Presentazione
MATEMATICARTE
Le trasformazioni geometriche . . . . . . e l'arte Gabriele Martemucci 4^D - IISS GB Vico Laterza (TA)
"IL PICCOLO PRINCIPE" - ANTOINE DE SAINT-EXUPÉRY
“Come sei bello!”“Vero”, rispose dolcemente il fiore, “e sono nato insieme al sole...”Il piccolo principe indovinò che non era molto modesto, ma era così commovente! “Come fai ad essere così bello?”“Vedi, io sono un fiore e sono una creazione della natura, e in quanto tale sono perfettamente simmetrico...”“Non capisco” rispose il piccolo principe spiazzato dall’uscita del fiore.“Ora ti spiego” disse superbamente il fiore. “In natura esistono tantissime simmetrie”“E a cosa servono?”“Beh, a fare i fiori belli, non c’è dubbio. Una simmetria della natura è qualcosa che il sole ci ha dato e che nessuno potrà mai imitare. Tutto, in natura, nasce da una simmetria. Tante cose in natura sono simmetriche, sai?” “Cosa?”“Ad esempio le stelle marine, i fiocchi di neve, le celle degli alveari delle api e i cristalli...l'uomo!”“Mai stata neve né api sul mio pianeta” Il piccolo principe però era attirato dai discorsi del fiore.“Tutti gli esseri viventi sono belli e simmetrici sotto diversi punti di vista... io, ad esempio, sono colorato e le simmetrie dei colori dei miei petali mi fanno bello”.
COS'È UNA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA?'
Una trasformazione geometrica del piano è una funzione biunivoca che associa ad ogni punti del piano uno e un solo punto del piano stesso. Sebbene vengano studiate come funzioni matematiche, le trasformazioni geometriche sono presenti, senza che ne facciamo caso, in oggetti che vediamo tutti i giorni.
Quali sono le trasformazioni geometriche?
TRASLAZIONE
ROTAZIONE
SIMMETRIA CENTRALE
SIMMETRIA ASSIALE
TRASLAZIONE
La traslazione porta un punto P(x;y) in un punto P'(x';y')
ROTAZIONE
Fissati nel piano un punto C e un angolo α, si dice rotazione di centro C e angolo α la trasformazione che ad ogni punto P associa un punto P’ tale che CP' = CP e che l’angolo PCP' misuri α
SIMMETRIA CENTRALE
Si definisce simmetria centrale di centro C(x;y) la trasformazione che ad un punto P del piano associa un punto P’ tale che P’ appartiene alla retta CP e CP' = CP . (C è punto medio di PP’).
SIMMETRIA ASSIALE
Nella simmetria assiale, data una retta r (asse) e un punto P del piano, il simmetrico di P rispetto alla retta r è il punto P’ tale che PP’ è perpendicolare alla retta r e detto H il punto comune tra le due rette si ha che PH = P' H . (Se P non appartiene alla retta r allora P’ appartiene al semipiano generato da r che non contiene P).
LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NELL'ARTE
I ROSONI
IN MATEMATICA
IN ARTE
Un rosone può essere definito come una figura piana in cui il gruppo di simmetria contiene un numero finito di trasformazioni. La parte minima della figura che, presa singolarmente, permette di riprodurre l’intera figura attraverso le rotazioni (o le simmetrie assiali) del gruppo viene chiamata dominio fondamentale.
Con rosone s’intende, in ambito artistico, l’elemento decorativo a forma di finestra circolare applicato alle facciate delle chiese di stile romanico e gotico. I rosoni si ispirano agli antichi mandala (foto a lato), che consistono in diagrammi circolari costituiti, di base, dall’associazione di diversi elementi geometrici, in particolare il punto, il triangolo, il cerchio e il quadrato.
ESEMPIO: CATTEDRALE DI SAN GIUSTO, TRIESTE. ROSONE IN PIETRA CARSICA SULLA FACCIATA
Non considerando il fiore centrale, il rosone presenterebbe 24 rotazioni e 24 simmetrie assiali. La simmetria assiale sarebbe rispetto al segmento OH, altezza del triangolo isoscele ABO. Considerando, però, anche la figura centrale, mediante delle rotazioni del triangolo BHO non si otterrebbe la stessa forma del fiore al centro. In conclusione abbiamo 12 rotazioni del triangolo isoscele ABO e 12 simmetrie assiali rispetto ai lati del triangolo.Considerando l’angolo giro di vertice O, esso può essere diviso in 12 parti, corrispondenti agli angoli al vertice dei 12 triangoli. Dunque l’angolo AÔB avrà un’ampiezza pari a 360°/12 = 30° . Le rotazioni sono di 30°.
I FREGI
IN MATEMATICA
IN ARTE
Il termine fregio indica una striscia di piano (intersezione non vuota di due semipiani generati da due rette parallele) che è ricoperta dalle copie ripetute di un motivo “base”. Le copie sono ottenute mediante delle isometrie, una delle quali è necessariamente una traslazione nella direzione della striscia. Questa figura è illimitata, infatti possiamo operare la stessa traslazione due volte, tre volte, 1000 volte ... e la figura rimane invariata; quindi, quando definiamo fregio una figura su un pezzo di carta, o su un monumento, immaginiamo che la figura prosegua al di là della pagina o del muro.
Il fregio è la parte intermedia tra architrave e cornice nella trabeazione di ordini architettonici classici. Nei templi antichi il fregio poteva contenere bassorilievi rappresentanti scene di diverso tipo.
TIPOLOGIE DI FREGI
Il primo segno è sempre una p.
Il secondo segno può essere 1 o m: è una m (che sta per mirror = specchio) se il gruppo di simmetria della figura contiene riflessioni (simmetrie assiali) rispetto a rette verticali, altrimenti è un 1.
Il terzo segno può essere 1 o m o a: è una m se il gruppo di simmetria della figura contiene una riflessione rispetto ad una retta orizzontale, è una a se il gruppo di simmetria della figura contiene una glissoriflessione rispetto ad una retta orizzontale, altrimenti è un 1.
Il quarto segno può essere 1 o 2: è 2 se il gruppo di simmetria della figura contiene rotazioni di 180°, altrimenti è un 1
ESEMPI DI FREGI
Questo è un fregio di tipo p111, in quanto è ottenuto mediante la semplice traslazione dell’orma rossa, di un vettore orizzontale di modulo maggiore alla lunghezza della stessa.
Questo è un fregio del tipo pma2, ottenuto mediante rotazione di 180° dell’orma azzurra rispetto al punto verde segnato in figura, simmetria rispetto ad un asse verticale per ottenere l’orma rossa, un’ulteriore rotazione rispetto al punto viola e così via. Considerando la coppia formata da un’orma azzurra ed una rossa, si può invece notare una glissosimmetria.
I FRATTALI
IN MATEMATICA
IN NATURA
Secondo la definizione più semplice e intuitiva un frattale è una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di perdere dettagli quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari.
Non sempre la natura agisce secondo isometrie. Si possono notare dei casi in cui la regolarità viene “rotta” seguendo precisi schemi. Si tratta dei frattali.Il termine frattale fu coniato da Benoit Mandelbrot nel 1975 e deriva dal latino “fractus”, cioè “rotto” o “spezzato”, come il termine “frazione”. Si noti che le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.
ESEMPIO: LA FELCE
L’esempio più evidente è quello della felce. Si può notare che il ramo rosso è una copia rimpicciolita dell’intera foglia, e lo stesso sono la parte blu per quella rossa e quella celeste per la blu.Questa proprietà viene definita autosomiglianza o autosimilarità. La figura F è unione di copie di se stesso a scale differenti. In pratica una parte dell’oggetto è simile al tutto.Altre proprietà sono la struttura fine, l'irregolarità e la dimensione frattale.
ESEMPIO: IL MERLETTO DI KOCH
Osserviamo ora il più famoso dei frattali: il merletto di Koch. Il matematico H. Von Koch introdusse questo merletto in un articolo nel 1904, quando l’attuale concetto di frattale non era ancora stato introdotto. All’epoca fu quindi considerato una curva dalle proprietà curiose. - Si parte da un segmento, considerato nell’intervallo [0;1].- Si divide l’intervallo in tre parti e si sostituisce quella centrale con due lati di un triangolo, congruenti ad ognuna delle parti.- La stessa costruzione si ripete per ognuno dei quattro segmenti formati con il processo precedente.- La lunghezza della curva, al crescere del numero delle iterazioni tende a diventare infinita, mentre l’area racchiusa tende ad un valore finito.
La matematica è lo specchio della realtà e della vita
Hugo Steinhaus, matematico
GRAZIE!
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MATEMATICARTE - LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
gabrielemartemucci
Created on April 2, 2021
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Presentazione
MATEMATICARTE
Le trasformazioni geometriche . . . . . . e l'arte Gabriele Martemucci 4^D - IISS GB Vico Laterza (TA)
"IL PICCOLO PRINCIPE" - ANTOINE DE SAINT-EXUPÉRY
“Come sei bello!”“Vero”, rispose dolcemente il fiore, “e sono nato insieme al sole...”Il piccolo principe indovinò che non era molto modesto, ma era così commovente! “Come fai ad essere così bello?”“Vedi, io sono un fiore e sono una creazione della natura, e in quanto tale sono perfettamente simmetrico...”“Non capisco” rispose il piccolo principe spiazzato dall’uscita del fiore.“Ora ti spiego” disse superbamente il fiore. “In natura esistono tantissime simmetrie”“E a cosa servono?”“Beh, a fare i fiori belli, non c’è dubbio. Una simmetria della natura è qualcosa che il sole ci ha dato e che nessuno potrà mai imitare. Tutto, in natura, nasce da una simmetria. Tante cose in natura sono simmetriche, sai?” “Cosa?”“Ad esempio le stelle marine, i fiocchi di neve, le celle degli alveari delle api e i cristalli...l'uomo!”“Mai stata neve né api sul mio pianeta” Il piccolo principe però era attirato dai discorsi del fiore.“Tutti gli esseri viventi sono belli e simmetrici sotto diversi punti di vista... io, ad esempio, sono colorato e le simmetrie dei colori dei miei petali mi fanno bello”.
COS'È UNA TRASFORMAZIONE GEOMETRICA?'
Una trasformazione geometrica del piano è una funzione biunivoca che associa ad ogni punti del piano uno e un solo punto del piano stesso. Sebbene vengano studiate come funzioni matematiche, le trasformazioni geometriche sono presenti, senza che ne facciamo caso, in oggetti che vediamo tutti i giorni.
Quali sono le trasformazioni geometriche?
TRASLAZIONE
ROTAZIONE
SIMMETRIA CENTRALE
SIMMETRIA ASSIALE
TRASLAZIONE
La traslazione porta un punto P(x;y) in un punto P'(x';y')
ROTAZIONE
Fissati nel piano un punto C e un angolo α, si dice rotazione di centro C e angolo α la trasformazione che ad ogni punto P associa un punto P’ tale che CP' = CP e che l’angolo PCP' misuri α
SIMMETRIA CENTRALE
Si definisce simmetria centrale di centro C(x;y) la trasformazione che ad un punto P del piano associa un punto P’ tale che P’ appartiene alla retta CP e CP' = CP . (C è punto medio di PP’).
SIMMETRIA ASSIALE
Nella simmetria assiale, data una retta r (asse) e un punto P del piano, il simmetrico di P rispetto alla retta r è il punto P’ tale che PP’ è perpendicolare alla retta r e detto H il punto comune tra le due rette si ha che PH = P' H . (Se P non appartiene alla retta r allora P’ appartiene al semipiano generato da r che non contiene P).
LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NELL'ARTE
I ROSONI
IN MATEMATICA
IN ARTE
Un rosone può essere definito come una figura piana in cui il gruppo di simmetria contiene un numero finito di trasformazioni. La parte minima della figura che, presa singolarmente, permette di riprodurre l’intera figura attraverso le rotazioni (o le simmetrie assiali) del gruppo viene chiamata dominio fondamentale.
Con rosone s’intende, in ambito artistico, l’elemento decorativo a forma di finestra circolare applicato alle facciate delle chiese di stile romanico e gotico. I rosoni si ispirano agli antichi mandala (foto a lato), che consistono in diagrammi circolari costituiti, di base, dall’associazione di diversi elementi geometrici, in particolare il punto, il triangolo, il cerchio e il quadrato.
ESEMPIO: CATTEDRALE DI SAN GIUSTO, TRIESTE. ROSONE IN PIETRA CARSICA SULLA FACCIATA
Non considerando il fiore centrale, il rosone presenterebbe 24 rotazioni e 24 simmetrie assiali. La simmetria assiale sarebbe rispetto al segmento OH, altezza del triangolo isoscele ABO. Considerando, però, anche la figura centrale, mediante delle rotazioni del triangolo BHO non si otterrebbe la stessa forma del fiore al centro. In conclusione abbiamo 12 rotazioni del triangolo isoscele ABO e 12 simmetrie assiali rispetto ai lati del triangolo.Considerando l’angolo giro di vertice O, esso può essere diviso in 12 parti, corrispondenti agli angoli al vertice dei 12 triangoli. Dunque l’angolo AÔB avrà un’ampiezza pari a 360°/12 = 30° . Le rotazioni sono di 30°.
I FREGI
IN MATEMATICA
IN ARTE
Il termine fregio indica una striscia di piano (intersezione non vuota di due semipiani generati da due rette parallele) che è ricoperta dalle copie ripetute di un motivo “base”. Le copie sono ottenute mediante delle isometrie, una delle quali è necessariamente una traslazione nella direzione della striscia. Questa figura è illimitata, infatti possiamo operare la stessa traslazione due volte, tre volte, 1000 volte ... e la figura rimane invariata; quindi, quando definiamo fregio una figura su un pezzo di carta, o su un monumento, immaginiamo che la figura prosegua al di là della pagina o del muro.
Il fregio è la parte intermedia tra architrave e cornice nella trabeazione di ordini architettonici classici. Nei templi antichi il fregio poteva contenere bassorilievi rappresentanti scene di diverso tipo.
TIPOLOGIE DI FREGI
Il primo segno è sempre una p.
Il secondo segno può essere 1 o m: è una m (che sta per mirror = specchio) se il gruppo di simmetria della figura contiene riflessioni (simmetrie assiali) rispetto a rette verticali, altrimenti è un 1.
Il terzo segno può essere 1 o m o a: è una m se il gruppo di simmetria della figura contiene una riflessione rispetto ad una retta orizzontale, è una a se il gruppo di simmetria della figura contiene una glissoriflessione rispetto ad una retta orizzontale, altrimenti è un 1.
Il quarto segno può essere 1 o 2: è 2 se il gruppo di simmetria della figura contiene rotazioni di 180°, altrimenti è un 1
ESEMPI DI FREGI
Questo è un fregio di tipo p111, in quanto è ottenuto mediante la semplice traslazione dell’orma rossa, di un vettore orizzontale di modulo maggiore alla lunghezza della stessa.
Questo è un fregio del tipo pma2, ottenuto mediante rotazione di 180° dell’orma azzurra rispetto al punto verde segnato in figura, simmetria rispetto ad un asse verticale per ottenere l’orma rossa, un’ulteriore rotazione rispetto al punto viola e così via. Considerando la coppia formata da un’orma azzurra ed una rossa, si può invece notare una glissosimmetria.
I FRATTALI
IN MATEMATICA
IN NATURA
Secondo la definizione più semplice e intuitiva un frattale è una figura geometrica in cui un motivo identico si ripete su scala continuamente ridotta. Questo significa che ingrandendo la figura si otterranno forme ricorrenti e ad ogni ingrandimento essa rivelerà nuovi dettagli. Contrariamente a qualsiasi altra figura geometrica un frattale invece di perdere dettagli quando è ingrandito, si arricchisce di nuovi particolari.
Non sempre la natura agisce secondo isometrie. Si possono notare dei casi in cui la regolarità viene “rotta” seguendo precisi schemi. Si tratta dei frattali.Il termine frattale fu coniato da Benoit Mandelbrot nel 1975 e deriva dal latino “fractus”, cioè “rotto” o “spezzato”, come il termine “frazione”. Si noti che le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione frazionaria.
ESEMPIO: LA FELCE
L’esempio più evidente è quello della felce. Si può notare che il ramo rosso è una copia rimpicciolita dell’intera foglia, e lo stesso sono la parte blu per quella rossa e quella celeste per la blu.Questa proprietà viene definita autosomiglianza o autosimilarità. La figura F è unione di copie di se stesso a scale differenti. In pratica una parte dell’oggetto è simile al tutto.Altre proprietà sono la struttura fine, l'irregolarità e la dimensione frattale.
ESEMPIO: IL MERLETTO DI KOCH
Osserviamo ora il più famoso dei frattali: il merletto di Koch. Il matematico H. Von Koch introdusse questo merletto in un articolo nel 1904, quando l’attuale concetto di frattale non era ancora stato introdotto. All’epoca fu quindi considerato una curva dalle proprietà curiose. - Si parte da un segmento, considerato nell’intervallo [0;1].- Si divide l’intervallo in tre parti e si sostituisce quella centrale con due lati di un triangolo, congruenti ad ognuna delle parti.- La stessa costruzione si ripete per ognuno dei quattro segmenti formati con il processo precedente.- La lunghezza della curva, al crescere del numero delle iterazioni tende a diventare infinita, mentre l’area racchiusa tende ad un valore finito.
La matematica è lo specchio della realtà e della vita
Hugo Steinhaus, matematico
GRAZIE!
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