PUISSANCES

Puissances

De l'infiniment petit à l'infiniment grand

Sections

Activités

Propriétés

Découverte, utilisation des puissances.

Exercices

Puissances (n > 0)

Puissances (n < 0)

Puissances de 10

Priorités de calcul

Ecritures

Le secret

La ville du Grand Secret a une particularité.

Lorsqu'un de ses habitants apprend un secret, il le garde jusqu'à la fin de la journée puis le répète le lendemain à 3 personnes qui l'ignoraient.

Bien sûr, le surlendemain, les 3 personnes le répètent à nouveau...

27

729

2187

6561

19683

81

243

59049

14348907

205891132094643

Comment se propage la nouvelle ?

Amzing subtitle here

DatA

1 personne

Une personne apprend une nouvelle incroyable par son cousin qui habite Situssavé, ville située à l'autre bout du pays, qui l'a entendu par son facteur dont le neveu de sa demi-tante à le même coiffeur que la personne concernée.

1x3 = 3 personnes

3x3 = 9 personnes

9x3 = 27 personnes

Dans le tableau ci-contre, indiquer le nombre de personnes qui apprennent le secret le jour indiqué. (pas d'espace)

27x3 = 81 personnes

81x3 = 243 personnes

243x3 = 729 personnes

Attention! Pour la suite, on saute au 15ème jour !

729x3 = 2 187 personnes

Aide 1

2 187x3 = 6 561 personnes

Aide 2

6 561 x 3 = 19 683 personnes

19 683 x 3 = 59 049 personnes

3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 = 14 348 907

3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3x3 = 205 891 132 094 643

compteur

Bactéries

Cette bactérie a la particularité de se diviser en deux bactéries identiques chaque heure !

Combien y a-t-il de bactéries :

- au bout d'une heure ?

On veut étudier sa propagation sur une journée. On observe donc le nombre de bactéries présentes à chaque heure.

- au bout de trois heures ?

- au bout de dix heures ?

- au bout d'une journée ,

Au bout de combien de temps dépasse-t-on le nombre de 2000 bactéries ?

Répondre

VALIDER

On atteint 1 024 bactéries au bout de 10 h. On doublera donc le nombre de batéries lors de la prochaine heure, soit la 11ème heure !

Cours

PUISSANCES

Une nouvelle écriture.

I. Puissance d'un nombre relatif.

Lorsque la même multiplication se répète plusieurs fois, on peut "simplifier" l'écriture en notant en exposant le nombre de fois qu'apparaît le facteur:

1) Avec un exposant entier positif.

Définition :

Soit n un nombre entier positif supérieur ou égal à 2.

an (où a est un nombre relatif) représente le produit de n facteurs tous égaux à a.

5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 56

an = a x a x ... x a

7 x 7 x 7 x 7 = 74

n facteurs

an est une puissance du nombre a.

n est appelé exposant.

Cours

Exemples :

est le produit de 3 facteurs, tous égaux à

24 est le produit de 4 facteurs, tous égaux à 2.

24 = 2x2x2x2 = 64.

(-3)2 est le produit de 2 facteurs, tous égaux à -3.

(-3)² = (-3)x(-3) = 9

Il faut bien faire attention à la présence de parenthèses ou pas lorsqu'il y a des nombres négatifs ou des fractions !

-3² = - (3x3) = -9

Cours

Règle des signes(a négatif)

Cas particuliers :

L'exposant indiquant le nombre de facteurs apparaissant dans la multiplication, cela va nous aider à déterminer le signe de la puissance d'un nombre négatif !

a² se lit "a au carré"

a3 se lit "a au cube"

Convention :

Si l'esposant est PAIR alors la puissance est POSITIVE.

Pour tout nombre a non nul, on a : a0 = 1.

(-7)124 > 0 car 124 est pair.

Pour tout nombre a, on a : a1 = a

Si l'esposant est IMPAIR alors la puissance est NEGATIVE.

Exemples :

1 2500 = 1

(-7)51 < 0 car 51 est impair.

(-18)1 = -18

Exercices

Règle des signes

Calculs

Les inverses

Petit rappel : relier les inverses entre eux

recommence

Valider

Recommencer

Cours

PUISSANCES

Exemples

2) Avec un exposant entier négatif.

Définition :

Soit n un nombre entier positif non nul.

a-n (où a est un nombre relatif non nul) représente l'inverse de an.

En particulier :

Pour tout nombre non nul a, on a :

On retrouvera cette notation dans les unités de grandeurs quotients : le km/h se notera aussi le km.h-1.

Cours

Cas des fractions :

A retenir :

Cours

Quelques exemples

Cours

Puissance dans une fraction:

Lorsque l'on a une puissance avec exposant négatif dans une fraction, il suffit finalement de la "changer de place" (numérateur-dénominateur) pour l'avoir avec un exposant positif :

Exercices

Inverses

Calculs

II. Priorités

Cours

Dans une expression contenant toutes les opérations, on effectue dans l'ordre :

Les calculs entre parenthèses

Les calculs de puissances

Les multiplications et divisions

Les additions et soustractions

Exemple :

A = 50 - 3x4²

= 50 - 3x16

= 50 - 48

= 2

= 5 - 27

B = 5 - 33

= - 22

C = 3x(-3 + 5)4

= 3x24

= 3 x 16

= 48

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Propriétés

1) Les nombres suivants sont des puissances de 2. Précisez leur exposant.

126

32

VALIDER

compteur

Propriétés

2) Complétez :

128

32

VALIDER

25

22

27

x 2

x 2

compteur

Propriétés

3) Regardez les multiplications avec les puissances puis émettez une conjecture :

Lorsque l'on multiplie des puissances d'un même nombre, alors on additionne leurs exposants.

x 8

x 4

128

32

VALIDER

25

22

27

x 22

x 23

compteur

Prenons deux entiers positifs m et n et un nombre a.

= ax...xaxax...xa

= am+n

amxan=

ax...xaxax...xa

m facteurs

n facteurs

m+n facteurs

Mutliplier par une puissance d'un même nombre revient à rajouter des facteurs égaux à la multiplication.

Propriétés

4) Complétez :

128

32

VALIDER

25

22

27

: 2

: 2

compteur

Propriétés

5) Regardez les divisions avec les puissances puis émettez une conjecture :

Lorsque l'on divise des puissances d'un même nombre, alors on additionne leurs exposants.

128

32

VALIDER

25

22

27

x 22

x 23

compteur

Prenons deux entiers positifs m et n et un nombre a.

m-n facteurs

m facteurs

ax...xa

ax...xa

am-n

am:an=

si m>n (on simplifie la fraction)

ax...xa

n facteurs

= a-(n-m)

= am-n

si m<n

ax...xa

an-m

n-m facteurs

Diviser par une puissance d'un même nombre revient à enlever des facteurs à la puissance de départ.

Que se passe-t'il si les exposants sont négatifs ?

Si n<0 alors -n>0.

am

am- (-n)

amxan=

= am+n

On raisonne de même pour m<0.

a-n

amxa-n

am

= am-n

am: an=

an

Pour tous nombres entiers m et n et pour tout nombre non nul a, on a:

amxan= am+n

am:an= am-n

Puissance d'une puissance

Prenons deux nombres entiers positifs m et n et un nombre a.

ax...xax...xax...xa

amx...xam =

= amxn

(am)n =

m facteurs

m facteurs

n facteurs

n fois m facteurs

Pour tous nombres entiers m et n et pour tout nombre non nul a, on a:

(am)n= amxn

Exercices

Calculs

Produit ou quotient de puissances

On peut reggrouper les produits ou quotients de puissances de deux nombres différents si leurs exposants sont les mêmes !

= (ab)n

= ax...xaxbx...xb

= (axb)x...x(axb)

anxbn

n>0

n facteurs égaux à ab

n facteurs

n facteurs

ax...xa

x...x

an:bn

= (a/b)n

bx...xb

Pour tout nombre entier n et pour tous nombres non nuls a et b, on a:

n facteurs

n facteurs égaux à a/b

anxbn = (axb)n

anxbn

n<0

(ab)n

a-n

(ab)-n

a-nxb-n

b-n

(donc -n>0)

an: bn = (a : b)n

an:bn

b-n:a-n

(b:a)-n

(a:b)n

on prend l'inverse

III. Propriétés

Cours

Pour tout nombre a non nul, et pour tous entiers relatifs m et n, on a :

am x an = am + n

am : an = am-n

(am) n = amxn

Pour tous nombres a et b non nul, et pour tout entiers relatifs m, on a :

(a x b)m = am x bm

(a : b)m = am : bm

pas de formule simple pour la puissance d'une somme ou d'une différence !

(5 + 7)² = 12² = 144 mais 5²+7² = 25 + 49 = 74. Donc la puissance d'une somme n'est pas la somme des puissances !

2021-04-26T18:14:00

IV. Puissances de 10

Cours

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 2.

10n est le produit de n facteurs égaux à 10.

10n = 10x...x10

L'écriture décimale de 10n est un 1 suivi de n 0 : 10n = 10..0

Exemples

10²=10x10=100

103=10x10x10=1000

par convention : 100 = 1 et 101 = 10

Compléter :

1 000 000 = 10

105 =

VALIDER

compteur

109 =

100 000 000 = 10

IV. Puissances de 10

Cours

Soit n un nombre entier strictement positif.

10-n est l'inverse de 10n.

10n

10-n =

L'écriture décimale de 10-n est 0,0..01 (1 est au nème rang, n 0 en tout)

Exemples

100

102

10-2= = = 0,01

105

10-5= = = 0,000 01

100 000

Compléter :

VALIDER

0,000 000 1 = 10

10-3 =

compteur

10-1 =

0,000 000 000 1 = 10

Propriétés

On applique les mêmes propriétés pour les puissances de 10 que pour les puissances d'un nombre a.

Pour les produits ou quotients comprenant des puissances de 10 et d'autres puissances, on pourra regrouper les puissances de 10 entre elles.

17 500 000 000

25x7x103+5 =

175x108 =

175x100 000 000 =

(5²x7)x(103x105) =

5²x103x7x105 =

Exercice

(agrandir)

V. Ecriture scientifique

Cours

Dans un nombre chaque classe (rang) correspond à une puissance de 10.

55 millions peut s'écrire 55 x 1 000 000 ou 55 x 106.

1 736 peut s'écrire 1,736 x 1 000 ou 1,736 x 103.

37,4 milliards peut s'écrire 37,4 x 1 000 000 000 ou 37,4 x 109.

on retrouve ces puissances dans de nombreux domaines, avec des préfixes dédiés :

50 000 € peut s'écrire 50 x103 € ou 50 k€ (kiloeuros)

la largeur d'une bactérie est 1,5 µm (micromètre) ou 1,5x10-6 m.

Un disque dur a une capacité de 2 To (teraoctets) ou 2x1012 octets

V. Ecriture scientifique (suite)

Cours

Propriété

Tout nombre peut s'écrire sous la forme a x 10n où a est un nombre décimal et n est un nombre entier relatif.

Définition

L'écriture scientifique d'un nombre est la seule écriture du type ax10n où a est un nombre décimal compris entre 1 et 10, (1 inclus).

la distance entre la Terre et le Soleil est d'environ 149 600 000 km.

Cette distance peut s'écrire à l'aide de puissances de 10 :

1 496 x 105

149 600 x 103

1,496 x 108

14,96 x 107

Parmi ces écritures, une seule est l'écriture scientifique de 149 600 000 : celle dont le nombre décimal est entre 1 et 10 (1 inclus). 1,496 x 10 8.

Compléter les écritures scientifiques des nombres suivants.

1 450 000 000 000 =

x 10

VALIDER

x 10

362 000 000 =

x 10

0,000 095 =

compteur

grands nombres

x 10

0,000 000 000 369 =

Aides

petits nombres

merci à devoir2math

02

03

01

01

Ecritures

Propriétés

Définitions

On peut regrouper les produits et quotients de puissances d'un même nombre ou de mêmes exposants.

On peut décomposer n'importe quel nombre à l'aide de puissances de 10.

la puissance d'un nombre avec un exposant positif est une multiplication qui se répète avec ce nombre.

La décomposition la plus connue est l'écriture scientifique où le nombre décimal est entre 1 (compris) et 10 (exclu).

la puissance d'un nombre avec un exposant négatif est l'inverse de la puissance avec exposant opposé.

Pour les autres opérations, on respecte les priorités de calcul.

FIN

papier et stylo nécessaires

VALIDER

compteur