MATEMATICA

FUNZIONE INTEGRALE ETEOREMA FONDAMENTALEDEL CALCOLO INTEGRALE

CAMILLA CENICCOLA VELiceo G. D. Cassini 2020/21

DEFINIZIONE DI FUNZIONE INTEGRALE

Sia 𝑓 una funzione continua su [𝑎, 𝑏]; si chiama funzione integrale di 𝑓 (relativa al punto 𝑎) la funzione 𝐹:[𝑎, 𝑏] →R definita da:

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Per ogni x la funzione fornisce l'area della parte colorata.

Se la funzione integranda è positiva (o nulla).

IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Una prima versione del teorema è dovuta a James Gregory e Isaac Barrow. Isaac Newton e Gottfried Leibniz completarono successivamente lo sviluppo della teoria matematica in cui è ambientato il teorema.

Esso stabilisce un'importante connessione tra i concetti di integrale e derivata per funzioni a valori reali di variabile reale.

Si divide in due parti dette primo e secondo teorema fondamentale del calcolo integrale (il secondo è denominato anche "Teorema di Torricelli-Barrow").

Data una funzione 𝑓(𝑥) definita e continua nell’intervallo [𝑎, 𝑏], se 𝐹(𝑥) è una primitiva di 𝑓(𝑥), allora l’integrale definito è dato da:

IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

Sia 𝑓(x):[𝑎, 𝑏] →R𝑓(x) continua in [𝑎, 𝑏] e sia F(x):[𝑎, 𝑏] →R la funzione integrale

Allora 𝐹(x) è derivabile (e quindi anche continua) in [𝑎, 𝑏] e risulta:

per ogni x ∈ [𝑎, 𝑏]

IL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE

CONSIDERAZIONI INTUITIVE

DIMOSTRAZIONE

ESEMPIO

LE FUNZIONI INTEGRALI COME PRIMITIVE

È bene evidenziare la presenza di funzioni le cui primitive non sono funzioni elementari. Ad esempio:

Alcune di queste primitive sono così importanti e frequenti da avere un nome proprio, ne è un esempio la "funzione degli errori" (o di Gauss) che ha un ruolo fondamentale anche in probabilità e statistica:

Tali primitive esistono in tutti gli intervalli dove le funzioni sono continue in base al teorema fondamentale del calcolo integrale: sono le loro funzioni integrali.

FONTI

-"I colori della matematica BLU" di Leonardo Sasso e Claudio Zanone - https://www.youmath.it - https://www.math.it/ - https://www.skuola.net/ - http://web.math.unifi.it/ - it.wikipedia.org