Geometrías no euclidianas

Geometrías no euclidianas

Área de matemáticas

Dra. Patricia García Godínez

El mundo de Euclides

Contradiciendo a Euclides

Geometría Hiperbólica

Geometría Elíptica

El mundo Euclidiano

Aproximadamente en el año 300 a.C el matemático griego Euclides se dio a la tarea de recopilar el conocimiento matemático existente hasta esa época en un texto dividido en 13 tomos, llamado Elementos.

Ilustración 1 Fragmento de la pintura La escuela de Atenas. Rafael Sanzio

Fragmento de Los Elementos de Euclides. Recuperado de http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/tha.jpg

“Fue uno de los grandes eventos de mi vida, tan deslumbrante como el primer amor. Nunca me habría imaginado que existiera algo tal delicioso en el mundo ”

Bertrand Rusell

"Si Euclides no logró encender tu entusiasmo juvenil, no naciste para ser pensador científico"

Albert Einstein

Conociendo los Elementos

• Los 6 primeros libros corresponden a la construcción del edificio de la geometría.

• Los libros 7 al 10 abordan la teoría de números

• Los tres últimos desarrollan la geometría espacial

Definición 1. Un punto es lo que no tiene partes.

Definición 2. Una línea es una longitud sin anchura.

[…]

Definición 4. Una línea recta es una línea que descansa en 2 puntos.

[…]

Definición 10. Cuando una línea recta está colocada sobre otra de manera que sus ángulos adyacentes son iguales, cada uno de esos ángulos es recto, y de las líneas rectas se dice que son perpendiculares.

[…]

Definición 23. Las líneas rectas paralelas, son líneas rectas que estando en el mismo plano y prolongándose indefinidamente en ambas direcciones, no se encuentran entre sí en ninguna de las direcciones

Postulado

Por dos puntos distintos pasa una sola recta.

II

Postulado

Un segmento rectilíneo puede ser siempre prolongado.

III

Postulado

Hay una única circunferencia con un centro y un diámetro dados.

IV

Postulado

Todos los ángulos rectos son iguales.

Postulado

Si una recta corta a otras dos de forma que los ángulos interiores de un mismo lado son menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas prolongadas indefinidamente, se encuentran del lado en el cual los ángulos son menores a dos rectos.

¿SERÁ POSIBLE DESARROLLAR UNA TEORÍA DE LA GEOMETRÍA SIN EL POSTULADO V?

Propiedad 29. La suma de los ángulos interiores de todo triángulo es de dos ángulos rectos

Postulado V Propiedad 29

Equivalencias del Postulado V

Toda recta que corte a una de dos paralelas, corta también a la otra.

Proclo (410-485 dC)

Una recta paralela a otra dada, dista de ella una distancia constante

Existen triángulos semejantes no iguales.

John Wallis (1616-1703)

Existe un triángulo cuya suma de sus ángulos interiores es de dos rectos

Andrien Legendre (1752-1833)

Existen triángulos semejantes no iguales.

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

Desde un punto exterior a una recta pasa una, y sólo una, paralela a la primera recta

John Playfair (1748-1819)

contradiciendo a euclides

Euclides liberado de cada defecto

Gerolamo Saccheri (1731)

Cuadrilátero de Saccheri

Postulado V Los ángulos D y C son rectos

A través del método de Reducción al absurdo, intentó demostrar que, si se comienza suponiendo que los ángulos en C y D son agudos u obtusos, se contradice alguno de los otros cuatro postulados. Saccheri sentó las bases de las geometrías NO euclídeas

01

La hipótesis del ángulo obtuso contradice el hecho de que las rectas sean infinitas

La hipótesis del ángulo agudo no produce contradicciones con los otros 4 postulados

02

-La hipótesis del ángulo recto es equivalente a que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°-LA HIPÓTESIS DEL ÁNGULO agudo ES EQUIVALENTE A QUE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE UN TRIÁNGULO es menor a 180° -LA HIPÓTESIS DEL ÁNGULO obtuso ES EQUIVALENTE A QUE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE UN TRIÁNGULO es mayor a 180°

03

Janos Bolyai (1802-1860)

"He creado un mundo mágico"

Construye la primera geometría no euclidiana, hoy llamada geometría hiperbólica considerando los postulados I-IV y la hipótesis del ángulo agudo.Bolyai sustituye el quinto postulado por una de sus negaciones

Por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas a la primera.

Los pintores

La ciencia de la pintura (que está sujeta a la óptica y la geometría reside en el relieve de los cuerpos y en el arte de que el fondo tenga profundidad, lo cual se consigue con las reglas de la perspectiva.

Vista de la nave. óleo sobre lienzo. Filippo brunelleschi 1425-1446.

Leonardo da Vinci. Tratado de la pintura.

Los filósofos

Las largas cadenas de razonamientos simples y fáciles por las cuales los geómetras suelen alcanzar las demostraciones más difíciles, me han llevado a imaginar que todas las cosas cuyo conocimiento es de interés para el hombre, se relacionan entre sí de esa misma manera. René Descartes (1596-1650)

El matemático ruso Lobachevski propone que la geometría depende de la forma de medir la distancia.

Entre 1826 y 1829 construye la primera geometría no euclidiana "La geometría hiperbólica"

Por un punto exterior a una recta pueden pasar infinitas rectas paralelas a la primera

El disco de Poincaré

Las rectas se definen como arcos de circunferencia que cortan al disco abierto en un ángulo recto. La recta AB y la recta CD se llaman asintóticamente paralelas. Las rectas CD y EF son divergentemente paralelas

...tales seres pensarán que su universo es infinito pues nunca llegarían a tocar su borde ya que sus pasos se harían cada vez más cortos.Henri Poincaré (1854-1912)

Cielo e infierno (1960). Grabado en madera. Maurits Cornelis Escher (1898-1972)

La geometría esférica

En 1854 Riemann presenta su obra HIPÓTESIS EN LAS QUE SE BASA LA GEOMETRÍA

dADO UN PUNTO EXTERIOR A UNA RECTA NO EXISTE ALGUNA RECTA PARALELA QUE CONTENGA AL PUNTO.

"Así como no existe la línea indefinida recta, porque acaba por convertirse en curva, tampoco existe el plano recto, porque prolongado tiene que seguir la curvatura del universo. Pero como la seguirá en todas las direcciones, el único plano curvo es el esférico. No hay más geometría que la que se traza sobre una esfera"

EL MODELO PARA LA GEOMETRÍA DE RIEMANN ES UNA ESFERA como caso particular de un elipsoide

Bernhard Riemann

Los puntos en la geometría riemanianna se definen en el mismo sentido que en la geometría euclidiana pero para enfatizar el hecho de que éstos están sobre la esfera los llamaremos e-puntos.

Sin pérdida de generalidad, de ahora en adelante consideraremos una esfera de radio uno.

Riemann demuestra que la distancia más corta de un punto a otro sobre una esfera es el arco más pequeño de circunferencia máxima que los une. Las circunferencias máximas son aquellas que se obtienen al cortar la esfera con un plano que pase por su centro.

Como en la geometría euclidiana la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, en la geometría esférica las líneas rectas son arcos de circunferencia máximas que llamaremos e-líneas

La medida de un arco de circunferencia está dada por:

En una esfera las distancias se miden en radianes

en nuestro caso:

Los puntos antipodales

Los e-puntos que se encuentran a una distancia

• A través de dos puntos antipodales pasan infinitas e-rectas

• Si P fuese uno de los polos, las e-líneas son los meridianos (longitud)

Euclides

Geometría esférica

Postulado I Por dos puntos distintos pasa una sola recta

Sean dos e-puntos distintos.

• Si los e-puntos son antipodales, a través de ellos pasan infinitas e-rectas.

• Si los puntos no son antipodales, a través de ellos pasa una única e-recta

Euclides

Geometría esférica

Postulado II Un segmento de línea recta puede extenderse sin limitaciones

La e-línea puede prolongarse por cualquiera de los puntos que la definen aunque se intersectará con ellos infinitas veces.

Euclides

Geometría esférica

Postulado III Hay una única circunferencia con un centro y un diámetro dados. Dados un punto y una distancia, hay una única circunferencia que tiene a ese punto como centro y a esa distancia como radio.

Dado un e-punto y una distancia, existe una única circunferencia que tiene al punto como centro y a la distancia como radio. Observa que las e-circunferencias corresponden a los paralelos (latitud) de la superficie terrestre.

Euclides

Geometría esférica

Postulado IV Todos los ángulos rectos son iguales

El ángulo entre dos geodésicas que se intersectan se define como el ángulo entre sus tangentes de manera que la forma de medir ángulos es igual que en la geometría euclidiana, por lo tanto en postulado IV se cumple.

Euclides

Geometría esférica

Postulado V Desde un punto exterior a una recta pasa una sola recta paralela a la primera.

Dado un e-punto exterior a una e-recta, NO EXISTE NINGUNA e-recta paralela a la primera que pase por este punto.

¿ y las otras equivalencias?

la medida de los ángulos interiores es la medida del e-segmento

En la geometría esférica NO existen triángulos semejantes

en un e-triángulo la suma de los ángulos interiores es mayor a 2 rectos

Aplicaciones

• Navegación

• Geo-localizadores

• generación de imágenes

• diseño asistido por ordenadores

• Automatización

• teoría de la relatividad

“Aquí teneis por qué formó Dios con varios todos un todo único y perfecto y a resguardo de la vejez y las enfermedades. En cuanto a su forma...no podía ser más que la que abarca todas las formas. Por esto redondeó el mundo hasta hacer de él una esfera, y puso las extremidades en todas partes a igual distancia del centro , lo que es la más perfecta de las figuras y la más semejante a sí misma... ”

Platón

Gracias

Referencias Gómez J. Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclídeas. Colección National Geographic. El mundo es matemático. (2016) Trigo V. El quinto postulado de Euclides…y la geometría del universo. Asociación de Autores Científico-Técnicos y Académicos. Un sitio para todos. ACTA. p.37-p46. Jiménez W. Introducción a la geometría esférica de Riemann haciendo uso de Cabrí Geometrye y una representación analítica. Monografía para optar por el título de licenciado en matemáticas por la Universidad Pedagógica Nacional. Facultad de Ciencia y Tecnología. Departamento de Matemáticas. Bogotá, Colombia. (2006)

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