nodi. Poi fissavano a terra la fune usando tre pioli, che ponevano in corrispondenza di tre nodi per comporre un triangolo rettangolo con i lati composti rispettivamente di 3, 4 e 5 parti. Da qui, ragionando e provando, Pitagora riuscì a dimostrare il teorema che porta il suo nome.Pitagora, tuttavia, mantenne segreta la sua scoperta, la cui divulgazione si deve al suo allievo Ippaso di Metaponto. Egli, violando la prescrizione della scuola pitagorica che imponeva il segreto svelò il teorema. E per questo fu cacciato dalla scuola.

Le origini del teorema

leggenda

Si racconta, ma è leggenda, che Pitagora abbia scoperto il suo teorema mentre stava aspettando di essere ricevuto da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo del tiranno di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento. La piastrella quadrata poteva essere divisa in due triangoli rettangoli uguali e l’area del quadrato costruito sulla diagonale di uno dei due triangoli rettangoli risultava il doppio dell’area di una piastrella. Questo quadrato risultava infatti composto da quattro mezze piastrelle, cioè da due piastrelle. Ma i quadrati costruiti sugli altri lati del triangolo corrispondevano ognuno all’area di una piastrella. In altre parole il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui due cateti.

Le origini del teorema

leggenda

Questo risultava evidente nel caso della piastrella quadrata, cioè di un triangolo rettangolo isoscele. Studiando meglio la figura ottenuta dall’osservazione delle piastrelle, Pitagora si accorse che il quadrato formato da quattro piastrelle si poteva scomporre in quattro triangoli rettangoli equivalenti e in un quadrato il cui lato era uguale alla lunghezza dell’ipotenusa di uno dei triangoli. Pitagora dovette aspettare alcune ore prima di essere ricevuto e così ebbe tempo di scoprire che il suo teorema era vero non soltanto nel caso particolare del triangolo isoscele, ma anche in molti casi.

La dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli Elementi di Euclide(a cui appartiene la prima dimostrazone che conosciamo) e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclidee e nella geometria neutrale. Euclide darà la sua formulazione: In ogni triangolo rettangolo il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale alla somma delle aree dei quadrati dei lati che contengono l’angolo retto. Quindi, in ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti. Se c indica la lunghezza dell’ipotenusa e a e b quelle dei due cateti possiamo scrivere il teorema in forma algebrica: a²+b²=c²

Enunciato del teorema di Pitagora

Nessun altro teorema ha ricevuto tanta attenzione e tante dimostrazioni, nonostante ciò ogni anno vengono pubblicate, dalle riviste matematiche, nuove dimostrazioni. Fra tutte queste dimostrazioni,in questa presentazione ne prenderemo in considerazione solo tre:

• la dimostrazione tramite il primo teorema di Euclide;

• la dimostrazione di Pomi;

• La dimostrazione di Gafield.

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Elisha Scott Loomis nel suo libro The Pythagorean Proposition pubblicato nel 1940, riporta ben 370 diverse dimostrazioni di questo teorema.

3 dimostrazioni del teorema di Pitagora

Dimostrazione tramite il primo teorema di Euclide

Dimostrazione di Pomi

Dimostrazione di Garfield

Quadrati concentrici di Pomi

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Dimostrazione geometrica basata su due quadrati concentrici, di lati rispettivamente pari all'ipotenusa e alla somma dei due cateti. Come si vede dalla figura, tolti i quattro triangoli rettangoli al quadrato più grande, che corrisponde all'area (a+b)^2, si ottiene il quadrato più piccolo, rappresentato in bianco, che equivale invece all'area c^2. Quindi (a+b)^2-4(ab)/2=c^2 da cui risolvendo si ottiene a²+b²=c²

Enunciato del primo teorema di Euclide

In un triangolo rettangolo ABC, retto in A, il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa

• Dimostrazione

• Dimostrazione di Garfield

Un'altra dimostrazione geometrica, nella cui costruzione non compare alcun quadrato, fu trovata nel 1876 da Garfield, che in seguito divenne il ventesimo Presidente degli Stati Uniti d'America.La dimostrazione segue sostanzialmente il metodo usato nella dimostrazione di Pomi, applicato però a metà figura, considerando cioè il trapezio anziché il quadrato.

• Dimostrazione di Garfield

Consideriamo una copia del triangolo rettangolo in questione, ruotata di 90 gradi in modo da allineare i due cateti differenti (nella figura a lato il rosso ed il blu). Si uniscono poi gli estremi delle ipotenuse, ottenendo un trapezio. Uguagliando l'area del trapezio alla somma di quelle dei tre triangoli rettangoli, si dimostra il teorema. In formule, detto a il cateto rosso, b il blu e c l'ipotenusa, e ricordando la potenza del binomio.

Grazie per la visione

Nicole Di Gregorio, 2C