La diversità e l'unicità in matematica

LA DIVERSITà E L'UNICITà IN MATEMATICA

Fabrizia Carfora, Francesca di Grazia, Sara Prato, Viviana Zito

ARGOMENTI

unicità e diversità in geometria

unicità e diversità in algebra

numeri primi

unicità e diversità in fisica

i concetti di unicità e diversità in geometria

che cosa significa "uno ed uno solo"?

Tale affermazione è usata nelle definizioni e riassume i concetti di esistenza ed unicità. -Esistenza: vuol dire che l’oggetto descritto esiste e ne esiste sempre almeno uno. -Unicità: l’oggetto descritto è unico. Non esistono altri oggetti identici.

Questa proposizione vuol dire che in due punti del piano passa sempre una retta (esistenza) e questa retta è unica (unicità). Negli stessi punti NON passa un’altra retta.

i concetti di unicità e diversità in geometria

che cosa significa postulato o assioma?

In geometria sono delle affermazioni primitive, cioè verità che sono suggerite dall’esperienza e che non devono essere mai dimostrate.

chi era euclide?

Matematico e filosofo greco, visse intorno al 300 a.C. ad Alessandria, autore di numerosi trattati, l’opera più famosa sono “Gli Elementi”, alla base della cosiddetta geometria euclidea.

unicità e diversità in geometria

Concetto di coincidenza (simbolo: ≡ )

Un primo concetto di uguaglianza tra figure è quello di coincidenza, infatti si dice che “due figure coincidono se ogni punto della prima figura appartiene, (“sta su”) ad un punto dell’altra e viceversa.

In geometria questa relazione non va intesa in senso spaziale, cioè nel senso del linguaggio comune facendo riferimento ad oggetti fisici reali. Infatti sappiamo che in geometria il punto è qualcosa che non ha “alcuna dimensione”, quindi in un certo senso due punti che coincidono è come se si fondessero l’uno con l’altro. In sostanza,quindi, la coincidenza afferma solo che una figura è uguale a sè stessa e quindi non aggiunge nuova conoscenza.

concetto di congruenza

esempio:

I segmenti AB e A’B’ sono congruenti: AB=A’B’

Due segmenti, due figure si dicono congruenti se mediante un movimento rigido si può portare uno di essi a coincidere punto a punto con l’altro. Dopo lo spostamento il segmento deve essere assolutamente identico a prima, cioè cambia solo ed esclusivamente la sua posizione. Anche per questo concetto bisogna far ricorso all’intuito per concepire l’idea di movimento rigido e per definire il concetto di congruenza fra due figure. È un concetto più ricco di eguaglianza tra figure, poichè la congruenza, mette in relazione due figure, che sono “diverse“, in quanto esistono separatamente l’una dall’altra, ma ne afferma l’uguaglianza. In ciò notiamo il tema dell’uguaglianza nella diversità.

unicità e diversità in geometria

il concetto di equivalenza (simbolo : ≐)

Due figure piane se congruenti sono equivalenti, cioè hanno la stessa superficie. Ma anche due figure piane di forma “diversa” si dicono equivalenti se occupano la stessa superficie. Due figure equicomposte sono equivalenti.

Due figure piane ottenute sottraendo o addizionando figure congruenti sono equivalenti.

unicità e diversità in geometria

la similitudine

La similitudine è una trasformazione non isometrica (isometria significa uguale misura, quindi nelle trasformazioni isometriche non variano né la forma né l’estensione). -Due figure sono simili se hanno la stessa forma, ma non necessariamente le stesse dimensioni. -Due poligoni sono simili se hanno gli angoli corrispondenti congruenti e il rapporto fra due lati corrispondenti costante.

Il rapporto fra due lati corrispondenti prende il nome di rapporto di similitudine e si indica con k.

unicità e diversità in geometria

Anche in questa trasformazione si nota come vi sia l’uguaglianza nella diversità, infatti, restano uguali l’ampiezza degli angoli e il rapporto fra i lati corrispondenti, mentre ovviamente mutano le misure delle lunghezze dei segmenti, delle aree...

unicità e diversità in algebra

l'unicità di un elemento

In matematica e logica, l'unicità di un elemento nel soddisfare una certa proprietà sta nel fatto che qualunque oggetto che soddisfi tale proprietà è uguale all'elemento di partenza. In altre parole, non possono esistere due elementi differenti che soddisfano questa proprietà. Tuttavia, dimostrare l'unicità di un elemento non è una condizione sufficiente per dedurre a priori l'esistenza dell'elemento. La frase "esiste uno e uno solo" è utilizzata per indicare che una certa proprietà esiste esattamente una volta. Il primo termine "uno" sta ad indicare l'esistenza, mentre il secondo l'unicità di tale proprietà. Il quantificatore di tale espressione è esistente e unico.

unicità e diversità in algebra

come dimostrare l'unicità?

La tecnica più usuale per dimostrare l'unicità è innanzitutto dimostrare l'esistenza di un'entità che soddisfi la condizione in questione; successivamente assumere l'esistenza di due entità che soddisfino tale condizione e dedurre logicamente a che dev'essere uguale. L’uguaglianza passa ad avere, dunque, la connotazione della equivalenza, e cioè sta a significare che due (o più) espressioni, “diverse” nella forma, sono in realtà “uguali” in valore.

unicità e diversità in algebra

espressioni come uguaglianza

In questo senso potremmo pensare all’equivalenza (fra espressioni) come a una prima forma di “uguaglianza nella diversità”, e quindi a uno strumento per arrivare a “nuova conoscenza”. Anche la disuguaglianza può legare due o più espressioni numeriche, ma, in questo caso, aldilà del fatto di metterle in ordine secondo il loro valore numerico, la disuguaglianza non assume nuovi significati.

numeri primi

che cos'è un numero primo?

In matematica, un numero primo (in breve anche primo) è un numero intero positivo che abbia esattamente due divisori distinti. In modo equivalente si può definire come un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto. L'unico numero primo pari è 2, in quanto tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2 Quello di numero primo è uno dei concetti basilari della teoria dei numeri, la parte della matematica che studia i numeri interi: l'importanza sta nella possibilità di costruire con essi, attraverso la moltiplicazione, tutti gli altri numeri interi, nonché l'unicità di tale fattorizzazione. I primi sono inoltre infiniti e la loro distribuzione è tuttora oggetto di molte ricerche.

numeri primi

storia

I numeri primi sono oggetto di studio fin dall'antichità: i primi risultati risalgono agli antichi Greci, e in particolare agli Elementi di Euclide, scritti attorno al 300 a.C. Ciononostante, numerose congetture che li riguardano non sono state ancora dimostrate; tra le più note vi sono l'ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach e quella dei primi gemelli, indimostrate a più di un secolo dalla loro formulazione.

numeri primi

la loro importanza

I numeri primi sono rilevanti anche in molti altri ambiti della matematica pura, come ad esempio l'algebra o la geometria; recentemente hanno assunto un'importanza cruciale anche nella matematica applicata, e in particolare nella crittografia. Essi restarono confinati nell'ambito della matematica pura fino agli anni settanta, quando venne sviluppato il concetto di crittografia a chiave pubblica; il primo algoritmo di questo tipo, l'RSA, sfrutta infatti la difficoltà di fattorizzare numeri grandi formati da due soli fattori primi. Per questo motivo, ha assunto una notevole importanza anche la ricerca di numeri primi sempre più grandi. A partire dal 1951, tale ricerca viene effettuata attraverso l'uso di computer.

unicità e diversità in fisica

fisica moderna

Si definisce fisica moderna l'insieme degli sviluppi teorico-sperimentali che a partire dal XX secolo hanno segnato un salto concettuale rispetto alla fisica classica, elaborata a partire dal XVII secolo. Le discipline della fisica moderna studiano dall'infinitamente piccolo all'infinitamente grande: dalle particelle e le interazioni fondamentali, alla struttura, nascita ed evoluzione dell'universo, passando per tutti quei fenomeni descrivibili solo con la meccanica quantistica. Tutte le teorie validate della fisica moderna comprendono al limite le teorie classiche.

unicità e diversità in fisica

storia

Lo spartiacque tra le due fasi storiche è posto all'inizio del Novecento con la nascita della meccanica quantistica e della teoria della relatività, che permisero di spiegare fenomeni fisici come l'effetto fotoelettrico, lo spettro del corpo nero, la diffrazione di Bragg e molto altro. Dagli anni 60-70 del XX secolo, un'altra rivoluzione scientifica, quella della teoria del caos, ha riportato alla ribalta, o proprio fatto nascere, settori della fisica classica che hanno beneficiato grandemente dell'invenzione del computer. Grazie ai metodi della fisica computazionale si è potuto infatti finalmente iniziare ad analizzare il comportamento non lineare presente in un gran numero di sistemi fisici.

unicità e diversità in fisica

principi

Le nuove teorie della fisica moderna rappresentarono una "spaccatura" netta nel disegno teorico tracciato dalla fisica classica precedente in quanto ne hanno completamente rivisto idee e concetti di fondo in cui l'uomo aveva sempre creduto fin dai tempi più antichi. Infatti, mentre la fisica classica riguarda condizioni che si verificano nell'esperienza della vita di ogni giorno (velocità molto più basse della velocità della luce e scale molto più grandi di un atomo), la fisica moderna riguarda invece alte velocità e piccole distanze, perciò abbiamo un grande ed importante concetto di unicità e diversità.

+ info

grazie dell'attenzione!

• Fabrizia Carfora
• Francesca di Grazia
• Sara Prato
• Viviana Zito