Jacobianos

Jacobianos

Cambio de variables

Paula Bermejo BernardoMarta Bonilla Íñigo Angélica Casero Baeza Carmen Gómez Oteo Roshni Mahtani Vashdev

ÍNDICE

01. ¿Qué es un cambio de variable?

03. Explicación de los Jacobianos

04. Ejemplo

02. ¿Qué es una matriz?

01. ¿QuÉ es un cambio de variable?

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Cambios de variable

El cambio de variable es una técnica matemática que nos permite resolver ecuaciones o integrales complejas al transformarlas en otras más sencillas.

Cambio de variable jacobiana

En nuestro caso, el cambio de variable jacobiano se emplea para resolver integrales de dos variables, de manera que se simplifica el integrando.

02. ¿QuÉ es una matriz?

¿Que representa una matriz ?

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas (m) y columnas (n).

Determinante de una matriz

Además, el determinante de una matriz de dimensión mxn es el resultado de restar la multiplicación de los elementos de la diagonal principal con la multiplicación de los elementos de la diagonal secundaria.

03. EXPLICACIÓN DE LOS JACOBIANOS

¿QUÉ ES LA MATRIZ JACOBIANA??

La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función.

Definición del Jacobiano

Si x=g(u, v) y y=h(u, v), entonces el jacobiano de x e y con respecto a u y v, es:

04. EJEMPLO

Tenemos la siguiente integral:

Siendo R la región acotada por:

• x+y=1 (1)
• x+y=4 (2)
• x-y=-1 (3)
• x-y=1 (4)

(2)

(3)

(1)

(4)

Hacemos una transformación:

Para simplificar esta región podemos transformar x+y y x-y (que se repiten varias veces) en “u” y “v”. Obtenemos: x= (u+v)/2 e y= (u-v)/2.

Queda una nueva región R, acotada por:

(2)

(1)

• u=1 (1)
• u=4 (2)
• v=-1 (3)
• v=1 (4)

Siendo v el eje vertical y u el horizontal

(3)

(4)

Como vemos, la región se simplifica

Para resolver la integral, debemos saber que:

Para sacar esto, primero hacemos el determinante jacobiano

Population and sample

Fieldwork

Como hemos visto antes x= (u+v)/2 e y= (u-v)/2. Por ello:

Population and sample

Fieldwork

Por lo tanto:

Hacemos primero la integral de u:

Population and sample

Fieldwork

Y ahora volvemos a integrar este resultado respecto a v:

¡Eso es todo!

¡¡Gracias!!