Radicali

2x<5x+3

4x-27>-4x

___

_________

√5

√3+

Back

√2

I RADICALI

di Andrea Bossio

Indice

Operazioni con i radicali

Cos'è un radicale

Proprietà e potenze con esponente razionale

Condizioni di esistenza

z+√5

INDICE

Cos'è un radicale

INTRODUZIONE Nel insieme dei numeri reali, esistono numeri che non possono essere espressi come numeri razionali, perciò sono chiamati "irrazionali", e questi sono rappresentati da numeri decimani illimitati non periodici. Tra questi numeri irrazionali ci sono i radicali, che contengono numeri decimali illimitati: es. √2=1,41421. . . √7=2.6457. . .

Radice n-sima

La radice n-esima di un numero reale x, con n numero naturale diverso da 0: -con n pari: esiste solo per x≥0, è il numero reale y≥0, tale che y^n=x; -con n dispari, esiste per ogni x ∈ R, è il numero y ∈ R tale che y^n=x;

Indice

Operazioni con i radicali

Somma e differenza Per operare con i radicali nelle somme algebriche, possiamo considerare i radicali come monomi, e si procede in modo analogo alle somme tra monomi simili. Perciò si possono sommare i coefficienti di termini con lo stesso radicale

Prodotto e quoziente

Il prodotto e il quoziente tra radicali pu.ò avvenire solo se i radicali hanno lo stesso indice: Il prodotto di due radicali con lo stesso indice e con radicando positivo o nullo è un radicale con lo stesso indice che ha per radicando i prodotto dei radicandi. Il quoziente di due radicali con lo stesso indice, il primo con radicando positivo o nullo e il secondo positivo, è un radice con lo stesso indice che per radicando il quoziente del radicando.

Se i radicali hanno indice diverso

Per poter moltiplicare o dividere due radicali con indice diverso, riduciamo i due radicali allo stesso indice tramite il mc.m. e la

proprietà invariantiva

Portare dentro un fattore dalla radice

Consideriamo il radicale 2√5, 2 è il fattore da portare dentro la radice.Possiamo trasformare il 2 in un radicale con lo stesso indice di √5, quindi: √2^2*√5. Ora possiamo applicare il prodotto tra radicali con lo stesso indice: √(2^2*5)=√(4*5)=√20

Portare fuori un fattore dalla radice

Consideriamo il radicale √63, scomponendolo in fattori primi si ottiene √(3^2*7),, e applicando la propietà dissociativa verrebbe √3^2*√7, per la proprietà invariantiva si semplifica √3^2 e il risultato è 3√7. Se l'esponente di un fattore del radicando è uguale o multiplo dell'indice, si procede così: Se invece l'esponente di un fattore del radicando non è multiplo dell'indice di radice si procede così:

Razionalizzazione

Quando in una frazione compare al denominatore un radicale, possiamo razionalizzare il denominatore moltiplicando numeratore e denominatore per un opportuno fattore irrazionale.

• Se il demoninatore è un radicale irriducibile si moltiplica per

• Se il denominatore è una somma per differenza di radicali quadratici si moltiplica per

INDICE

Proprietà dei radicali

Proprietà invariantiva

Per la proprietà invariantiva, se moltiplichiamo o dividiamo indice e esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0, si ottiene un radicale equivalente.

Potenze con esponente razionale

I radicali possono essere espressi come potenze a esponente razionale:

(con a≥0 e m e n ∈ ℕ - {0})=

(con a>0 e m ed n ∈ ℕ - {0})=

CONDIZIONI DI ESISTENZA

Un radicale esiste:

• Se n è pari, per a≥0
• Se n è dispari, ∀a ∈ ℝ

Quando i radicali sono espressioni letterali, dobbiamo imporre che il radicale iniziale e quello semplificato abbiano le stesse condizioni di esistenza e lo stesso segno. Per rendere vere queste due condizioni, può essere necessario il valore assoluto:

Back

EQUAZIONI

√x=2

Indice

Cos'è un'equazione?

Principi di equivalenza

Equazioni fratte

z+√5

COS'E' UN EQUAZIONE

Per capire cos'è un'equazione dobbiamo prima partire dal concetto di identità.Un' identità è un'uguaglianza tra espressioni letterali, vera per qualsiasi valore sostituito all'incognita. queste sono tutte identità.

4(a+1)=4a+4 (3a+2)²-a²=9a²+4+12a-a²=8a²+12a+4 2x+3x=5x

EQUAZIONE

I valori che risolvono l'equazione si chiamano "soluzioni dell'equazione" e l'insieme in cui si cercano le soluzioni è il dominio dell'equazione.Però il dominio deve essere privato degli eventuali valori che fanno perdere significato alle espressioni che compongono l'equazioni, utilizzando le condizioni di esistenza (C.E.)

Un uquazione è una richiesta di ugualianza e si cerca un valore che sostituito all'incognita la renda vera. Un ugualianza è formata da due membri:

a(b+c)=ab+ac

Primo membro Secondo membro

La soluzione è y=-3 perchè:

C.E.:y≠ 0

LE EQUAZIONI POSSONO ESSERE:

3x=15

x+5=x-7

x=3x-2x

INDETERMINATE se hanno un insieme infinito di soluzioni

IMPOSSIBILI se non ammettono soluzioni

DETERMINATE se hanno un insieme finito di soluzioni

Principi di equivalenza

Due equazioni si dicono equivalenti quando ammettono lo stesso insieme di soluzioni. Per risolvere un'equazione la trasformiamo in una equazione semplificata ad essa equivalente, tramite i principi di equivalenza.

Primo principio di equivalenza

Secondo principio di equivalenza

Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un'equazione uno stesso numero o espressione letterale, otteniamo un'equazione equivalente. Da questa derivano due regole pratiche: Regola del trasporto; data un'equazione possaimo trasportare un termine da un membro all'altro cambiandolo di segno Regola della cancellazione; data un'equazione possiamo cancellare nel primo e nel secondo membro i termini uguali

Moltiplicando e dividendo entrambi i membri di un'equazione per uno stesso numero o espressione letterale diversi da 0, otteniamo un'equazione equivalenteDa questa deriva la seguente regola: Regola del cambiamento di segno; data un'equazione otteniamo un'equazione equivalente se cambiamo segno a tutti i suoi membri, moltiplicando o dividendo per -1.

EQUAZIONI FRATTE

Le equazioni in cui le incognite non compaiono al denominatore si chiamano intere, altrimenti sono fratte. Per risolvere un'equazione fratta bisogna imporre le C.E.. Dopodichè bisogna ottenere un'equazione intera facendo il mcm tra i denominatori di tutti i termini di entrambi i membri e semplificare. Dopo averla risolta, bisogna verificare che la soluzione soddisfi le C.E.

Back

x=y

2x+y>0

DISEQUAZIONI

Definizione

Una disequazione è una disugualianza tra due espressioni letterali per le quali cerchiamo valori che sostituiti all'incognita renda la disugualianza vera.

THANKS!

Lorem ipsum dolor