Ecuaciones e inecuaciones

ECUACIONES

INECUACIONES

Dr. José Manuel Gómez

-Ecuaciones.

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Igualdad, Ecuación e Identidad En las igualdades encontramos letras y números, los primeros se refieren a las incógnitas o variables ya que ellas pueden tomar diferentes valores, los números son las constantes ya que nunca cambian de valor. Las constantes y las variables como se verá entre ellas no hay un signo de operación por lo que nos indica un producto ( – 3x), éste cuando se encuentra separado por un signo de más o de menos recibe el nombre de término, o sea forma un binomio En la expresión 4x2 + 2(x – 2) = 3x – 5, podemos observar estos elementos. Miembros de la igualdad: 4x2 + 2(x – 2)= 3x – 5 Términos: 4x2 ; 2(x — 2); 3x; —5 Incógnitas o variables: x Constantes: 2, 3, 4, y – 5

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Actividad de aprendizaje Determina en las siguientes expresiones, miembros de la igualdad, términos, incógnitas o variables y constantes. 1. x + 1 = 3 _______________________________________________ 2. 2x – 4 = 6x – 5 ________________________________________________ 3. x 2 + 4x + 4 = 0 _________________________________________________ 4. x + 1 = 3 _________________________________________________ 5. 𝑎 𝑏 ∗ 𝑐 𝑑 = 𝑎𝑐 𝑏𝑑 _________________________________________________ 6. x2 – 4 = 2x – 5 _________________________________________________ 7. x 2—x—5 = 6x + 3 ________________________________________________ 8. x 2—5x + 6 = x 2 + 2x—5 _______________________________________________ 9. x 2—4=(x—2)(x + 2) ________________________________________________ 10. x 3 – 2X2 + x = x(x – 1)2 ______________________________________________

Igualdades La igualdad se representa mediante el símbolo =, que recibe el nombre de igual y se utiliza para comparar dos cantidades. La igualdad da origen a una expresión que se forma por el miembro derecho, el signo igual y el miembro izquierdo: Miembro derecho Igual Miembro izquierdo x + 2 = 2x — 5 Las igualdades se dividen en identidades y en ecuaciones

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Las identidades son aquellas igualdades en las que al sustituir cualquier valor en la variable éstas son verdaderas. Ejemplo Sea: 2x = x + x Si x = 3, tenemos que: 2(3) = (3) + [3) Realizando operaciones: 6 = 6 Si x = 7, tenemos que: 2(7) = (7) + [7) Realizando operaciones: 14 = 14

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Actividad de aprendizaje Escribe cinco identidades, comenta con sus compañeros 1. ___________________________________________________________ 2. ___________________________________________________________ 3. ___________________________________________________________ 4. ___________________________________________________________ 5. ___________________________________________________________

2.1.2. EcuacionesSon aquellas igualdades en las que al sustituir un valor en la variable, éstas son verdaderas para algunos valores. En la ecuación: 2x = x + 1 Al sustituir el valor de x = 1 la igualdad se conserva y es el único valor que la hace verdadera (se cumple la igualdad) 2[1) = (1) + 1 2 = 2 Si sustituimos cualquier otro valor la igualdad no se conserva (no se cumple). Sea: x = 4 2(4) = (4) + 1 8 = 5 no es una igualdad

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b) Propiedades de la igualdad 1. Propiedad reflexiva: todo número es igual a sí mismo: a = a. 2. Propiedad simétrica: el orden de los elementos de una expresión no altera la igualdad: a = b entonces b = a 3. Propiedad transitiva: si a = b y b = c entonces a = c. 4. Propiedad de la suma y resta: si a ambos miembros de la igualdad les sumamos o restamos la misma cantidad, la igualdad se conserva, Si a = b y c es un número real. entonces se cumple lo siguiente: a + c = b + c a – c = b – c

5. Propiedad del producto: si multiplicamos ambos miembros de la igualdad por una misma cantidad, la igualdad se conservarSea a = b y c un número real, entonces: a (c) = b (c) 6. Propiedad de la división: si dividjmos ambos miembros de la igualdad entre una misma cantidad distinta de cero, la igualdad se conserva. Sea a = b y c un número real distinto (≠) de cero, entonces: 𝑎 𝑐 = 𝑏 𝑐 Estas propiedades nos sirven para poder tener ecuaciones equivalentes que nos permitan obtener su solución o resolverlas.

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Ejemplo Si a = 1 y b = 1, entonces a = b Propiedad 3 a + c = b + c Propiedad 4 a(a + c) = a(b + c) Propiedad 5 mult. por a a 2 + ac = ab + ca Se realiza el producto a 2 + ac – b 2 = ab + ca – b^2 Propiedad 4 restamos b^2 a 2 – b 2 + ac = ab – b 2 + ca Propiedad conmutativa (a – b) (a + b) + ac = b(a – b) + ca Factorizando Esta última expresión, como vemos, es más complicada que la inicial y esto se logró por el uso de las propiedades de la igualdad, obteniendo ecuaciones equivalentes, es decir, que tienen la misma solución. Por lo general, estas propiedades se utilizan para simplificar ecuaciones, no para complicarlas.

Actividad de aprendizaje Indica la operación o propiedad que se utilizó para obtener las siguientes ecuaciones equivalentes. Proposición Justificación 1. (a – b)(u + b) + ac = b(a – b) + ca ______________________________________________ 2. a2 – b 2 + ac = ab – b 2 + ca ______________________________________________ 3. a 2 + ac —b 2 = ab + ca – b 2 ______________________________________________ 4. a2 + ac = ab + ca ______________________________________________ 5. a + c = b + c ______________________________________________ 6. u = b ______________________________________________

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2.1.3. Ecuaciones de Primer Grado Una ecuación de primer grado con una variable es de la forma ax + b = 0, ya que el mayor de los exponentes de las variables es uno y a y b son números reales. Resolver una ecuación es encontrar el valor de la variable que al sustituirlo la hace verdadera; a este valor se le llama cero, solución o raíz de la función o ecuación y corresponde a que el valor de y sea cero y que se pueda encontrar la intersección de la recta en el eje de las abscisas. Para resolver una ecuación utilizamos ecuaciones equivalentes, apoyados en las propiedades de la igualdad y las operaciones algebraicas. Para resolver una ecuación de este tipo se debe seguir esta estrategia: a) Paso 1. Efectuar las operaciones en cada miembro de la igualdad y reducir los términos semejantes. b) Paso 2. Agrupar en un miembro de la igualdad las variables y en el otro las constantes, reduciendo los términos semejantes. c) Paso 3. Dividir la ecuación entre el coeficiente de la variable.

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Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación, 6x + 3 = 2x + 11 6x + 3 — 2x = 2x + 11 — 2x Se resta 2x en ambos miembros 4x + 3 = 11 Se simplifica 4x + 3 — 3 = 11 – 3 Se resta 3 en ambos miembros 4x = 8 Se simplifica x = 8 /4 Se divide entre el coeficiente de x x=2 Para comprobar nuestro resultado sustituimos en la ecuación el valor obtenido, y si se conserva la igualdad la solución es correcta. 6x + 3 = 2x + 11 6(2) + 3 = 2(2) + 11 12 + 3 = 4 + 11 15 = 15

La igualdad se conserva, por lo que la solución x = 2 es correcta Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación: 3(2x – 1) = 2x + 5 Realiza operaciones: 3(2x— 1)=2x + 5 6x – 3 = 2x + 5 Se resta 2x a cada miembro de la igualdad: 6x—3—2x =2x + 5—2x 4x — 3 = 5 Se suma 3 a cada miembro de la igualdad: 4x – 3 + 3 = 5 + 3 Se divide entre 4:

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4x = 8 x = 2 Ejemplo Resuelve la ecuación 4(x – 4) = 3(x + 4) – 5x. Realiza las operaciones: 4x – 16 = 3x + 12 – 5x Reduce los términos semejantes: 4x— 16 = – 2x + 12 Suma 16 + 2x a cada miembro de la igualdad: 4x— 16 + 16 + 2x = —2x + 12 + 16 +2x 6x = 28 Divide entre el coeficiente de x: x = 28/6 x= 14 / 3

Observa que la última expresión reúne varios signos de igual que corresponden a la equivalencia de las fracciones; esto nos indica que cualquiera de estos resultados es equivalente. La forma decimal en algunos casos, como éste, será un valor aproximado, ya que su expansión decimal es infinita y al realizar la comprobación se presenta un ligero error si el decimal no es exacto. Comprobación:

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Para x = 14 / 3 en la ecuación 4(x – 4) = 3(x + 4) – 5x 4 ( 14 / 3 − 4) = 3 ( 14 / 3 + 4) − 5 ( 14 / 3 ) 4 ( 14 / 3 − 12 3 ) = 3 ( 14 / 3 + 12 / 3 ) − ( 70 / 3 ) 4 ( 2 / 3 ) = 3 ( 26 / 3 ) − ( 70 / 3 ) 8/ 3 = 78 / 3 − 70 / 3 8 3 = 8 3

Actividad de aprendizaje Resuelve la siguiente ecuación: 4(x—4) =2( x + 4) —5x Ejemplo Resuelve la siguiente ecuación. 6(3x – 2) + 4 = 3(2x + 5) – 5 Realiza operaciones y reduce términos semejantes: 18x—12 + 4 = 6x + 15 – 5 18x—8 = 6x + 10 12x =18 x= 18 / 12 x= 3 / 2 x= 1.5

gracias