Le coniche e l'equazione generale

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equazione generale delle coniche

Alessandro Petinari

INDICE

Geogebra link

Definizione conica

Conclusione

Equazione generale

Le varie coniche

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LE CONICHE

Le coniche, anche dette sezioni coniche, sono delle particolari curve piane che si ottengono dall'intersezione di un piano con un cono a due falde. Possiamo quindi distinguere due sezioni di coniche: -Le coniche degeneri -Le coniche non degeneri

Le coniche non degeneri

Consideriamo ora un cono a due falde di vertice V e un piano non passante in esso. A seconda dell'inclinazione di quest'ultimo rispetto all'asse del cono otteniamo 4 tipi di coniche non degeneri:-Circonferenza -Ellisse -Parabola -Iperbole

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Coniche degeneri

Al contrario delle non degeneri, le coniche degeneri si ottengono dall'intersezione del piano con il cono nel suo vertice V e, di conseguenza otteniamo: -Un punto (circonferenza degenere) -Una retta -Una coppia di rette

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La formula generale

Ora che abbiamo capito come si formano le coniche, è arrivato il momento di presentare la loro formula generale:Ax2 + Bxy +Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Si puo dire che essendo l'equazione di una conica individuata da 5 parametri indipendenti una conica generica sara' individuata mediante 5 punti (o condizioni indipendenti): Sarebbe a dire che per 5 punti passa una ed una sola conica.

IL SIGNIFICATO DEI PARAMETRI

Facciamo ora un po'di chiarezza: Che cosa stanno a significare tutti questi valori? -A e C sono dei coefficienti che, a seconda del loro valore, definiscono un particolare tipo di conica -B è un coefficiente, detto 'termine rettangolare', che mi permette di individuare l'inclinazione della conica. -D ed E invece mi permettono di capire se una determinata conica è traslata o meno. -F è il coefficiente che indica il termine noto e mi da indicazioni sul punto di intersezione della conica con l'asse y

INFO

Le varie coniche

Tuttavia ciò che prima di tutti ci fa capire il tipo di conica che abbiamo è il delta (B2-4AC). Si possono quindi verificare tre differenti situazioni: Δ < 0: Se il delta è minore di zero, avrò un'ellisse. Caso particolare: se A=C e B=0 avrò una circonferenza Δ = 0: Se il delta è uguale a zero, avrò una parabola Δ > 0: Se il delta è maggiore di zero, avrò un'iperbole

Il delta è dondamentale per capire quale tipo di conica abbiamo di fronte!!

Le coniche in geogebra

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Ora vi allego un link di geogebra che ci farà capire ancora meglio il ruolo che assumono questi parametri:

Link

Grazie per l'attenzione