Equipo 6

UNIDAD I

Equipo 6

Geometría Descriptiva Bidimensional

Temas 1.1.5.2 al 1.1.5.3

Índice

1. 1.1.5.2 Óvalos y ovoides

11. Empalme de dos arcos conocidos mediante otro arco de radio menor conocido.

2. Óvalo conociendo eje mayor

3 Óvalo conociendo eje menor

12. Empalme de dos arcos conocidos mediante un arco.

4. Óvalo conociendo ambos ejes.

5. Ovoide conociendo eje mayor.

13. Empalmar dos circunferencias conocidas con un arco exterior dado.

6. Ovoide conociendo eje menor.

7. Ovoide conociendo ambos ejes.

14. Empalmar dos circunferencias conocidas con un arco interior dado.

8. 1.1.5.3 Empalmes y tangentes.

15. Empalmar dos circunferencias conocidas con un arco mixto dado.

9. Empalme de dos rectas paralelas con dos arcos.

10. Empalme de un arco y una recta conocidos, con otro arco de radio distinto.

1.1.5.2

Óvalos y ovoides

óvalo

Es una curva cerrada y plana compuesta por un número par de arcos de circunferencia enlazados entre sí y simétricos respecto sus ejes mayor y menor normales entre sí.

Construir un óvalo conociendo el eje mayor

• Dado el eje mayor AB, lo dividimos en tres partes iguales.
• Por sus divisiones trazamos dos circunferencias
• O1 y O2 de radio la tercera parte del eje AB, estas se cortan en los puntos O3 y O4. O1, O2, O3 y O4 son los centros de los cuatro arcos que compondrán el óvalo.
• Los arcos de centro O1 y O2 tienen como radio la tercera parte del eje mayor y son tangentes a las trazadas con centro en O3 y O4, los puntos de enlace T2, T4, T1 y T3 de las circunferencias O1 Y O2 con O3 y O4 respectivamente están donde los segmentos unión de centros correspondientes corten a las circunferencias de centros O1 y O2.
• El radio de los arcos de centro O3 y O4 será por tanto la distancia existente entre ellos y sus correspondientes puntos de enlace.

Segundo método

2°

• Dividimos en cuatro partes iguales el eje mayor dado AB obteniendo los centros O1 y O2 de dos de los arcos en sus divisiones intermedias.
• Con centro en los extremos Ay B dados y radios AO1 y BO2 trazamos dos arcos que se cortan en O3 y O4, centros de los dos arcos restantes.
• Los puntos de enlace se determinan uniendo los centros O1 y O2 con O3 y O4 y con estos quedan a su vez determinados los radios de los arcos de centros O3 y O4 (O3-T2).

3°

Tercer método

• División del eje en 4 partes iguales y mediatriz
• Dado AB, eje mayor, lo dividimos en cuatro partes obteniendo O1 y O2 en las divisiones más cercanas a A y B.
• Con centro en el punto medio del eje mayor, trazamos una circunferencia cuyo radio mida la cuarta parte de dicho eje que corta a la mediatriz de AB en O3 Y O4 centro de los arcos simétricos respecto de AB.
• Para determinar los puntos de enlace y radios de estos dos últimos arcos, unimos los centros correspondientes como en ejercicios precedentes.

Ejemplo

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Construir un óvalo conociendo su eje menor

• Los extremos del eje menor dado serán centros de dos de los cuatro arcos de este óvalo (O3 y O4) y cuyo radio será igual al propio eje menor.
• Trazamos una circunferencia auxiliar de diámetro igual al eje menor dado que cortará a su mediatriz en los puntos O2 y O1, centros de los dos arcos restantes.
• Los puntos de enlace se calculan uniendo centros y con ellos los radios de los arcos de centros O1 y O2, arcos que cortarán a la mediatriz del eje menor en A y B, extremos del eje mayor.

Ejemplo

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óvalo conociendo ambos ejes

• Se traza un arco de centro en O con radio OA que corta a la prolongación de CD en el punto P. Se une A con C.
• Se dibuja un arco de radio CP con centro en C hasta cortar al segmento AC en V.
• Se dibuja la mediatriz de AV, que corta a OD en el punto M, y al semieje mayor en el punto N.
• Se dibujan los puntos simétricos de M y N respecto a los ejes del óvalo, M' y N'. Se unen los puntos M y M' con N y N', respectivamente y se prolongan las líneas.
• Se trazan los arcos de centro M y M' con radio M'D y MC, obteniéndose los puntos Q y Q' y P y P'.
• Por último, se dibujan los arcos de centro N y N' con radio NA y N'B hasta los puntos de tangencia anteriormente trazados : Q y Q' y P y P', de esta manera se consigue construir el óvalo.

Ovoide

Es una curva cerrada y plana, compuesta por dos arcos de circunferencia iguales y otros dos desiguales. Tiene un solo eje de simetría.

Ovoide a partir de su eje mayor

• Se divide el segmento AB en seis partes iguales, utilizando el método “Dividir un segmento” en partes iguales.

• Pinchando con el compás en el la marca 2 y con una abertura del compás equivalente al segmento 2-B, se traza un arco que pasará por el punto B y cortará a la línea perpendicular anterior en los puntos punto C y el punto D.

• Haciendo centro con el compás en la marca 2 y con una abertura de A-2, se traza un arco que pasa por el punto A y llega a la línea perpendicular, cortándola en los puntos E y F. Este arco, es el primer arco del ovoide. 4.
• Pinchando con el compás en el punto D, y con una abertura del compás de D-E, se traza un arco, que empieza en el punto E y acaba en el punto I, situado en la línea que pasa por la marca 5. Obtenemos el arco E-I. Desde el punto C, y operando de la misma manera, se obtiene el arco F-H. Se trata de los dos arcos iguales del ovoide.
• Haciendo centro en la marca 5, se traza el último arco del ovoide, que va del punto I al punto H, pasando por el punto B. Obtenemos el ovoide que estábamos buscando.

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Ovoide conociendo eje menor

• Se traza la MEDIATRIZ del segmeno AB (eje menor del ovoide), y a partir del centro del segmento, se traza una circunferencia que pase por los puntos A y B. La circunferencia corta a la mediatriz en el punto 1.
• Se traza una línea que pase por los puntos A y 1. De la misma forma, se traza otra línea que pase por B y por 1.
• Haciendo centro en el punto B, se traza un arco que vaya desde el punto A hasta la línea trazada entre el punto B y el punto 1. Se obtiene el punto 3. De la misma forma, se hace centro en A y se traza un arco que vaya desde el punto B a la línea formada entre el punto A y el punto 1. Se obtiene el punto 2. A través de esta operación, se ha obtenido los dos arcos iguales del ovoide.
• Haciendo centro en el punto 1, se traza un arco desde el punto 2 al punto 3. Este es el tercero de los arcos. El cuarto arco, se traza pinchando en el punto medio del eje menor (segmento AB) y trazando una semicircunferencia desde el punto A al punto B.
• Se repasan todos los arcos construidos en las operaciones anteriores, para dar la solución final del ovoide construido a partir del eje menor.

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Ovoide conociendo ambos ejes.

• Se toma el eje menor CD y se traza su mediatriz, obteniéndose el punto O1. Con centro en él y radio O1-C=O1-D, se dibuja una circunferencia que corta a la mediatriz en los puntos A y J. Desde A y sobre dicha mediatriz, se lleva el valor del eje mayor AB, quedando de esta manera situados los ejes del ovoide.
• A partir de C y sobre CD se lleva la magnitud C-1 obteniendo el punto 1. Desde el extremo del eje mayor B se lleva la distancia C-1 obteniéndose el punto O2, tal que C-1=O2-B.
• Se halla la mediatriz del segmento 1-O2 que corta a la prolongación del eje menor en el punto O3 hallamos el simétrico de O3 obteniendo el punto O4.
• Los puntos O1, O2, O3 y O4 son los cuatro centros del ovoide unimos el centro O2 con los O3 y O4 obteniéndose los puntos de tangencia 2y 3.
• Trazamos una circunferencia de centro O3 y radio O3-C desde C al punto 3 y con centro en O4 y radio O4–D trazamos otro arco de circunferencia desde Dal punto 2,por ultimo con centro en O4 se traza el arco de radio O4-B=O4-2=O4-3 con lo que se obtiene el ovoide buscado.

1.1.5.3 Empalmes y tangentes.

Empalmes

Tangentes

Es la relación entre los catetos de un triángulo rectángulo. Puede expresarse como valor numérico a partir de la división entre la longitud del cateto opuesto y el cateto adyacente del ángulo en cuestión.

Empalme o enlace es la unión de líneas con curvas, o curvas entre sí de modo que no formen ángulo en el punto de unión. Para que dos líneas se enlacen, es necesario que sean tangentes entre sí en el punto de unión.

Empalme de dos rectas paralelas con dos arcos.

Unimos los puntos A y D; prolongamos las paralelas a una distancia igual a la mitad de la línea AD, encontrando los puntos E y F. Unimos estos puntos y trazamos perpendiculares a cada paralela en el punto A y por el punto D . Buscamos la bisectriz del ángulo E que cortará a la perpendicular trazada por el punto A en el punto 0 y la bisectriz al ángulo F que cortará a la perpendicular trazada por el punto D en el punto 0’. Unimos los puntos O y O’ mediante una línea que cortará a la línea EF en el punto G. Haciendo centro en O’, con abertura del compás igual a O’A, trazamos un arco que unirá los puntos A y G. Haciendo centro en O con abertura del compás igual a OD, trazamos un arco que unirá los puntos G y D, obteniendo la solución del problema.

Empalme de un arco y una recta conocidos, con otro arco de radio distinto.

Trazamos una perpendicular a la línea CD que pase por el punto F. Sobre esta perpendicular, a partir del punto F, llevamos la mitad de la longitud de r, encontrando el punto O. Trazamos una perpendicular a la línea AB que pase por el punto E y la prolongamos hacia abajo. A partir del punto E llevamos la longitud de r, encontrando el punto P. Unimos el punto P con el punto O y trazamos una perpendicular en el punto medio de la línea OP que cortará a la perpendicular que trazamos sobre la línea AB en el punto O’. Haciendo centro en O trazamos un arco de circunferencia que unirá el punto F con el punto H sobre la línea OO’. Haciendo centro en 0’ trazamos un arco de circunferencia que unirá el punto H con el punto E, resultando a sí el empalme pedido.

Empalme de dos arcos conocidos mediante otro arco de radio menor conocido.

Empalmar dos circunferencias, O y O’, mediante un arco de radio conocido r. Emplear centro exterior y centro interior. PROCEDIMIENTO: Con centro en O y una abertura igual a la diferencia entre r y el radio de la circunferencia O, trazamos un arco, el cual se cortará en el punto C al trazar otro arco desde O’, con abertura igual a la suma de r mas el radio de la circunferencia O’. Unimos el punto C con los centros de las circunferencias mediante líneas para determinar los puntos de tangencia.

Empalme de dos arcos conocidos mediante un arco.

Cuando no se conoce la longitud del arco con el que se van a empalmar las circunferencias, es necesario elegir un punto de contacto en donde el radio va a ser proporcional a la distancia de estas.

Empalmar dos circunferencias conocidas con un arco exterior dado.

Se le llama arco exterior ya que el arco que va a unir a las dos circunferencias sobresale del radio de ambas.

Empalmar dos circunferencias conocidas con un arco interior dado.

Se le llama arco interior ya que el arco que va a unir a las dos circunferencias no va a sobresalir de sus radios.

Empalmar dos circunferencias conocidas con un arco mixto dado.

Un empalme mixto se refiere a que el arco de empalme será externo respecto a una circunferencia e interno respecto a la otra.

¡Gracias!