REPRESENTACIÓN GRÁFICA NÚMEROS COMPLEJOS

a+bi

Representación gráfica de los números Complejos

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

REPRESENTACIÓN CARTESIANA

EJEMPLO REPRESENTACIÓN CARTESIANA

REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA

EJEMPLO REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA

GRACIAS

INTRODUCCIÓN

z=a+bi

Introducción

Los números imaginarios surgen de la necesidad de resolver ecuaciones cuadráticas sin solución en el campo real

x2+25 = 0 --> x= √(-25)

Para ello, se amplía el conjunto de los números reales R, creando el conjunto de los números complejos C

R ∁ C

Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios

Introducción

Los números complejos se expresan analíticamente como:

• En forma binomial:

z = a+bi, donde a y b ∈ R

• En forma polar

z = rα = r · (cosα + isenα) donde r es el módulo de z y α es el argumento

REPRESENTACIÓN CARTESIANA

Representación Cartesiana

Representación Cartesiana

El matemático y físico alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855)

El primero en realizar una representación de los números complejos estableciendo que estos no se podían representar en la recta real, como los reales, si no que debían representarse en un plano que denominó plano complejo. De esta forma, la parte real se puede representar en el eje de abcisas (también llamado eje real) y la parte imaginaria en el eje de ordenadas( también llamado eje imaginario).

Representación Cartesiana

Al plano complejo tambien se le conoce cómo Plano de Argand

A cada número complejo z=a+bi le corresponde un punto en el plano con coordenadas (a,b)

Al punto (a,b) se le llama afíjo

• A cada afijo le corresponde un número complejo
• A cada número complejo le corresponde un afijo

Se representa con el vector que va del origen al punto (a,b)

Representación Cartesiana

Características:

• Si b=0, el número complejo es un número real --> estará representado sobre el eje real.
• Si a=0, el número complejo tendrá únicamente parte imaginaria --> estará representado sobre el eje imaginario
• Si a=0 y b=0, el número complejo se llama número complejo cero. --> estará representado en el origen de coordenadas.

Representación Cartesiana

Sea z=a+bi, se define el conjugado de z como: ̅z = a - bi

Poseen la misma parte real, pero la parte imaginaria está cambiada de signo

Representación Cartesiana

Sea z=a+bi, se define el opuesto de z como: -z = -a - bi

Tanto la parte real como la parte imaginaria cambian de signo.

EJEMPLO REPRESENTACIÓN CARTESIANA

Ejemplo representación Cartesiana

Sea z=3-2i

Escribimos 3 en el eje real, y -2 en el eje imaginario

Ejemplo representación Cartesiana

Conjugado de z=3-2i

̅z = 3+2i

Escribimos 3 en el eje real, y 2 en el eje imaginario

Ejemplo representación Cartesiana

Opuesto de z=3-2i

-z = -3+2i

Escribimos -3 en el eje real, y 2 en el eje imaginario

REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Representación Trigonométrica

Cada número complejo viene dado por una longitud (o módulo) del vector y el ángulo (o argumento) que se forma entre el vector y el semieje positivo real.

Sea z= a+bi

Módulo del número complejo z

|OP|=|z|= √(a2+b2)

Argumento del número complejo z

α = arctg(b/a)

Representación Trigonométrica

Entonces el número complejo z = rα = r · (cosα + isenα) se representa como:

De donde concluimos que:

a = r · cosα b = r · isenα

EJEMPLO REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA

Ejemplo representación trigonométrica

Sea z=3-2i

|OP|=|z|= √(32+(-2)2) = √(9+4) = √(13) = 3,6

tg⁡α = b/a = -2/3 α = arctg (-2/3) = -33,69º

¡GRACIAS!

Patricia Romero Gómez