INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA

Presentazione

Introduzione alla GEOMETRIA EUCLIDEA NELLO SPAZIO

Pietro BaseviBeatrice Molinari Matilde Tempra

PANORAMICA DEI CONCETTI

Posizione di due rette nello spazio

3 postulati fondamentali

Enti fondamentali geometria

Posizione di due piani nello spazio

Perpendicolarità tra 2 rette

Perpendicolarità tra retta e piano

Perpendicolarità e parallelismo

Teorema di Talete

Parallelismo tra retta e piano

TEOREMI PRESENTATI

TEOREMA DEI DUE PIANI DISTINTI

TEOREMI SULLA PERPENDICOLARITÁ TRA RETTA E PIANO

TEOREMA DI TALETE NELLO SPAZIO

TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI

ENTI FONDAMENTALI DELLA GEOMETRIA

• PUNTO: si usa per indicare ciò che si vuole
• RETTA: infiniti punti
• PIANO: estensione superficiale
• SPAZIO: per le figure solide

1. PUNTO
2. RETTA
3. PIANO
4. SPAZIO

lettere maiuscole lettere minuscole lettere minuscole alfabeto greco

This is a paragraph of text waiting to be awesome subtitle.

TRE POSTULATI FONDAMENTALI

I TRE POSTULATI FONDAMENTALI

POSTULATO N° 1

POSTULATO N° 2

POSTULATO N° 3

Postulato Della Partizione Dello Spazio Un qualunque piano divide l'insieme dei punti dello spazio che non gli appartemgono in due regioni dette SEMIPIANI : - Se due punti sono della stessa regione non itersecano il piano - Se due punti appartengono a regioni diverse intersecano il piano

Fissati due punti nel piano la retta passante per i due punti giace interamente nel piano

Per 3 punti non allineati passa uno e un un solo piano

POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO

2 RETTE NELLO SPAZIO POSSONO ESSERE

Due rette nello spazio si dicono complanari se appartengono allo stesso piano

Le rette complanari possono essere:

INCIDENTI : se si intersecano in un punto

PARALLE DISTINTE : se non si intersecano PARALLE COICIDENTI : se hanno in comune tutti i punti

SGHEMBE: se non sono complanari

NEL PIANO GLI INSIEMI DI RETTE POSSONO ESSERE . . .

FASCIO PROPRIO

FASCIO IMPROPRIO

STELLA DI CENTRO P ( nello spazio )

tutte le rette dello spazio passanti per un punto P

tutte le rette complanari parallele tra loro

Tutte le rette passano per uno stesso punto P

+info

+info

+info

+info

POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO

DIMOSTRAZIONE

ENUNCIATO

-Prendiamo in considerazione due piani alpha e beta intersecano nel punto P -Scegliamo di prendere due punti A e B sul piano alpha ma in due regioni diverse rispetto a beta - Il segmento AB interseca il piano beta nel punto C - Il punto C appartiene anche al piano alpha perchè per il secondo il postulato la retta AB appartiene ad alpha - I punti P e C appartengono ad entrabi i piani e quindi la retta r passante per P e C appartiene anch'essa ad entrabi i piani

Dati due piani distinti, che si intesecano in un punto, hanno in comune la retta passante per il punto

I PIANI POSSONO ESSERE . . .

PIANI PARALLELI DISTINTI

PIANI PARALLELI COINCIDENTI

PIANI INCIDENTI

FASCI DI PIANI

Un insieme di piani paralleli tra loro è detto FASCIO IMPROPRIO

Un insieme di piani che hanno in comune la stessa retta r è detto FASCIO PROPRIO

Un insieme di piani che passano per uno stesso punto P è detto STELLA DI PIANI

IL PARELLELISMO GODE DI TRE PRPRIETA'

RIFLESSSIVA : ogni piano è parellelo a se stesso

SIMMETRICA : ovvero se alpha // beta allora beta // alpha

TRANSITIVA : ovvero se alpha // beta e beta // gamma allora alpha // gamma

POSIZIONE DI UNA RETTA E DI UN PIANO

Data una retta r e un piano alpha sono possibili tre casi

se un solo punto della retta è in comune con il piano allora la retta è incdente al piano

tutti i punti della retta appartengono al piano allora la retta appartine al piano ed è anche parallela

se nessun punto della retta appartene al piano allra la retta è parallela al piano

PERPENDICOLARITÀ TRA PIANO E RETTE

PERPENDICOLARITÀ E PARALLELISMO

PERPENDICOLARITÀ TRA RETTA E PIANO

Sfogliando le pagine di un libro, osserviamo che ogni pagine del quaderno è associata ad un retta, tutte le rette sono perpendicolari alla retta r

TEOREMA

Se per un punto P di una retta s si mandano due rette a e b perpendicolari a s, allora s è perpendicolare a ogni altra retta r passante per P e giacente sul piano delle rette a e b

DIMOSTRAZIONE

- Consideriamo P su una retta s e due rette a e b passanti per P e perpendicolari ad s - Su s prendiamo due punti M e N disposti su sempiani opposti rispetto ad alpha, tali che PM = PN - Disegnamo una retta r appartente ad alpha e passante per P - Prendiamo un punto A sulla retta a e B sulla retta b in modo che la retta AB intersechi r nel punto R - Il triangolo MNA è isoscele sulla base MN, quindi AM = AN - Anche il triangolo MNB è isoscele, quindi BM = BN

I triangoli ABM e ABN: - AB in comune - AM = AN e BM = BN - Per il terzo criterio l'angolo ABM = ABN I triangoli RBM e RBN: - RB in comune - L'angolo RBM = RBN e BM = BN - Per il primo criterio sono congruenti, in particolare RM = RN Essendo RP mediana e altezza di MN, concludiamo che il triangolo MRN è isoscele e quindi r è perpendicolare ad s

PERPENDICOLARITÁ TRA DUE RETTE

PERPENDICOLARITA' TRA DUE RETTE

Nel piano dati una retta r e un punto P esiste una sola retta s passante per P perpendicolare a r NELLO SPAZIO INVECE

Se il punto P appartiene alla retta r esistono infinite rette perpenticoalri a r pasanti per P: sono tutte le rette del fascio di centro P che giacciono sul piano perpendicolare a r in P

Se il punto P non appartiene alla retta r esiste una sola perpendicolare s a r passante per P

ENUNCIATO DEL TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI

Se dal piede di una perpendicolare a un piano si manda la perpenticolare a una qualunque retta del piano, quest'ultima è perpendicolare al piano delle prime due

DIMOSTRAZIONE

-Sia r una retta perpendicolare al piano alpha e t una retta di alpha non passante per il piede H di r -Sia s la retta perpendicolare a t passante per H -Chiamiamo A il punto d'intersezione s e t e P un punto generico in r .-Condideriamo sulla retta t i segmenti congruenti AB e AC da parti opposte rispetto ad A -Congiungiamo B e C con H -H è sull'asse di BC quindi HB e congruente ad HC -Congiungiamo B e C con P - I triangoli rettangoli PHB e PHC sono congrunti quindi PB è congruente a PC -Il triangolo BPC è isoscele la mediana PA è perpendicolare a BC QUINDI LA RETTA PA E HA SONO PERPENDICOLARI ALLA RETTA t E CIOE' AL PIANO INDIVIDUATO DALLA RETTA r E s

PARALLELISMO TRA RETTA E PIANO

TEOREMA PARALLELISMO TRA RETTE

VERIFICA DEL PARELLELISMO: per verificare se una retta r è parallela ad una piano alpha è sufficiente verificare che r sia parallela ad una retta s che appartenente al piano ENUNCIATO: Dati una retta r e un piano alfa, se r è parallela a una retta s giacente su alfa, allora r è parallela ad alfa.

PROPRIETÁ DERIVANTI DALLA RELAZIONE DI PARALLELISMO

Se due rette incidenti r e s sono parallele al piano alfa, allora il piano beta che r e s individuano è parallelo ad alfa

Le intersezioni tra un piano e due piani paralleli sono rette parallele

Due rette parallele a una terza sono parallele tra di loro

PROPRIETÁ DERIVANTI DALLA RELAZIONE DI PARALLELISMO

Data una retta r parallela a un piano alfa, ogni altro piano non parallelo ad alfa e contenente r interseca il piano alfa in una retta s, parallela a r

Dati un piano alfa e un punto P non appartenente ad alfa, esiste ed è unico il piano beta passante per P e parallelo ad alfa

PERPENDICOLARITÁ E PARALLELISMO

PERPENDICOLARITÁ E PARALLELISMO

TRA RETTE NELLO SPAZIO:

• due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono parallele tra di loro

• se due rette sono parallele, ogni piano perpendicolare all'una è perpendicolare anche all'altra

• NON è vero però che due rette perpendicolari a una stessa retta sono parallele

PERPENDICOLARITÁ E PARALLELISMO

TRA PIANI NELLO SPAZIO:

• se due piani sono perpendicolari a una stessa retta in punti distinti, allora sono paralleli

• se due piani sono paralleli, allora ogni retta perprendicolare all'uno è perpendicolare anche all'altro

TEOREMA DI TALETE

TALETE NEL PIANO NEL PIANO

Fascio di rette parallele tagliate da due trasversali

TALETE NEL PIANO GENERALIZZATO NELLO SPAZIO

insieme di piani paralleli e due rette travesversali (rette non parallele ai piani e che quindi li intersecano)

ENUNCIATO

Un fascio di piani paralleli intersecati da due trasversali intercetta su di esse segmenti corrispondenti proporzionali

CASI POSSIBILI

TRASVERSALI COMPLANARI

TRASVERSALI SGHEMBE

CASO 1:

1. Dati un fascio di piani paralleli (indicati con lettere greche) siano t e t' due rette complanari
2. Essendo t e t' le travsersali che intersecano i piani del fascio si verranno a formare dei fasci di rette parallele AA' //BB' //CC'
3. Si verifica che AB : BC=A'B' : B'C' e AC : BC=A'C' : B'C'

CASO II:

1. Dato un fascio di piani paralleli (indicati con lettere greche) siano t e t' schembe
2. Si chiamano con A, A', B, B', C , C', D e D' i punti d'intersezione delle rette con i piani
3. Si traccia la retta t'' parallela a t passante per un punto M appartenente a t'
4. Si dimostra che AB : BC=A'B' : B'C' e AC : BC=A'C' : B'C'
5. Si chiamano con A'', B'', C'' e D'' i punti d'intersezione delle rette con i piani

INTRODUCTION HERE

CASO II:

1. Si ottengono i parellelogrammi ABB''A'', ACC''A'', BCC''B''BDD''B'', ADD''A''
2. Si deduce quindi che AB è congruente ad A''B'', AC è congruente ad A''C'' e BC è congruente ad B''C''
3. Applicando il teorema di Talete alle due trasversali t' e t'', si ottiene: A''B'' : B''C'' = A'B' : B'C' e A''C'' : B''C'' = A'C' : B'C'
4. Dopo aver sostituito A''B'' con AB, A''C'' con AC, si deduce che : AB : BC=A'B' : B'C' e AC : BC=A'C' : B'C'

THANKS!